Modellierung von Zellstrukturen Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren Modellierung von Zellstrukturen

Modellierung von Zellstrukturen Stoffunabhängige Gleichungen Materialgesetze Kompatibilität 15 Unbekannte: x y z xy xz yz x y z xy xz yz u v w Modellierung von Zellstrukturen

Modellierung von Zellstrukturen Mathematische Ansätze stoffunabhängige Gleichgewichtsgleichungen 6 kinematische Gleichgewichtsgleichungen 6 Materialgleichungen Modellierung von Zellstrukturen

Gleichgewichtsgleichungen Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen F a b Virtueller Schnitt Modellierung von Zellstrukturen

Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen F Normalspannungen =dFn/dA dFn dA dFt dF Spannungsvektor der resultierenden Schnittgrößen Sv=dF/dA Tangentialspannungen =dFt/dA Modellierung von Zellstrukturen

Stoffunabhängige Gleichungen z Gleichgewichts- gleichungen zy zx yx yz xy xz y x Modellierung von Zellstrukturen

Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen: x/x + yx/y + zx/z + X = 0   y/y + xy/x + zy/z + Y = 0 z/z + yz/y + xz/x + Z = 0 Modellierung von Zellstrukturen

Modellierung von Zellstrukturen Eliminiert man aus den 15 Gleichungen alle Spannungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Verschiebungen: G [u + (1-2) –1 (/x)] +X = 0 G [v + (1-2) –1 (/y)] +Y = 0 G [w + (1-2) –1 (/z)] +Z = 0 (Navier) Modellierung von Zellstrukturen

Modellierung von Zellstrukturen In den Navier Gleichungen sind: u = 2u/x2+ 2u/y2 + 2u/z2 v = 2v/x2+ 2v/y2 + 2v/z2 w = 2w/x2+ 2w/y2 + 2w/z2 (Laplace) Modellierung von Zellstrukturen

Modellierung von Zellstrukturen Eliminiert man aus den 15 Gleichungen die Verschiebungen und deren Ableitungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Spannungen:  x+(1+)–1(2/x2)+2X/x+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0  y+(1+)–1(2/y2)+2Y/y+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0  z+(1+)–1(2/z2)+2Z/z+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0 (Beltrami) Modellierung von Zellstrukturen

Modellierung von Zellstrukturen  xy+(1+)–1 (2/xy) + X/y + Y/x = 0  xz+(1+)–1 (2/xz) + X/z + Z/x = 0  yz+(1+)–1 (2/yz) + Y/z + Z/y = 0 (Beltrami) Modellierung von Zellstrukturen

Modellierung von Zellstrukturen In den Beltrami-Gleichungen sind:  x= 2x/x2+ 2x/y2 + 2x/z2  y= 2y/x2+2y/y2 + 2y/z2  z = 2z/x2+ 2z/y2 +2z/z2 Die Lösung der DGL (Navier + Beltrami) gelingt nur in seltenen Fällen bei einfacher Geometrie und einfacher Belastung Modellierung von Zellstrukturen

Stoffunabhängige Gleichungen Spannungstensor Bechleunigungsvektor Modellierung von Zellstrukturen

Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen: Sx= xex + yxey+ xzez   Sy= yxex + yey + yzez Sz= zxex + zyez + zez Tensordarstellung: x xy xz   S = yx y yz zx zy z S Spannungstensor Modellierung von Zellstrukturen

Modellierung von Zellstrukturen 15 Unbekannte: x y z xy xz yz x y z xy xz yz u v w 3 Stoffunabhängige Gleichungen 6 Materialgleichungen 6 Kompatibilitätsgleichungen Modellierung von Zellstrukturen

Modellierung von Zellstrukturen Kompatibilitäts- bedingung: Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen Die Verschiebungsvektoren und deren Komponenten sind stetige Funktionen Modellierung von Zellstrukturen

Modellierung von Zellstrukturen Kompatibilitäts- bedingung: Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen u=u(x,y,z,t)=ux(x,y,z,t)ex+uy(x,y,z,t)ey+uz(x,y,z,t)ez Modellierung von Zellstrukturen

Modellierung von Zellstrukturen A A1 B1 D u(x+dx,y,dy,z) u(x+dx,y,z) u(x,y+dy,z) u(x,y,z) C B ux(x+dx,y,z)=ux(x,y,z)+(ux(x,y,z)/ x)dx Modellierung von Zellstrukturen

Kinematisches Gleichgewicht x = u/x u v w y = v/y z = w/z xy = v/x + u/y xz = w/x + u/z yz = w/x + v/z Modellierung von Zellstrukturen

Modellierung von Zellstrukturen iklm= 0 Kompatibilitäts- bedingung: Riemann Tensor 4. Stufe Modellierung von Zellstrukturen

Modellierung von Zellstrukturen σ Stoffgesetze: 1-starres Material 2-linear-elastisch 3-nichtlinear-elast. 4-linear-elastisch-ideal- plastisch 5-starr-plastisch 6-viskoses Material: Kriechen 7-viskoses Material: Relaxieren 5 4 3 2 1 6 7 ε Modellierung von Zellstrukturen

Modellierung von Zellstrukturen Stoffgesetze: Verzerrungstensor Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungstensor Spannungsgeschwindigkeit Modellierung von Zellstrukturen

Modellierung von Zellstrukturen Elastisches Materialverhalten Stoffe ohne Gedächtnis Verzerrungstensor Spannungstensor Modellierung von Zellstrukturen

Modellierung von Zellstrukturen plastisches Materialverhalten Stoffe mit permanentem Gedächtnis Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungsgeschwindigkeit Modellierung von Zellstrukturen

Modellierung von Zellstrukturen viskoses Materialverhalten Stoffe mit schwindendem Gedächtnis Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungstensor Modellierung von Zellstrukturen

Modellierung von Zellstrukturen Zellen sind dynamische Systeme Aggregationsprozesse Dis Biologische Systeme und Zellstrukturen sind in der Regel: Nichtlinear, anisotrop, inhomogen Zylindrische Anisotropie – Blutgefäße Biologische Systeme zeigen ein elastisch bis viskoses Verhalten und können alle Zwischenstadien einnehmen Modellierung von Zellstrukturen

Modellierung von Zellstrukturen Zellen, Zellstrukturen  dynamische Strukturen Spontane Aggregationsprozesse Skelettfilamente Spontane Abbauprozesse extrazelluläre Matrix Frequenzabhängige Materialeigenschaften Versuche zwingend erforderlich Modellierung von Zellstrukturen

Modellierung von Zellstrukturen Näherungsverfahren: Diskretisieren des Zellen und der Zellstrukturen des Materialverhaltens der Belastungsfunktionen der Zeit, direkte Zeitintegration Modellierung von Zellstrukturen