Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang Gitterebenen (Netzebenen) und Millersche Indizes Beschreibung einer Ebene im Punktgitter: Schnittpunkte in Einheiten der Basisvektoren: m, n, o (Bsp: 3, 1, 2) bilde Kehrwerte: h‘ = 1/m, k‘ = 1/n, l‘ = 1/o (Bsp.: 1/3, 1/1,1/2) Multiplikation mit kleinster ganzen Zahl p, so dass teilerfremde ganze Zahlen entstehen h = p/m =ph‘, k = p/n = pk‘, l = p/o = pl‘ (Bsp.: 2, 6, 3) (hkl) Millersche Indizes; beschreiben Lage dieser und aller dazu äquivalenter Ebenen (Ebenenschar) Normalenvektor n = [hkl], steht senkrecht auf Ebenenschar 3.) Strukturbestimmung – Grundlagen der Beugungstheorie Man unterscheidet: lokale Verfahren (Rastertunnelmikroskopie, Elektronenmikroskopie,…) Beugungsverfahren (nutzen Periodizität) 18.5.2011 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 24

Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang Beugungsverfahren Strahlung  = (E) Energie E de Broglie Photonen  = hc/E 1 keV – 100 keV 10 – 0.1 Å Neutronen  = h/(2mE)1/2 0.01 – 1 eV 3 – 0.3 Å Elektronen 10 eV – 1 keV 4 – 0.4 Å Kriterien für Wahl der Quelle: geeignete Wellenlänge, insbesondere  < Gitterparameter! Wechselwirkung mit der Materie (z.B. stark für Elektronen, schwach für Photonen) 3.1) Beugungstheorie Beobachter P B Quelle Probe Q ebene Wellen 18.5.2011 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 25

Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang Annahmen: Eben einfallende Welle Kohärente Streuung (einfallende Welle rege Materie an allen Punkten P zur Emission von Kugelwellen an; es besteht feste Phasenbeziehung zwischen Primärstrahlung und angeregten Kugelwellen 3) Einfachstreuung Amplitude der einfallenden Strahlung am Ort P zur Zeit t mit () Streubeitrag der Kugelwelle des Ortes r zur Amplitude bei B () Streudichte, enthält gesuchte Information über Gitterstruktur Amplitude der auslaufenden Kugelwelle am Ort B; A  Abstand-1 18.5.2011 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 26

Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang Berücksichtigt man, dass und () mit () und () ergibt sich: Gesamte Streuamplitude durch Integration über Probe: Messgröße: Streuintensität I elastische Streuung k0 = k K k0 k mit dem „Streuvektor“ 18.5.2011 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 27

Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang Beachte: Streuintensität  Fourier-Transformierte der Streudichte bzgl. Streuvektor2 vgl. Optik: I   Fourier-Transformierte des beugenden Objektes2 3.2) Periodische Strukturen und reziprokes Gitter Wenn (r) periodisch, kann Funktion in Fourier-Reihe entwickelt werden für gerade Funktion in 1D: Atompositionen Periodizität: 1 = a = 2/k1 x (x) x a wie gefordert 18.5.2011 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 28

2D Projektion des Punktgitters zur Bestimmung des Netzebenenabstandes dhkl m = 1, n = 2  h‘ = 1, k‘ = 1/2 p = 2  h = 2, k = 1 grüne Ebenen: dhkl = d‘hkl/p = d‘hkl/2 blau-gestrichelte Ebenen: gleiche Besetzungsdichte wie grüne Ebenen, also äquivalent dazu