Tutorat Statistik II im SS 09 zweifaktorielle Varianzanalyse ch-langrock@t-online.de

Memo: Kontraste & post-hoc-Tests Was fällt euch noch ein? Wichtige Infos: Wozu brauche ich das Verfahren und wie rechne ich es.

Kontraste oder post-hoc-Tests? keine Vermutung über Gruppenunterschiede Vermutung über Gruppenunterschiede F-Test: signifikant? post-hoc-Tests paarweiser Vergleich von Mittelwerten Rainers Geschichte Vergleich von Mittel-wertskombinationen Tukey-HSD-Test Scheffe-Test Kontraste; ersetzen auch den F-Test 3

Memo - Beantworten die Frage, welche Mittelwerte sich bei einer ANOVA signifikant unterscheiden Kontraste: werden vorab formuliert; ersetzen F-Test Post-hoc-Tests: prüfen nach signifikantem F-Test, welche Mittelwerte sich unterscheiden Vor- und Nachteile: Kontraste haben die höhere Power (→KTS), erlauben dafür jedoch nur eine begrenzte Anzahl von Mittelwertsvergleichen (p-1) Ob die gewählten Kontraste unabhängig sind, muss per Hand geprüft werden – SPSS setzt die Unabhängigkeit voraus Kontrasthypothesen können gerichtet oder ungerichtet formuliert sein → Was bedeutet dies bezüglich der Power?

Thema: zweifaktorielle Varianzanalyse

Gliederung Funktion der 2-fak. ANOVA Haupt- und Interaktionseffekte Quadratsummenzerlegung & F-Tests Interaktion und ihre Formen

Funktion der 2-fak. ANOVA

Zweifaktorielle Varianzanalyse Wenn wir den Einfluss einer UV bzw. eines Faktors (mit x Stufen) auf eine AV untersuchen, verwenden wir die einfaktorielle ANOVA Untersuchen wir den Einfluss von mehreren UVs bzw. Faktoren auf eine AV, können wir die von mehrfaktoriellen ANOVA nutzen → vgl. „einfache“ vs. multiple Regression Zusätzlich erkennen wir noch, ob die Faktorstufen in Bezug auf die AV in Wechselwirkung treten (interagieren) → vgl. Regression: Moderatoranalyse

Übersicht ANOVA Hier eine Übersicht über die verschiedenen varianzanalytischen Verfahren. Einige davon werden wir genauer kennenlernen. (Diese Tabelle finden Sie auch im Skript.)

einfaktorieller Versuchsplan UV (3-stufig) Mitarbeiter Team-leiter Abteilungs-leiter

zweifaktorieller Versuchsplan Faktor B Faktor A Mitarbeiter Teamleiter Abteilungsleiter Kom. Training Entsp. Training Indizes: → j = Zeile; k = Spalte → Zeilenmittelwert → Spaltenmittelwert → Gesamtmittelwert

Haupt- und Interaktionseffekte

Effekte Effekt: Abweichung eines Gruppenmittelwerts vom Gesamtmittelwert → Gruppenzahl = Anzahl der Faktorstufen Mathematisch:

einfaktorieller Versuchsplan UV (3-stufig) Mitarbeiter Team-leiter Abteilungs-leiter Berechnet die Effekte…

Effekte der zweifaktoriellen ANOVA Effekte des Faktors A (Haupteffekt A): Effekte des Faktors B (Haupteffekt B): sowie die Interaktionseffekte ( „Vorstufe“ Zelleneffekte) …

zweifaktorieller Versuchsplan I Faktor B Faktor A Mitarbeiter Teamleiter Abteilungsleiter Kom. Training Entsp. Training Berechnet nun die Effekte für Faktor A… Genau(er) genommen wäre der Gesamtmittelwert 10.775, was jedoch das Berechenen der Interaktionseffekte sehr komplizieren würde, weshalb wir Fünfe gerade sein lassen; auch ein anschaulisches Beispiel für den Segen von Statistikprogrammen. Was fällt hier auf? Effektsumme ≠ 0 Rundungsfehler Software!

zweifaktorieller Versuchsplan II Faktor B Faktor A Mitarbeiter Teamleiter Abteilungsleiter Kom. Training Entsp. Training Berechnet nun auch die Effekte für Faktor B…

Zelleneffekte Der Effekt eine Kombination bestimmter Stufen der Faktoren A und B berechnet sich als: Auch hier tritt wieder ein Rundungsfehler auf: Effektsumme = 0,1 Auch für Zelleneffekte gilt: Effektsumme = 0  Der „Zelleneffekt“ ist nicht aussagekräftig, da er auch von den Haupteffekten beeinflusst wird.

Interaktionseffekte (A x B) Somit berechnen sich Interaktionseffekte als Differenz des jeweiligen Zelleneffekts und der beteiligten Haupteffekte: Für Interaktionseffekte gilt wie für alle Effekte: Die Summe der Effekte beträgt null!

Berechnung: Interaktionseffekte Faktor B Faktor A Mitarbeiter Teamleiter Abteilungsleiter Kom. Training Entsp. Training

Ergebnis: Interaktionseffekte  Auch hier beträgt die Summe der Effekte aufgrund des kummulierten Rundungsfehlers nicht null…

Strukturgleichungen 1-fak. ANOVA: 2-fak. ANOVA: zweifak. ANOVA = einfak. ANOVA + Effekt Faktor B + Interaktionseffekt

Strukturgleichung des ALM

Quadratsummenzerlegung & F-Tests

Quadratsummenzerlegung einfaktorielle ANOVA: SStotal = SSbetween (Faktor A) + SSwithin zweifaktorielle ANOVA: SStotal = SSFaktor A + SSFaktor B + SSAxB + SSwithin

Quadratsummen 2-fak. ANOVA

Mittlere Quadrate und Freiheitsgrade

F-Tests Faktor A: Faktor B: Interaktion: Nur der Zähler ändert sich, im Nenner steht jeweils die Fehlervarianz.

Und weiter… Weiterhin analog zur 1-fak. ANOVA: Post-hoc-Tests, wenn mindestens ein F-Test signifikant wird Wenn im Vorhinein Hypothesen bestehen: Kontraste Dies wird jedoch nicht in der Vorlesung behandelt; interessierten sei Leonhart S. 401 ff. empfohlen

Rechenbeispiel In einer kleinen Therapiestudie wurde der Einfluss der Faktoren Therapiemethode (VT=Verhaltenstherapie, GT=Gesprächstherapie, PA=Psychoanalyse) und Altersgruppe (Mediansplit: jung/alt) auf den Therapieerfolg untersucht (Skala 1-10, hohe Werte = guter Erfolg).

Faktor B: Therapiemethode Faktor A: Alter VT GT PA Obere 50 % 5 4 6 3 Berechnet die Quadratsummen (SS) Berechnet die mittleren Quadratsummen (MS) Führt F-Tests für alle Effekte durch. Faktor B: Therapiemethode Faktor A: Alter VT GT PA Obere 50 % 5 4 6 3 7 Untere 50% 9 2 10 1 8

Lösungen: SSA (Alter) = 0,89; df (p-1) = 1, MSA = 0,89 SSB (Therapie) = 27,44; df (p-1) = 2; MSB = 13,72 SSAxB = 52,78; df (p-1)*(q-1) = 2; MSAxB = 26,39 SSwithin = 14,67; df p*q*(n-1)= 12; MSwith = 1,22 FA = 0,73 FB = 11,23 FAxB = 21,6

Interaktion und ihre Formen

Inhaltliches Beispiel zwei Schmerztherapien S1 und S2 (Faktor A) an hoch Belasteten und niedrig Belasteten getestet (Faktor B) kein Haupteffekt der Intervention oder der Probandengruppe aber eine Wechselwirkung (Interaktion): bei hoch Belasteten wirkt Therapie 1 besser bei niedrig Belasteten hingegen Therapie 2

Welche Formen der Interaktion kennt ihr? Ordinale Interaktion → beide Haupteffekte global interpretierbar Hybride Interaktion → ein Haupteffekt global interpretierbar Disordinale Interaktion → kein Haupteffekt global interpretierbar Global intepretierbar: Auf jeder Faktorstufe des jeweils anderen Faktors tritt der Effekt des betreffenden Faktors gleichgerichtet auf.

Globale Interpretierbarkeit inhaltlich Wir untersuchen den Einfluss der jeweils 2-stufigen Faktoren Alter und Alkoholkonsum auf die AV Reaktionszeit. Ergebnis: Alle F-Tests sind signifikant und es liegt eine ordinale Interaktion vor: jüngere sind sowohl unter Alkoholeinfluss als auch nüchtern schneller als entsprechende ältere (Haupteffekt Alter; global interpetierbar) Menschen unter Alkoholeinfluss sind immer langsamer, als die nüchterne Vergleichsgruppe (Haupteffekt Alkoholkonsum; global interetierbar)

grafische Interpretation Ordinale Interaktion: gleicher Trend für beide Lininen in beiden Diagrammen Hybride Interaktion: gleicher Trend in einem, entgegengesetzter im anderen Diagramm Disordinale Interaktion: entgegengesetzter Trend in beiden Diagrammen

Welche Interaktion? hybrid

Welche Interaktion? disordinal

Welche Interaktion? ordinal

Übung Interaktionsformen Eure F-Tests sagen euch, dass in folgendem Datensatz neben der Interaktion zwei Haupteffekte vorliegen. Um welchen Typ der Interaktion handelt es sich. a) b) c)

a) Hybride Interaktion: Gleiche Trends in einem Diagramm, entgegengesetzte Trends im anderen b) Ordinale Interaktion: Gleiche Trends für alle Linien in beiden Diagrammen c) Disordinale Interaktion: Entgegengesetzte Trends in beiden Diagrammen

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!

Fleißarbeit I Interpretiert die Ergebnisse der F-Tests aus unserer kleinen Therapiestudie (Folie 29). Hinweis: Es ist einfacher, jeden Effekt getrennt zu bewerten. Fkrit (1,12) = 4,74; Fkrit (2,12) = 3,89

Ergebnis I Man kann nicht sagen, dass das Alter allein einen Einfluss auf den Therapieerfolg hat (kein Haupteffekt A). Es darf behauptet werden, dass die Therapiemethode einen Einfluss hat (Haupteffekt B). Weiterhin gibt es offenbar eine Wechselwirkung zwischen Alter und Therapiemethode (Interaktionseffekt): Offenbar sprechen ältere vergleichsweise gut auf Psychoanalyse an, jüngere vergleichsweise gut auf Verhaltentherapie. Bei Gesprächstherapie scheint es keinen Effekt des Alters zu geben. Um diese Aussagen zu verifizieren, müssten noch post-hocTests durchgeführt werden.

Fleißarbeit II Die F-Tests zu unserem Versuchsplan von Folie 16 zeigen folgende Ergebnisse: Welche praktischen Empfehlungen für die Geschäftsleitung leiten Sie aus diesen Daten ab? Ist ein Training besser als das andere?

Ergebnis II Generell kann nicht gesagt werden, welches Training besser ist (weil es keinen Haupteffekt A gibt). Die Interaktion deutet aber darauf hin, dass die Trainings unterschiedlich gut für die Gruppen geeignet sind. Das Kommunikations-training sollte daher für Kundenberater und das Entspannungstraining für Mitglieder des mittleren Managements durchgeführt werden. Ob es einen Unterschied in der Wirksamkeit auch für Mitglieder des höheren Managements gibt, kann nur ein post-hoc Test entscheiden.