Thermodynamisches Gleichgewicht

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1 Thermodynamisches Gleichgewicht
Alle Prozesse mit ihren Umkehrprozessen im Gleichgewicht Elementarprozesse und Ratengleichungen: Stoßionisation Dreierstoßrekombination Stoßanregung Stoßabregung Vollst. Thermodyn. GG def. wie oben, Bed. aber selten erfuellt, zunaecht die zu betrachteten Einzelprozess ansehen Durch Ionisationsstoss hat man anschiessend 2 e versch. Energie strahlungslose Uebregaenge (“Stoesse 2. Art”), steht in Konkurrenz zur spontanene Emission Uebergaenge zwischen gebundenen Zustaenden, daher diskrete Photonenenergien Strahlungsanregung spontane Emission

2 Elementarprozesse und Ratengleichungen (2)
Photoionisation Strahlungsrekombination Photoabsorption Bremsstrahlung e geht von gebundenen in freien Zustand ueber, daher Photonen-Energien kontinuierlich, aber es gibt natuerlich untere Grenzenergie fuer Ionisation (2)Bremsstrahlung: e werden von ausseren Elektronen der Atome (auf Grund der Coulombwewi abgebremst), dabei wird Strahlung mit kont. Spektrum frei, der prozess fuerht nicht zur Aenedrung des atomaren Energiezustandes Ratengleichungen:

3 Vollständiges thermodynamisches Gleichgewicht
Geschwindigkeitsverteilung = Maxwell-Verteilung z x dVol(x)=dxdydz mit dN >>1 Ortsraum, N Teilchen vz dVol(v)=dvxdvydvz mit dN(v) >>1 vx vy Geschwindigkeits- raum, dN Teilchen y Im therm. GG haben Plasmateilchen bestimmte Energie- bzw. Geschw. Vertlg. , die Maxwell-Verteilung, dann kann man dem Plasma eine Temperatur zuordnen Wie erhaelt man eine Verteilungsfunktion? aus dem Ortsraum greife kleines Volumenelement heraus, dort soll fuer Volumenelement dV mit dN Teilchen Geschw.vertlg. bestimmt werden Geschwindigkeiten dieser Teilchen werden im Geschw.raum eingetragen, Frage, wie viele Teilchen dN_v befinden sich im neuen Volumenelement dVol(v) Antwort: auf Volumen bezogene Teilchenzahl: Verteilungsfunktion f(v)

4 Geschwindigkeitsverteilung
Verteilungsfunktion normierte Verteilungsfunktion Annahme1: statistische Unabhängigkeit der Geschwindigkeitskomponenten Annahme2: Isotropie der Geschwindigkeitsverteilung Das Integral ueber Aus Verteilungsfunktion folgt ueber Normierung auf die Teilchendichte die normierte Verteilungsfunktion, bzw. Die Wahrscheinlichkeitsdichte (Wahrscheinlichkeit w, ein Teilchen mit einem betsimmten (vorgegebenen) Geschwindigkeitsvektor zu finden Statist. Unabh.: Geschw. In einer Raumrichtung ist unabh. Von der in den anderen Isotropie: keine Raumrichtung ausgezeichnet Folge: WK-dichte faktorisiert in die Raumrichtungen (Annhame 1) und haengt nur vom Quadrat der Geschw. 2b (Annahme 2) Exponentialfunktion erfuellt Gl fuer w(v), man kann zeigen, dass es die einzige Loesung ist Lösung:

5 Geschwindigkeitsverteilung
Normierung: bestimmt die Koeffizienten: Definition der Temperatur: Maximum der Geschwindigkeitsverteilung ist bei v=0! Geschwindigkeitsverteilung:

6 Geschwindigkeitsverteilung
Boltzmann-Faktor Links: winkelaufgeloeste Teilchenflussmessung, Teilchendetektor mit Zwei-Blendensystem Rechts: Meesung der Geschwindigkeitskomonente in eine Richtung (Teilchenfluss auf eine Oberflaeche) Verteilungs des Geschwindigkeitsvektors und die seiner Komponenten haben beide ihr Maximum bei v=0 (bzw. V_x …=0) Geschwindigkeitsvektor Geschwindigkeitskomponente

7 Geschwindigkeitsverteilung
Betrag der Geschwindigkeit: Maxwell-Verteilung w ( ) Ekin/kT 0.4 Hier ist w(|v|)=0, d.h. die WK, ein ruhendes Teilchen vorzufinden, ist Null! Energieverteilung: wichtig fuer alle energiebetsimmten Stossprozesse (siehe vorige Vorlesung) 0.3 Energieverteilung 0.2 0.1 1 2 3 4 5 Ekin/kT

8 Geschwindigkeitsdefinitionen
wahrscheinlichste Geschwindigkeit vwahrsch. w(v/vtherm.) 1 thermische Geschwindigkeit vtherm 0.6 0.4 0.2 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 v/vtherm Wahrscheinlichste Geschwindigkeit ”Thermische”Geschwindigkeit Therm. Geschw. Ist im Prinzip eine Geschwindigkeits”einheit” m kT v therm = m kT v wahrsch × = 2

9 Geschwindigkeitsdefinitionen
wahrscheinlichste Geschwindigkeit vwahrsch. mittlere Geschwindigkeit v w(v/vtherm.) 1 thermische Geschwindigkeit vtherm effektive Geschwindigkeit veff 0.6 0.4 0.2 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 v/vtherm Mittlere Geschwindigkeit Effektiv-Geschwindigkeit m kT v × = 8 p kT v = 3 × eff m

10 Vollständiges thermodynamisches Gleichgewicht
Besetzung der Energieniveaus nach der Boltzmannverteilung: Schwarzkörperstrahlung (Plancksches Strahlungsgesetz): Boltzmannbesetzung: g: Besetzungszahl eines Zustandes (Entartung) Aus Boltzmannbesetzung folgt Strahldichte, d.h. die Intensitaetsverteilung eines schwarzen Koerpers (GG zwischen Emission und Absorption) Abgestrahlte Leistung pro Fläche (Stefan-Boltzmann-Gesetz): s= W/(m2K4)

11 Ionisationsgleichgewicht e + n0 e + e + i
Boltzmann-Statistik: für Ionisation: Anzahl der Elektronen im Phasenraumvolumen h3: Mit Ausbildung einer Verteilungsfunktion fuer die Energie (Temperatur) stellt sich auch GG-Zustand fuer Ionisation ein Boltzmann-Statistik fuer die Besetzung der Niveaus, n_0: Anzahl der Teilchen im GZ, n_anr: im angeregten Zustand Ionisierung: Energie des Anregungszust.+ Ionenergie + kin./ Energie des Elektrons (Bew. des e gegen Ion), Gesamtenergie im ionisierten Zustand: W_ion+p^2/(2m) Kin. Energie: keine Quantelung mehr im Gebiet positiver Energien, Zustand gekennzeichent durch Impuls, Phasenraumvolumen des Zustandes: h^3=dV d^3p, daher Summe ueber alle Zustaende vector p: int d^3p dV/h^3 Integration der Gleichung dn_e/ne liefert Saha-Gleichung, wenn man n_i dV=1 setzt, denn Bew. des e ist gegenueber des “Atomkerns” (Ions), daher ist Volumen “eines” Ions einzusetzen Saha-Gleichung: (für Z=1)

12 Lokales thermodynamisches Gleichgewicht
Mittlere freie Weglänge der Teilchen klein gegen Gradientenlänge  Maxwell-Verteilung, Boltzmannbesetzung, Saha-Gleichung  Aber: mittlere freie Weglänge der Photonen nicht klein gegen Gradientenlänge  keine Schwarzkörperstrahlung Beispiel: Fusionsplasmen Betrachte kugelförmiges Fusionsplasma: r=1m, T=10 keV, n= 1020 m-3 Nach Stefan-Boltzmann-Gesetz abgestrahlte Leistung: Meist sind Bedingungen fuer vollstaendiges thermodyn. GG nicht erfuellt, z.B. wegen Gradienten in Dichte und Temperatur Dann definiert man Bereiche, in denen die mittlere freie Weglaenge von Teilchen und Photonen klein ist gegen Gradientenlaenge, dann sind Dichte und Temp. annaehernd konstant.: lokales thermodyn. GG z.B. im Sonneninnern, denn sonst ist mittlere freie Weglaenge der Photonen oft sehr gross Bsp Fusionsplasma:nehme kogelfoermiges Plasma r=1m, T=10 keV, n=10^20 m^-3, im td. GG abgestrahlte Leistung nach Stefan-Boltzmann-Gesetz P_rad=4 pi r^2 sigma T^4 = ^26 W Gespeicherte Energie: 4 pi r^3 n k_B T = 2 10^6 J -> gespeicherte Energie wuerde in 10^-20s abgestrahlt -> Fusionsplasma kann bezueglich der Strahlung nicht im thermodyn. GG sein! -> Plancksche Strahlungsformel und Stefan-Boltzmann-Gesetz nicht anwendbar Gleichung fuer Strahluntgstransport wieder von der Form einer Kontinuitaetsgleichung, jetzt Strahldichte: abgestrahlte Leistung pro Flaeche, Frequenz und Raumwinkel dL_nu/dr = Quellen – Senken Quellen: Emissionskoeffizient durch spontane Emission (epsilon(nu) und Beitrag durch induzierte Emission (beta L_nu) Senke: Absorption von Photonen (-alpha L_nu) Gespeicherte Energie: wäre in 10-20s abgestrahlt!

13 Lokales thermodynamisches Gleichgewicht
mittlere freie Weglänge der Photonen nicht klein gegen Gradientenlänge  keine Schwarzkörperstrahlung Strahlungstransportgleichung? Meist sind Bedingungen fuer vollstaendiges thermodyn. GG nicht erfuellt, z.B. wegen Gradienten in Dichte und Temperatur Dann definiert man Bereiche, in denen die mittlere freie Weglaenge von Teilchen und Photonen klein ist gegen Gradientenlaenge, dann sind Dichte und Temp. annaehernd konstant.: lokales thermodyn. GG z.B. im Sonneninnern, denn sonst ist mittlere freie Weglaenge der Photonen oft sehr gross Bsp Fusionsplasma:nehme kogelfoermiges Plasma r=1m, T=10 keV, n=10^20 m^-3, im td. GG abgestrahlte Leistung nach Stefan-Boltzmann-Gesetz P_rad=4 pi r^2 sigma T^4 = ^26 W Gespeicherte Energie: 4 pi r^3 n k_B T = 2 10^6 J -> gespeicherte Energie wuerde in 10^-20s abgestrahlt -> Fusionsplasma kann bezueglich der Strahlung nicht im thermodyn. GG sein! -> Plancksche Strahlungsformel und Stefan-Boltzmann-Gesetz nicht anwendbar Gleichung fuer Strahluntgstransport wieder von der Form einer Kontinuitaetsgleichung, jetzt Strahldichte: abgestrahlte Leistung pro Flaeche, Frequenz und Raumwinkel dL_nu/dr = Quellen – Senken Quellen: Emissionskoeffizient durch spontane Emission (epsilon(nu) und Beitrag durch induzierte Emission (beta L_nu) Senke: Absorption von Photonen (-alpha L_nu) : Emissionskoeffizient (spontane Emission) : Absorptionskoeffizient : Emissionskoeffizient (induzierte Emission)

14 Strahlungstransport Kirchhoffscher Satz Optische Dicke:
Optische Dicke: (alpha-beta)=alpha’: effektiver Absorptionskoeffizient Ableitung von epsilon_nu/alpha’ siehe (4.17) in Zohms Vorlesung (S. 46) Kirchhoffscher Satz: Das Verhaeltnis von spektralem Emissionsvermoegen und spektralem Absorptionsvermoegen ist bei gegebener Temperatur Von den spezifischen Eigenshaften des Koerpers unabhaengig, d.h. fuer alle Koerper gleich und gleich dem spektralen Emissionsvermoegen des schwarzen Koerpers. Kirchhoffscher Satz gilt auch, wenn Photonen entweichen koennen (bei ausreichender Stossrate). Mit Kirchhoffschem Satz und Def. der optischen Tiefe folgt Strahlungstransportgleichung. Integral in optischer Tiefe von Ort der Strahlungserzeugung bis Detektion. Strahlungstransport-Gleichung:

15 Optische Dicke Strahlungstransport-Gleichung:
<<1: optisch dünnes Plasma (z.B. Kontinuumsstrahlung) >>1: optisch dickes Plasma (z.B. Resonanzlinien) Tau<<1: Strahldichte waechst linear mit Schichtdicke Tau>>1: Strahldichte naehert sich asymptotisch der Schwarzkoeprerstrahlung an. Optisch duennes Plasma z.B. bei Kontinuumsstrahlung (kleiner Absorptionskoeff.) Optisch dickes Plasma oft bei Resonanzlinien( Fraquenzen die Anregung der Atome aus GZ entsprechen) Bild: Lyman-Emissionsspektrum fuer typische Parameter eines Bogenplasmas (10000K, 10^23 m^-1), Linienbreite ueberschaetzt, L_aplha stoesst an Gauss-Kurve an eigentlich Intensitaet(L_alpha)/Intensitaet(L_beta) = 57.5, im Kontinuum ist Strahlungsintensitaet fast Null -> Gesamtstrahlung viel kleiner als erwartet von Stefan-Boltzmann-Gesetz( das ist gewonnen durch Integration der Planck-Kurve ueber Frequenzen) Falls sich vor Emissionsschickt kalte Gas- oder Plasmaschicht befindet, die an den Resonanzlinien stark absorbiert, wird Strahlung dort absorbiert und re-emittiert. In kalter Schicht ist aber wegen B_nu(T) die Strahlungsintensitaet viel geringer. In diesen kalten Plasmen ist Doppler-Verbreiterung viel geringer als in heissen, daher hat man den Effekt nur im Linienzentrum, fuehr zur “Selbstumkehr” der Linien

16 Absorptionslinien Fraunhofer-Linien
“Temperatur” des kontinuierlichen Spektrums, Intensität und Breite der Absorptionslinien geben Aufschluss über Temperatur (Doppler-Effekt) Breite (in den Linienflügeln) gibt auch Aufschluss über Dichte (Druckverbreiterung) Bsp. fuer Selbstumkehr ist Sonne: aus der optische dicken Photospaere abgestrahlte Kontinuumsstrahlung wird im kalten Gas der Sonnenumgebung absorbiert. Absorption aber nur moeglich fuer Linienstrahlung (denn Kontiuumstrahlung ist optisch duenn). Gibt Informationen ueber chem. Zusammensetzung, In der Sonne, Fraunhofer-Linien: Anteil atomaren Wasserstoffs in der Chromosshpaere Kont. Spektrum hat effektive Temperatur (Vgl. Mit Schwarzkoerperstrahlung) Intensitaet ist Mass fuer chem. Zusammensetzung, auch der Ionisierungszustaende Doppler-Effekt: Verschiebung der Frequenzen durch Relativbewegung der Strahler zum Beobachter, Mittelung ueber Maxwell-Verteilung liefert Linienbreite Druckverbreiterung: elektrisches Mikrofeld -> Aufspaltung der Niveaus bei Wasserstoff (l-Entartung): deltaE~E, sonst deltaE~E^2 -> (delta lambda)^-2

17 Spektralklassen Spektralklassen O T~ 50000 K B T~ 25000 K A T~ 10000 K
A T~ K F T~ 7500 K Kont. Spektrum (Vgl. Mit Schwarzkoerperstrahlung) und Absorptionslinien geben Aussagen ueber chem. Zusammensetzung und Temperatur der Atmosphaere: Kuehlere Sterne: ueberwiegend Molekuelbanden bzw. Linienstrahlung durch Uebergaenge vom GZ, kaum Ionenlinien Hoehere Temp: Dissoziationsprozesse -> Molekuelbanden verschwinden, Inetnsitaet der Linien, die vom GZ ausgehen, nimmt ab Linien, die hoeheren TNiveaus. Entsprechen, haben bei best. Temp. ihr maximum (beu kleinen T waechst Int. wegen Anregung der Niveaus, nimmt dann wieder ab wegen IonisationMax. Kann man bestimmen bei Kenntnis der Anregungs- und Ionisationsenergien O: Linien hochionisierter Atome wenig H, aber HeII, Si IV, NIII B: kein HeII mehr, sondern stark HeI, schon staerker H (+SiIII, OII) A: H max. kein HeI mehr, MgII, SiII F: H schwaeher, CaII, ionisierte Metalle auch schon atomare Metalle G: CaII, neutrale Metalle (FeI) K: starke Linien neutraler Atome, Molekuelbanden M: s.o. G T~ 6000 K K T~ 5000 K M T~ 3500 K

18 Linienstrahlung zur Plasmadiagnostik
Messung von: - Plasmatemperatur - Plasmadichte - elektrische Felder (Stark-Effekt) - magnetische Felder (Zeeman-Effekt) Beispiel H_beta: Linienaufspaltung durch Zeeman-und Stark-Effekt im Divertorplasma von AUG Hier: bekannt: B-Feld, Temperatur, Messung der Dichte Zeige: Aufspalung im konstanten E-Feld, Mikrofeldverteilung, +Zeeman-Effekt und Doppler-Effekt

19 Korona-Gleichgewicht
Auch kein Gleichgewicht mehr für stoßbestimmte Prozesse e + n e + e + i Für Rückreaktion ist Dreier-Stoß nötig, daher ergibt sich Saha-Gleichgewicht erst bei hohen Dichten (~ne2) Bei geringen Dichten: Zweierstoßrekombination e + e + i e + n0 + hn e + i Abnehmende Dichte: auch kein GG mehr fuer stossbestimmte Prozesse -> nichtthermisches Plasma Kritisch ist hier: Dreierstossrekombination, wahrscheinlicherer Prozess: Zweierstossrekombination: 3. Partner: Photon, dem wird freiwerdende Energie uebertragen Also: Ionisation durch Stoesse, aber Rekombination durch Strahlungsrekombination, Modell erstmals auf Sonnenkorona angewandt, daher der Name Koronamodell Korona-Gleichgewicht:

20 Korona-Ionisations-Gleichgewicht
Da of T Funktion des radius kann man radiales Profil der verschiededen Ionisationsstufen angeben, im Bild fuer Wolfram in einem Fusionsplasma

21 Nicht-Gleichgewichts-Plasmen
Ratengleichungen müssen gelöst werden! Beispiele: - Wandrekombination wenn - Plasmachemie - keine Maxwell-Verteilung der Elektronen (kinetische Theorie!) Oftmals Abweichung auch von Korona-Gleichgewicht, dann muss man tatsaechlich die Ratengleichungen loesen Bspw. Wenn Wadnrekombination wichtig wird, die ist effektiv, weil man imer Energie- und Impulssatz gleichzeitig erfuellen kann. Wandrekombination wichtig, wenn Laufzeit der Teilchenbis zur Wand kleiner ist als Rekombinationszeit im Volumen Bei kleinen Dichten findet man Ausstroemen mit Ionenschallgeschw. – einige 1000 m/s (siehe Plasmaradnschicht), Bei kleinen Gefaessdimensionen stellt sich damit eine Plasmadichte weit unter dem Korona-GG ein Plasmachemie: reaktionspartner werden schnell abgekuehlt, in Oberflaechenschichten eingebaut oder verlassen schnell die Reaktionszone -> GG zwischen Hin-und Rueckreaktion kann sich nicht einstellen Fuer Te>>Ti nur e-e-Stoesse, fuer hohe Elektronenenergie aber auch selten, z.B. Abbau des hochenergetischen “Schwanzes” der Maxwell-Verteilung durch inelastische Stossprozesse und nicht ausreichend schnelles Auffuellen Solche Plasmen sind doppelt nicht-thermisch,w eil Te>>TI und fuer T_e eigentlich keine volle Maxwell-Verteilung -> kinetische Theorie noetig (siehe entsprechendes Kapitel)