Vorlesung 28: Roter Faden: Heute: Hydrodynamik bei Flüssigkeiten und Gasen Versuche: turbulente Strömung Geschwindigkeitsprofil Bernoulli Prandtlsches Staurohr Barometrische Höhenformel Kamin Windkanal, Tragfläche

Barometrische Höhenformel: Gase Gase: Ansammlung von Teilchen ohne oder sehr geringe Anziehungskräfte. Im Gegensatz zu Flüssigkeiten und Festkörper Expansion über das ganze Volumen und durch Druck komprimierbar. Zustand beschrieben durch drei Variablen: p,V,T. Zustandsgleichung: pV=mRT oder p =  RT (Allgemeine Gasgleichung). T=Temperatur= Maß für Ekin der Moleküle: Ekin=½m<v2>=3/2 kT (k=Boltzmann-Konstante=1,38 10-23 J/K und pV = NkT) Kompressibilität:  = -1/V V/p=0 für Flüssigkeit und  = 1/p für Gas. (V/p=-V/p) Gewichtskraft/Fläche= Druck p = mg/A = -gh. Oder dp = -g dh. Bei Flüssigkeit: =konst  p=p0+gh Bei Gas: =p/RT=konst. p  (p=p/2 für h=5.5 km in Luft) Barometrische Höhenformel: p h p=p0 exp( -0gh/p0 )

Barometrische Höhenformel

Zug im Kamin

Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung Wahrscheinlichkeitsverteilung: f(vz)  exp (-E/kT)  exp(-½mvz2/kT) (Gauß-Verteilung) Für alle Richtungen: f(v) = f(vx)f(vy)f(vz)  exp(-½mv2/kT) Anzahl der Moleküle im Geschwindigkeitsintervall v bis v+dv: n(v)dv =  f(v) dvx dvy dvz  4v2 exp(-½mv2/kT) (da Spitzen der Geschwindigkeitsvektoren der Länge v bis v+dv eine Kugelschale mit dem Volumen 4v2 dv ausfüllen) Maxwell-Boltzmann: n(v)dv v (m/s) T=70K T=270K 400

Hydrodynamik

Stromlinien bei laminaren Strömung

Turbulente Strömung Turbulenz entsteht durch Reibung zwischen den Rand-schichten der Flüssigkeiten oder zwischen Flüssigkeit und Wand Durchmischung der Stromlinien (Wirbel)

Bernoulli Gleichung Energie-Erhaltung: Druck leistet Arbeit: W=Ep+Ek Fds=PAvdt=1/2mv2+mgh

Beispiele P1+ gh P2+½ v22

Prandtlsches Staurohr

Steigrohr nach Bernoulli

Windkanal

Tragfläche Dichte der Stromlinien (=Weltlinie eines ‘Staubkorns’) Je dichter die Stromlinien, je höher Geschwindigkeit, da Av konstant ist (Kontinuitätsgesetz)

Hydrodynamisches Paradoxon Ansaugen wenn P = P0-P1 = ½ v2 > mg/A P1 P0

Magnus-Effekt

Strahlquerschnitt beim Wasserhahn

Laminare Strömung durch Rohre F r v Innere Reibung: F=A dv/dr dv/dy Geschwindigkeitsgradient F=Kraft um Flüssigkeit mit Konstanter Geschwindigkeit zu transportieren  = Viskosität F=r2 dp =  2 rL dv/dr v(r)= dv = dp/4  L  rdr =r2dp/8  L Dies ist Rotationsparaboloid. Volumen/Zeit durch Zylinder mit Radien zwischen r und r+dr: dVdr/dt = 2rdr v(r)  V =  2r r2dp/8  L dr =  R4/8  dp/L Oder allgemein: V =  R4/8  dp/dz (Hagen-Poiseuille Gesetz) (dp/dz = lineare Druckgefälle entlang des Rohres)

Daher: 4/3RK3g(K- Fl) -6RK v = 0 Viskosimeter Kugel fällt in visköser Flüssigkeit. Nach einiger Zeit gleichförmige Bewegung. Dann gilt: Gewichtskraft – Auftrieb +Reibung = 0 Empirisch gilt: FR= -6RK v. (Stokessches Gesetz) Daher: 4/3RK3g(K- Fl) -6RK v = 0 Aus gemessener Geschwindigkeit v und bekannter Kugelradius RK und Dichten  kann  bestimmt werden

Zum Mitnehmen Hydrodynamik: Statische Flüssigkeiten: Pascalsche Gesetz: Strömende Flüssigkeiten: Bernoulli Statische Gase: barometrische Höhenformel p=p0 exp( -0gh/p0)