§22 Invertierbare Matrizen und Äquivalenz von Matrizen Wir beginnen mit einer formalen Präzisierung der elementaren Umformungen von Matrizen. (22.1) Definition: Unter einer Elementarmatrix versteht man jede (n,n)-Matrix der Form oder (22.2) Lemma: Jede Elementarmatrix F ist invertierbar, d.h. es gibt eine (n,n)-Matrix G mit FG =GF = E . Notation: F-1 := G .
Kapitel IV, §22 Wegen (22.3) Lemma: Die Inverse einer Elementarmatrix ist wieder eine Elementarmatrix. (22.4) Elementarmatrizen und elementare Umformungen von Matrizen: Sei A eine (m,n)-Matrix. Dann gilt: 1o AFk(t) entsteht aus A durch Multiplikation der k-ten Spalte mit t (hier ist Fk(t) eine (n,n)-Matrix). 2o entsteht aus A durch Addition der k-ten Spalte zur j-ten Spalte. 3o Fk(t)A entsteht aus A durch Multiplikation der k-ten Zeile mit t (hier ist Fk(t) eine (m,m)-Matrix). 4o entsteht aus A durch Addition der j-ten Zeile zur k-ten Zeile. Jede elementare Umformung einer Matrix lässt sich also durch Heran- multiplizieren von Elementarmatrizen beschreiben. Daher nach 20.11:
Kapitel IV, §22 (22.5) Normalformensatz: Zu jeder Matrix A gibt es (m,m)-Matrizen U und (n,n)-Matrizen V , die jeweils Produkte von Elementarmatrizen sind, so dass gilt: (22.6) Korollar: Für eine (n,n)-Matrix A eine gilt: A ist genau dann invertierbar, wenn A ein Produkt von Elementarmatrizen ist. Andere Kriterien für „Invertierbarkeit“: Die durch A gegebene lineare Abbildung ist bijektiv (oder injektiv, oder surjektiv) oder rg(A) = n. (22.7) Definition: Zwei (m,n)-Matrizen A und B heißen äquivalent, wenn es invertierbare Matrizen P und Q gibt, so dass A = PBQ. Diese „Äquivalenz“ liefert eine Äquivalenzrelation auf Kmxn . (22.8) Äquivalenzsatz: Zwei (m,n)-Matrizen A und B sind äquivalent, wenn sie den gleichen Rang haben. 14.01.02 Daher: Knxn/~ = {0,1,2, ... ,n} und Kmxn/~ = {0,1,2, ... ,max{n,m}} .