• • • • • 3.2 Die projektive Erweiterung des E³ notwendig zur effizienten rechnerinternen Verarbeitung allgem. Transformationen g1 Motivation: Z • • Q Q' • P • • g2 R' P' Aufgabe: Projiziere jeden Punkt von g1 zentral auf g2 Problem: Q hat kein Bild Q' R' hat kein Urbild R Definiere Fortsetzung der Abbildung f durch Erweiterung von g1 um einen unendlich fernen Punkt 1 = g1  { 1 } von g2 um einen unendlich fernen Punkt 2 = g2  { 2 } und die Festsetzung f (Q) = 2 f (1 ) = R'

• „projektive Geometrie“  Geometrie unter Hinzunahme von Fernpunkten Frage: Wieviele Fernpunkte ex. in der Ebene (E²) ? (was ist ein Fernpunkt) „zwei parallele Geraden schneiden sich im Unendlichen“  jede Schar paralleler Geraden definiert einen unend- lich fernen Punkt P Geradenrichtung • : = Menge aller Fernpunkte der affinen Ebene E² P² = E²  heißt projektive Ebene

Eine Gerade in P² ist entweder eine affine Gerade mit Fernpunkt oder die Ferngerade Inzidenzbeziehungen: 1. Punkt und Gerade affin: wie bisher 2. Punkt und Gerade uneigentlich: Punkt liegt auf Gerade 3. Gerade affin, Punkt uneigentlich: Inzidenz wenn Rich- tung der Geraden dem uneigentlichen Punkt entspricht 4. Punkt affin, Gerade uneigentlich: keine Inzidenz  Je zwei Geraden besitzen genau einen Schnittpunkt Je zwei Punkte liegen auf genau einer Geraden Frage: Wie rechnet man in projektiven Räumen? Antw.: Durch Einführung von Koordinaten sog. homogene Koordinaten.

nehme zu den affinen Koordinaten eines Punktes eine Homogene Koordinaten Technik nehme zu den affinen Koordinaten eines Punktes eine weitere Koordinate mit hinzu. (x1, x2) (x1 : x2 : 1) Die Rückgewinnung der affinen Koord. definiert man durch (x1 : x2 : x3) (x1/x3, x2/x3) Zwei Punkte in homogenen Koord. betrachtet man als identisch, wenn sie dieselben affinen Koord. besitzen: (x1 : x2 : 1) (x1, x2) (x1 : x2 : ) ( ) = (x1, x2) Außerdem definiert man wegen (x1 : x2 : 0) ( ) = ? einen Punkt der Form = (x1 : x2 : 0) als Fernpunkt zur Geradenrichtung (x1, x2). 1 hom. affin affin affin

• • • Geometrische Deutung ° ° ° 2 x1 • t·(x1, x2) • (x1, x2) ° ° • ° O x3 x2 x3 = 0 x3 = 1 Jedem Punkt P = (x1, x2) der affinen Ebene wird eine Gerade in E³ durch O und Pn = (x1, x2, 1) zugeordnet. (x1, x2) (x1 : x2 : 1): = { (x1, x2, 1) /   R} Entfernt sich P vom Ursprung, so wird die zugeordnete Gerade immer steiler. (t ·x1, t ·x2) (tx1 : tx2 : 1) = (x1 : x2 : 1/t) Ist P unendlich weit von O entfernt, so wird die zuge- ordnete Gerade zu einer in der Ebene x³ = 0 gelegenen Geraden durch P. Dies entspricht dem Grenzprozess t   , der in homog. Koordinaten den Punkt (x1 : x2 : 0) liefert. hom.

Der dreidimensionale projektive Raum P³ = E³  Eigentlicher Punkt aus P³ hat homogene Koordinaten (x1 : x2 : x3 : x4) =  (x1 : x2 : x3 : x4) = (x1/x4 : x2/x4 : x3/x4 : 1), x4 0 affine Koord. (Gerade im R4 durch O und (x1/x4, x2/x4, x3/x4, 1) Fernpunkt hat Koordinaten (x1 : x2 : x3 : 0) (Gerade im R4 durch O und (x1, x2, x3, 0) Menge aller Fernpunkte bildet die Fernebene Projektive Abbildungen wobei die Matrix bis auf einen Skalar festgelegt ist M Pn = M  Pn =  M Pn Standardform: a33 = 1

• • • 3.3 Projektionen 3D-Objekt 2D-Bildschirm Abbildung eines Punktes unter „Zentralprojektion“ geg.: (1) Bildebene , Projektionszentrum Z0 (Z0  ) (2) Punkt P  Z Abb.vorschrift: Die projizierende Gerade durch Z0 und P (Sehstrahl) ist mit der Ebene  zu schneiden. Der Schnittpunkt P' ist der Bildpunkt von P. Projektion  • ° • P P' Z0 • Q ° Q' Besitzt Z einen  großen Abstand zu  (Fernpunkt), so sind alle Sehstrahlen parallel. Man spricht in diesem Fall von Parallelprojektion. An die Stelle des Augpunktes Z0 tritt nun eine Sehrichtung S.

• • Abbildung eines Punktes unter Parallelprojektion: geg.: (1) Bildebene , Projektionsrichtung S (2) Punkt P Abb.vorschrift: Die projizierende Gerade durch P mit der Richtung S ist mit der Ebene  zu schneiden. Der Schnittpunkt ist der Bildpunkt P'.  P' P ° • ° • Q' Q S gilt:   S, so spricht man von Normalprojektion (Normalriss)  S, so spricht man von schiefer Projektion (Schrägriss)

• • Zentralprojektion: spezielles KOS: z0 liege auf negativer z-Achse, Bildebene sei x - y-Ebene, d.h. Normalenvektor der Bildebene ist +z-Achse. P = (x, y, z) P = (x', y', z‘) x P • P' x d O • z0 z y' y y d = |dz| Strahlensatz:

• Matrix-Form: Algorithmus Zentralprojektion: geg.: Augpunkt, Bildebene A, abzubildendes Objekt P, Koordinatensystem S1 P xs • ys • • • z0 zs S2 • S1 1. Wähle Sichtkoordinatensystem S2 = {Os; xs, ys, zs} 2. Bestimme affine Abb. A, die S1 in S2 überführt und A-1 Möglichkeit (a): - A - invertiere A Möglichkeit (b): - überführe S1 in S2 durch eine Folge von 4 elementaren Operationen: -

3. Berechne die Koord. von P bezüglich S2 4. Projiziere Eigenschaft der Zentralprojektion: parallele Geraden, die nicht parallel zur Bildebene sind, werden nicht auf parallele Geraden abgebildet, sondern laufen in einem sog. Fluchtpunkt zusammen. Hauptfluchtpunkte = Fluchtpunkte von Parallelen zu den Koordinatenachsen (max. 3) Klassifizierung der Bildwirkung der Perspektive nach der Anzahl der Hauptfluchtpunkte = Anzahl der Koord.achsen, die sich mit der Bildebene schneiden (1/2/3 Punkt-Perspekt.) { Diese Eigenschaft ist nicht aus der obigen Abb.vorschrift ablesbar, da hier das KOS so transformiert wurde, dass eine 1-Punkt-Perspektive vorliegt } - nicht parallelentreu - nicht teilverhältnistreu - realistische Darstellung durch Tiefeneindruck

geg.: Bildebene , Projektionsrichtung S Parallelprojektion geg.: Bildebene , Projektionsrichtung S wähle spezielles KOS (Sichtkoordinatensystem) S = {Os : xs, ys, zs} derart, dass die Bildebene mit der xs-ys-Ebene und Os mit dem Bildpunkt zusammenfällt. Beachte: Bei dieser Transformation ändern sich die Koord. des Projektionsvektors s. Sei R die Projektionsrichtung nach der Transformation. R3 0, da sonst parallel zu  projiziert wird. ys •  Os xs R zs • P Abb.vorschrift:

Matrixdarstellung: P Proj. Bem.: a) R1 = R2 = 0 bedeutet orthogonale Projektion b) Die Lösung von P Proj. x = 0 ergibt x = R, die Proj.richtung (in nicht normierter Form).