Fachdidaktik Seminar – Kernideen der Mathematik Sommersemester 2009 Universität Mainz Johanna Trinkhaus, Timo Schweißguth

Inhalt der Präsentation 1 Inhalt der Präsentation 2 3 4 5 Umkehrungen in Mathematikunterricht – Was geht, was geht nicht? Winkel um Mathematikunterricht – Wo kommen sie vor? Unterrichtsplanung zum Innenwinkelsummensatz von Dreiecken 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Umkehrungen – Satz des Pythagoras 1 Umkehrungen – Satz des Pythagoras 2 3 4 5 Satz des Pythagoras: Ist ein Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse c, dann gilt: Umkehrung: Sei ein Dreieck ABC mit den Seiten a,b,c gegeben und es gelte . Dann ist das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck mit als Hypotenuse. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Umkehrungen – Satz des Pythagoras 1 Umkehrungen – Satz des Pythagoras 2 3 4 Beweisidee: Wir wählen uns ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b und zeigen, dass dieses kongruent zum Dreieck aus der Umkehrung ist. Schüler sollen an diesem wichtigen und bekannten Satz lernen, worauf es bei Umkehrungen und Beweisen ankommt. Dies ist dann eine gute Übung, um das mathematische Argumentieren zu trainieren. (Kompetenz K1) 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Genauen Beweis siehe UmkehrungPythagoras.doc Mit Hilfe eines kleinen Experimentes (zur Leitidee Raum und Form) lässt sich das Verständnis noch besser fördern. Schülergruppen von drei Personen erhalten eine Knotenschnur und sollen ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Dabei sollen sie bemerken, dass dies eine Anwendung der Umkehrung des Satzes des Pythagoras ist und nicht des Satzes selber. 15 16 17 18 19 20

Umkehrungen – Satz des Thales 1 Umkehrungen – Satz des Thales 2 3 4 5 Satz des Thales: Die freien Ecken C aller rechtwinkligen Dreiecke mit gemeinsamer Hypotenuse AB liegen auf einem Kreis mit AB als Durchmesser. Umkehrung: Jedes Dreieck, dessen Ecken so auf einem Kreis liegen, dass eine Seite Kreisdurchmesser ist, besitzt einen rechten Winkel. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Umkehrungen – Satz des Thales 1 Umkehrungen – Satz des Thales 2 3 4 5 Beweis: Ergänzung des rechtwinkligen Dreiecks zu einem Rechteck und Betrachtung der beiden Diagonalen Vorkenntnisse: Diagonalen eines Rechtecks sind gleich lang Diagonalen eines Rechtecks halbieren sich gegenseitig 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Umkehrungen - Strahlensätze 1 Umkehrungen - Strahlensätze 2 3 4 5 Strahlensätze 1. Strahlensatz Merkregel: 2. Strahlensatz Umkehrung: Erster Strahlensatz ist umkehrbar, der zweite allerdings nicht. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Umkehrungen - Strahlensätze 1 Umkehrungen - Strahlensätze 2 3 4 5 Beweise/Begründungen Für den ersten Satz sollen die Schüler an Beispielen erkennen, dass die Umkehrung gilt Für den zweiten Strahlensatz ergibt ein einfaches Beispiel, dass die Umkehrung nicht gilt. (Kreis um A mit ergibt weitere, nicht parallele, Strecke für die die Behauptung gilt. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Der Gegenbeweis zum zweiten Strahlensatz kann K1 fördern, da die Schüler hier anwenden müssen, dass auf einem Kreisbogen alle Punkte gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben, um begründen zu können, dass die Umkehrung nicht gilt. 15 16 17 18 19 20

Umkehrungen - Probleme 1 Umkehrungen - Probleme 2 3 4 5 Häufig fällt es den Schülern schwer Behauptung und Voraussetzung zu trennen. So wird beim Beweisen vielleicht ungültiges als Beweismittel eingesetzt. Schüler müssen bei Gleichungsumformungen darauf achten ob die Umkehrung wirklich gelten kann. (Umkehrung könnte /0 sein) Trennung von Satz und Umkehrung 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Bei der Trennung von einem Satz und seiner Umkehrung fällt es den Schülern häufig schwer diese zu unterscheiden. Bei dem Bsp. mit der Knotenschnur denken viele Schüler erstmal, dass dies der Satz des Pythagoras ist, das ist aber falsch. 15 16 17 18 19 20

Winkel - Höhenbestimmung 1 Winkel - Höhenbestimmung 2 3 4 5 Problemstellung Aufgabe Schüler gehen auf den Schulhof und sollen die Höhe h des Schulgebäudes bestimmen und vorher eine Skizze anfertigen Vorerst sollen die Schüler ohne Hilfe zurecht kommen Hilfestellung: Trigonometrische Funktionen 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Die Schüler sollen durch das Beispiel erkennen, was gemessen werden muss. Damit lernen sie einen Realitätsbezug herzustellen und trainieren dadurch K3 (Probleme mathematisch modellieren) 15 16 17 18 19 20

Winkel - Höhenbestimmung 1 Winkel - Höhenbestimmung 2 3 4 5 Vorkenntnisse: Umgang mit der Winkelmessung eines Theodoliten (Einführung im Unterricht) Kenntnisse über trigonometrische Funktionen Probleme Schüler versuchen h zu schätzen, indem sie die Höhe des Gebäudes mit der eigenen Größe vergleichen Zeichnungen allein helfen bei Messung nicht, da der Realitätsbezug verloren geht 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Hier können die Schüler durch Erstellen eines eigenen Modells (Skizze mit passender Beschriftung) lernen Mathematische Probleme zu modellieren (K3), um damit die Aufgabe zu lösen. 15 16 17 18 19 20

Winkel – Ähnliche Dreiecke 1 Winkel – Ähnliche Dreiecke 2 3 4 5 Problem: Quadrat mit Seitenlänge 8cm Aufgabe: Zeige, dass alle Dreiecke ähnlich sind. Zeige an einem Dreieck, dass die Seitenverhältnisse 5:4:3 sind. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Winkel – Ähnliche Dreiecke 1 Winkel – Ähnliche Dreiecke 2 3 4 5 Vorkenntnisse: Innenwinkelsummensatz von Dreiecken Definitionen von Stufen-, Wechsel- und Nebenwinkeln Satz des Pythagoras Probleme: Sehr formal, da keine Zahlenbeispiele Anwendungsaufgabe Bsp. mit Winkelmessungen kann helfen 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Die Schüler müssen aufpassen, dass sie die Definitionen von kongruent und ähnlich nicht verwechseln. Dadurch, dass die Schüler hier viel gelerntes anwenden müssen, um die Aufgabe zu lösen, ist es ein gutes Training für K5. 15 16 17 18 19 20

Winkel – Grad- und Bogenmaß 1 Winkel – Grad- und Bogenmaß 2 3 4 Problem: Was ist b? Wie berechne ich b? Idee: Einheitskreis  Schüler sollen erkennen, dass b eine Teil von U ist Aufgabestellung: Schüler sollen Werte vom Bogenmaß ins Gradmaß umrechnen und umgekehrt Schüler sollen möglichst alleine allg. Formeln aufstellen Was ist bei ? 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Durch die hohe formale Abstraktion können die Schüler den Umgang mit bereits gelernten trainieren. (K1,6) Außerdem können Winkel im Grad und Bogenmaß dafür eingesetzt werden, um Schülern zu zeigen, dass es in der Mathematik für gleiche Dinge unterschiedliche Darstellungen gibt ( K4). 15 16 17 18 19 20

Winkel – Grad- und Bogenmaß 1 Winkel – Grad- und Bogenmaß 2 3 4 5 Vorkenntnisse: Berechnung vom Kreisumfang Umgang mit Winkeln im Bogenmaß Probleme: Formale Abstraktion 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Einstiegsmöglichkeiten Winkelsummensatz 1 Einstiegsmöglichkeiten Winkelsummensatz 2 3 4 5 Dreieck auf Papier oder Pappe zeichnen und ausschneiden, Ecken abreißen und zusammenlegen Im Helf oder mit DynaGeo sollen die Schüler versuchen ein Dreieck mit möglichst großer Innenwinkelsumme zu zeichnen Abschreiten der Winkel Formaler Ansatz für die besseren Schüler 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Genauere Beschreibung der 4 Möglichkeiten in EinstiegInnenwinkelsumme.doc Hier werden K6 (Kommunizieren) und K1 (Mathematisch argumentieren) besonders gut gefördert, da die Schüler ihre Ideen vorstellen müssen und zusammen nach Fehlern, usw. suchen müssen. 15 16 17 18 19 20