Galilei Leibniz Newton‘s Mechanics Stellar Orbits Gravity Gaub WS 2014/15

Statistical Mechanics Steam Engine Mayer Joule Helmholtz Clausius Kelvin Boltzmann Gibbs Chemical Reactions A + B   AB Gaub WS 2014/15

Molekular-Dynamik Rechnungen Nobelpreis 2013!!! Gaub WS 2014/15

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§7 Gase Kinetische Energie der Teilchen größer als die potentielle Energie der gegenseitigen Anziehung Teilchen bewegen sich frei mit beliebig großem Abstand makroskopische Betrachtung Boyle-Mariotte‘sches Gesetz: bei konstanter Temperatur gilt p V = const. Def: Kompressibilität T=const. => für konstante Temperatur ist p ~ ρ Gaub WS 2014/15

Makroskopische Betrachtung Möglichkeit zur Messung des Druckes: Quecksilbermanometer Im Gleichgewicht gilt: Bei Zimmertemperatur ist der Dampfdruck von Quecksilber vernachlässigbar. Normaldruck: Gaub WS 2014/15

Luftdruck und barometrische Höhenformel Herleitung der barometrischen Höhenformel Abnahme des auf der Fläche A lastenden Gewichts mit der Höhe: mit mit po= 1013hPa und r0= 1.24 kg/m3

Luftdruck und barometrische Höhenformel Für einen Ballon mit Masse M und Volumen V gilt: Wie in Flüssigkeiten tritt in Gasen Auftrieb auf. Schweben entspricht Schwimmen in Luft! Gaub WS 2014/15

§7.3 Kinetische Gastheorie Das ideale Gas Gas aus starren Kugeln (Atome oder Moleküle) mit r0 Stöße der Teilchen untereinander und mit der Gefäßwand erfüllen Energie- und Impulssatz Wechselwirkung nur bei Berührung Wechselwirkungspotential V: (Hardcore-Potential) Gaub WS 2014/15

Atomradius << mittlerer Atomabstand Das ideale Gas Vorraussetzung: Atomradius << mittlerer Atomabstand Behandlung der Atome/Moleküle als Massenpunkte Druck p des Gases wird über Impulsübertrag auf die Gefäßwand verstanden: Treffen im Zeitintervall dt N dt Moleküle mit der Geschwindigkeit v senkrecht auf die Fläche A, dann ist der pro Sekunde übertragene Impuls 2 N m v. Gaub WS 2014/15

Grundgleichung der kinetischen Gastheorie Nur Betrachtung der Translation, keine Rotation oder Schwingung! Anzahl Z der in der Zeit Δt auf das Wandstück A treffenden Moleküle: wobei die Dichte der Moleküle ist, die sich mit der Geschwindigkeit in x-Richtung bewegen. Jedes Molekül überträgt den Impuls Gaub WS 2014/15

Grundgleichung der kinetischen Gastheorie Bewegung in y- und z-Richtung bleibt beim Stoß unbeeinflußt. Da der Druck eine isotrope Größe ist, gilt: Im Mittel fliegen gleich viele Moleküle in +x- wie in –x-Richtung Gaub WS 2014/15

Mittlere kinetische Energie und absolute Temperatur Experimentell ergibt sich für konstantes N, dass p V nur von T abhängt. hängt nur von T ab. Es gibt eine Temperaturskala, für die gilt: Definition der absoluten Temperatur T: mit der Bolzmann-Konstante allgemeine Gasgleichung Gaub WS 2014/15

Mittlere kinetische Energie und absolute Temperatur Jedes Teilchen kann sich in x-, y- und z-Richtung bewegen. 3 Freiheitsgrade der Translation Die mittlere kinetische Energie eines Teilchens bei der Temperatur T ergibt sich zu: pro Freiheitsgrad mehr Freiheitsgrade Reale Moleküle können Energie auch in Rotation und Schwingung aufnehmen Gleichverteilungssatz: (allgemeine Herleitung in T4) In einem Gas verteilt sich die Energie stets gleich auf alle Freiheitsgrade. Bei f Freiheitsgrade hat jedes Teilchen im Mittel die Energie Gaub WS 2014/15

Verteilungsfunktion Allgemeine Herleitung des Drucks erfordert mathematische Definition der Verteilung der Geschwindigkeit auf die Moleküle. Verteilungsfunktion f(v) Für die Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung muss gelten: mit Die Anzahl der Teilchen im Intervall ist dann: Bem: Die Anzahl der Teilchen mit ist:

2π/3 Von allen Seiten des Halbraums prallen Moleküle auf die Wand Auf ein Flächenelement dA prallen während des Zeitintervalls Δt im Mittel dZ Moleküle im Geschwindigkeitsfenster v+dv aus dem Raumwinkelbereich dΩ, der um den Winkel ϑ gegen die Flächennormale geneigt ist Die Impulsänderung eines Teilchens ist : Impulsübertrag durch dZ Teilchen im Zeitintervall Δt ist dann 2π/3 Gaub

Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung Aus der barometrischen Höhenformel ergibt sich durch Erweitern mit dem Volumen V einer Gasmenge der Masse M = mN =rV und der Teilchenzahldichte n=N/V Modell: Moleküle starten auf der Erdoberfläche mit der Geschwindigkeit vz senkrecht nach oben und erreichen die Höhe h: => Die Anzahl der Moleküle, über die Höhe h hinausfliegen, ist gleich der Zahl, die von z = 0 aus mit Geschwindigkeiten vz>u starten.

Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung Allgemein gilt für die Anzahl N(vz) der Moleküle mit der Geschwindigkeit vz die pro Zeit ∆t durch ein Flächen- stück ∆A fliegen (Flussdichte): Aus der Annahme einer isothermen Atmosphäre folgt, dass die Geschwindigkeitsverteilungs- funktion unabhängig von der Höhe ist. Nicht die mittlere Geschwindigkeit, wohl aber die Flussdichte nimmt mit der Höhe ab: Es gilt aber auch: Const (T)

Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung Differentiation nach u liefert: mit: weil und Symmetrische Gaussverteilung Ist die mittlere kinetische Energie sehr groß gegen die Differenz der potentiellen innerhalb eines abgeschlos-senen Volumens V, ist keine Richtung ausgezeichnet.

Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung Geschwindigkeitsvektoren mit der Länge v+dv enden in einer infinitesimalen Kugelschale mit dem Betrag der Geschwindigkeit als Radius. Ingegration über alle Richtungen liefert den Faktor: Zahl der Moleküle pro Volumen-einheit mit einer Geschwindigkeit im Betrag zwischen v und v+dv Mittlere Geschwindigkeit Mittlere Geschwindigkeitsquadrat Wahrscheinlichste Geschwindigkeit

Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung Die Geschwindigkeitsverteilung hat eine ausgeprägte Temperaturabhängigkeit WS 2014/15