0.8.1 Definition des Logarithmus 0.8 Logarithmen 0.8.1 Definition des Logarithmus Gegeben ist die Gleichung : ax = c Wir unterscheiden, je nachdem was gesucht wird: ax = c Potenzieren: Wert einer Potenz wird gesucht ax = c Radizieren: Basis einer Potenz wird gesucht 1. Umkehrung des Potenzierens a = ax = c Logarithmieren: Exponent einer Potenz wird gesucht 2. Umkehrung des Potenzierens x = loga c Der Logarithmus ist die Zahl, mit der man eine gegebene Basis potenzieren muß, um eine bestimmte Zahl(Numerus) zu erhalten. x = loga c  ax = c Sprechweise: x ist der Logarithmus von c zur Basis a Gültigkeitsumfang: a  IR+\ {1} ; c  IR+ ; x  IR Seitenwechsel  M

Beispiele: log39 = 2 , weil 32 = 9 log5125 = 3 , weil 53 = 125 Achtung: Weiterklicken erst nach selbständigem Lösen der Logarithmen. Bitte auch jeweils Begründung überlegen. log10100 = 2 , weil 102 = 100 log3 (1/9) = -2 , weil 3-2 = 1/9 log10(1/10) = -1 , weil 10-1 = 1/10 log101 = 0 , weil 100 = 1 log310  2,1 , weil 32,1  10 An einem Zahlenbeispiel wird noch einmal der Zusammenhang zwischen Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren gezeigt: 43 = 64 log4 64 = 3 Seitenwechsel  M

loga(b•c) = logab + logac 0.8.2 Logarithmengesetze Multiplikation: loga(b•c) = logab + logac Beweis über Zahlenbeispiel: log2(8•32) = ? log2(256) = 8 weil 28 = 256 log2(8) = 3 weil 23 = 8 8 = 3 + 5 log2(32) = 5 weil 25 = 32 also ist log2(8•32) = log2(8) + log2(32) Division: b loga(--) = logab - logac c Beweis über Zahlenbeispiel: log2(64/4) = ? log2(16) = 4 weil 24 = 16 log2(64) = 6 weil 26 = 64 4 = 6 - 2 log2(4) = 2 weil 22 = 4 also ist log2(64/4) = log2(64) - log2(4) Seitenwechsel  M

loga(bn) = n•logab loga = •logab Potenzieren: Beweis über Zahlenbeispiel: log2(43) = ? log2(64) = 6 weil 26 = 64 log2(43) = log2(4•4•4) = log24 + log24 + log24 = 2 + 2 + 2 also ist log2(43) = 3•log2(4) loga = •logab Radizieren: log2 = log24 = ? Beweis über Zahlenbeispiel: log24 = 2 weil 22 = 4 log216 = 4 weil 24 = 16 log2(16)1/2 = 1/2 log216 = 1/2 • 4 = 2 also ist log2 = 1/2 log2(16) Seitenwechsel  M

 x  IR c  IR+ a  IR+\{1}     M Prüfung des Gültigkeitsumfang für x = logac: Der Logarithmus x kann jede beliebige reelle Zahl sein(siehe vorhergehende Beispiele) x  IR Kann man auch den Logarithmus einer negativen Zahl bilden? z.B. : log3(-27) = x  3 x = -27 Es gibt keine reelle Zahl, die diese Gleichung erfüllt, d.h. c darf keine negative Zahl sein. c  IR+ Kann man auch den Logarithmus von 0 bilden? z.B. : loga0 = x  a x = 0 Es gibt keine reelle Zahl, die diese Gleichung erfüllt, d.h. c darf nicht 0 sein Welche Werte sind für die Basis a möglich? a<0 : x = log-2 8 (-2)x = 8  keine Lösung a=0 : x = log0 8 (0)x = 8  keine Lösung a=1 : x = log1 8 (1)x = 8  keine Lösung 0 < a < 1 : x = log0,5 0,125 (0,5)x = 0,125  x = 3  a  IR+\{1} auch aus den Beispielen auf der Seite davor Seitenwechsel  M