¥ X Transzendent

Algebraische Zahlen sind Lösungen von algebraischen Gleichungen p(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn = 0 mit ganzzahligen Koeffizienten an und nichtnegativen Zahlen n. n heißt Grad des Polynoms. Jede rationale Zahl ist eine algebraische Zahl p(x) = u - vx Bsp.: 2 + x = 0  x = -2 2 - 3x = 0  x = 2/3 2 - x2 = 0  x1 = - , x2 = 1 + x3 = 0  x1 = -1 , x2 = - i , x3 = + i Eine nicht algebraische Zahl heißt transzendent. Der Grad einer rationalen Zahl ist n = 1 Der Grad einer Quadratwurzel ist n = 2 Der Grad einer Kubikwurzel ist n = 3 ... Der Grad einer transzendenten Zahl ist nicht endlich. 1 2 1 2

Irrationalitätsbeweis: x ist nicht Wurzel eines Polynoms vom Grade n = 1: a0 + a1x = 0 mit a0,a1   sonst wäre x = -a0/a1 Transzendenzbeweis: x ist nicht Wurzel eines Polynoms a0 + a1x + ... + anxn = 0 mit an   von beliebigem Grade n <  Obwohl die rationalen Zahlen jeden Punkt der Zahlengerade zu bedecken scheinen, gibt es weitere, die irrationalen Zahlen. Obwohl die algebraischen Zahlen jeden Punkt der Zahlengerade zu bedecken scheinen, gibt es weitere, die transzendenten Zahlen. Alle transzendenten Zahlen sind Irrationalzahlen.

Transzendente Zahlen Joseph Liouville (1809 - 1882 ) 1833 Professor in Paris bekannt vor allem durch den Liouvilleschen Satz: Dx*Dv = const. Fand 1844 die erste transzendente Zahl t = tn = t1 = 0,1 t2 = 0,11 t3 = 0,110001 t = 0,110001...0001000...0001000...0001000... 1 2 6 24 120 720 (irrational, weil nichtperiodisch) Transzendenzbetrachtung: Würde t eine algebraische Gleichung n-ten Grades erfüllen, so auch unendlich viele tn. Damit hätte die Polynomgleichung mehr als n verschiedene Nullstellen .

Charles Hermite (1822 - 1901) bewies 1873 die Transzendenz der Zahl e. a0 + a1e + a2e2 +...+ anen  0 Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852 - 1939) bewies 1882 die Transzendenz der Zahl p. a0 + a1p + a2p2 +...+ anpn  0 Lindemann zeigte, gestützt auf den Hermiteschen Beweis, daß b1ea1 + ... + bnean ≠ 0 für verschiedene algebraische Zahlen a1,...,an und algebraische Zahlen b1,...,bn ≠ 0. Aus eip + 1 = 0 folgt damit die Transzendenz der Zahl p. Ein Polynom kreuzt die Abszisse niemals in x = e oder p.

Das uralte Problem Kreisquadratur wurde 1882 endgültig erledigt. Die Quadratur des Kreises wurde im 5 Jhd. v. Chr. aktuell und war schon 414 so populär, daß Aristophanes (445 - 385) in "Die Vögel" von Kreisquadratoren als von Leuten spricht, die das Unmögliche versuchen. Anaxagoras (500 - 428) - laut Plutarch (46 - 120) im Gefängnis - und Hippokrates von Chios (ca. 450) zählten zu den ersten, die es betrachteten. Seit 1755 nahm die französische Akademie der Wissenschaften keine Arbeiten zur Kreisquadratur mehr an. Johann Heinrich Lambert (1728 - 1777) zeigte 1761 daß p keine rationale Zahl sein kann. 1900 zählte David Hilbert (1862 - 1943) die 23 wichtigsten mathematischen Probleme auf; an siebenter Stelle den Transzendenzbeweis für 2√2 und ähnliche Zahlen. Alexander Gelfand (1906 - 1968) 1929: eip = -1 = i2  e-p = 1/ep = i2i   1934: Alexander Gelfand 1934: Theodor Schneider (1911 - 1988) 2√2 und ähnliche Zahlen  

Das Minimalpolynom für 2 ist 2 - x2 Es besitzt keine rationalen Nullstellen u/v. Andernfalls könnte durch den zugehörigen Linearfaktor (x - u/v) dividiert werden. Beispiel -2 + 2x + x2 - x3 = (2 - x2)(x - 1) Nullstellen: x1 = 1, x2 = -2, x3 = 2 1 + x3 = (1 - x + x2)(x - (-1)) Nullstellen: x1 = -1 , x2 = - i , x3 = + i 1 2 1 2

 1/C

 vmax <

Liouvillesche Zahlen: 3 Liouvillesche Zahlen: , , ,