11. Matrizen

Eine mn-Matrix ist ein Raster aus mn Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (aij)1  i  m, 1  j  n

Eine mn-Matrix ist ein Raster aus mn Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (aij)

11.1 Addition und Multiplikation von Matrizen A = (aij) und B = (bij) seien zwei mn-Matrizen. A + B = C mit cij = aij + bij A - B = C mit cij = aij – bij elementweise Man kann nur solche Matrizen addieren und subtrahieren, die gleiche Zeilenzahl m und gleiche Spaltenzahl n besitzen. Matrixaddition ist assoziativ und kommutativ. = +

( ) 12 13 22 23 31 32 33 ( ) 12 13 21 22 23 A B

B = C A Da der zweite Index des ersten Faktors ebenso wie der erste Index des zweiten Faktors bis n läuft, kann man nur solche Matrizen A und B miteinander multiplizieren, für die gilt: A = mn-Matrix, B = np-Matrix Das Ergebnis ist eine mp-Matrix.

a b c d e f 1 2 3 4 5 6 1a + 2c + 3e

a b c d e f 1a + 2c + 3e , 1b + 2d + 3f

a b c d e f 1a + 2c + 3e , 1b + 2d + 3f 4a + 5c + 6e

( ) a b c d e f 1a + 2c + 3e , 1b + 2d + 3f 4a + 5c + 6e ( ) 1a + 2c + 3e , 1b + 2d + 3f 4a + 5c + 6e , 4b + 5d + 6f

a b c d e f 1 2 3 4 5 6 1a+2c+3e 1b+2d+3f 4a+5c+6e 4b+5d+6f

= Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n. mn-Matrix  np-Matrix = mp-Matrix

= Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n. mn-Matrix  np-Matrix = mp-Matrix Die Operation  ist nicht kommutativ; im Allgemeinen ist selbst für quadratische Matrizen, also solche mit m = n, die sich überhaupt nur in beiden Fällen als Faktoren eignen A  B ≠ B  A

= Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n. mn-Matrix  np-Matrix = mp-Matrix Die Operation  ist nicht kommutativ; im Allgemeinen ist selbst für quadratische Matrizen, also solche mit m = n, die sich überhaupt nur in beiden Fällen als Faktoren eignen A  B ≠ B  A

Berechnung der Inversen A-1 von A. (En (...(E3  (E2  (E1  A))))) = I (En  ...  E3  E2  E1)  A = I (En  ...  E3  E2  E1  I)  A = I = A-1  A Werden also die Elementarmatrizen in derselben Reihen-folge auf die Einheitsmatrix angewandt, so entsteht daraus die zu A inverse Matrix A-1 = En  ...  E3  E2  E1  I