Dynamische Investitionsrechnung Kapitalwertmethode Interne Zinsfußmethode Annuitätenmethode Dynamische Amortisationsrechnung

Vorbemerkungen Dynamische Investitionsrechnungen beziehen sich im Gegensatz zu den statischen Verfahren auf die gesamte Nutzungszeit. Sie basieren auf Einzahlungen und Auszahlungen und berücksichtigen auch den unterschiedlichen zeitlichen Anfall dieser Zahlungsströme.

Gemeinsame Merkmale Alle hier dargestellten Methoden haben folgende gemeinsame Eigenschaften. Hierbei wird an die drei Tatbestände angeknüpft, die im Rahmen der statischen Investitionsrechnung als Basis der Kritik gedient haben. Zielsetzung des Investors Investition als echte Handlungsalternative zeitliche Struktur der Zahlungsreihen

Zielsetzungen des Investors Die dynamischen Rechnungen orientieren sich im Gegensatz zu den statischen Rechnungen grundsätzlich an mehrperiodig definierten Zielsetzungen (hier Gewinnmaximierung) Als Erfolgsmaßstäbe werden Zahlungsvorgänge als Rechengrößen verarbeitet. Sie operieren stets mit Einnahmen und Ausgaben im Sinne von kassen- oder liquiditätswirksamen Prozessen.

Investition als echte Handlungsalternative Im Gegensatz zu den statischen Investitionsrechnungen bietet erst die dynamischen Investitionsrechnungen eine echte Vergleichbarkeit der Investitionsalternativen. Die dynamischen Investitionsrechnungen erfassen die Zeitstruktur der Einnahmen und Ausgaben dadurch, daß sie die zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallenden Zahlungen mit Hilfe der Zinseszinsrechnung auf einen gemeinsamen Vergleichszeitpunkt abzinsen (diskontieren) oder aufzinsen.

Finanzmathematische Begriffe Zahlungsreihe Endwert Barwert Jahreswert Kapitalwert Interner Zinsfuß Annuität (-enmethode)

Definition - Zahlungsreihe Eine Zahlungsreihe ist eine nach Perioden geordnete Reihe der Zahlungen. Dabei werden aus Vereinfachungsgründen alle im Laufe einer Periode anfallenden Zahlungen fiktiv am Periodenende/-anfang angenommen. Kn K0 e1 e2 e3 e4 ... en Jahre t0 t1 t2 t3 t4 ... tn T

Definition - Endwert (1) Der Endwert ist der Wert, der sich durch Aufzinsung ergibt. Dieser entspricht dem Wert am Ende der gesamten Betrachtungsperiode zum Zeitpunkt T (also nach n Jahren) Kn = Endwert im Zeitpunkt T K0 = Wert im Zeitpunkt t0 i = Kalkulationszinsfuß (1 + i)n = qn = Aufzinsungsfaktor

Definition - Endwert (2) Bei mehrmaligen Zahlungen wird der Endwert über Aufzinsen der Einzahlungen je Periode und anschließende Addition ermittelt. e1 e2 Kn 0 1 2 3 Jahre

Definition - Endwert (3) Falls sich bei mehrmaligen Zahlungen gleich hohe Beträge Ende einer Periode ergeben, ist folgende vereinfachende Formel anwendbar:

Beispiel - Endwert 10.000 DM werden für 10 Jahre zu 8% angelegt. Wie hoch ist der Endwert ? K10 = 10.000 * (1 + 0,08)10 = 21.589,25 DM e1 = 5.000 DM, e2 = 10.000 DM, i = 10% Wie hoch ist der Endwert nach 4 Jahren ? K4 = 5.000 * 1,13 + 10.000 * 1,12 = 18.755 DM

Definition - Barwert (1) Barwert ist der Wert, der sich durch Abzinsung ergibt. Dies entspricht dem Wert zu Beginn der Betrachtungsperiode. Bei einmaliger Zahlung: Kn = Endwert im Zeitpunkt T K0 = Wert im Zeitpunkt t0 i = Kalkulationszinsfuß

Definition - Barwert (2) Bei mehrmaligen Zahlungen erfolgt die Ermittlung des Barwertes über Abzinsen der Einzahlungen je Periode und anschließender Addition 0 1 2 3 Jahre K0 e1 e2

Definition - Barwert (3) Falls bei mehrmaligen Zahlungen gleich hohe Beträge e am Ende jeder Periode auftreten, ist folgende Vereinfachung anwendbar:

Beispiel - Barwert Ein Betrag von 10.000 DM steht am Ende von 5 Jahren zur Verfügung. Wie hoch ist der Barwert bei einem Zinssatz von 5% ? 5 Jahre lang entstehen Einzahlungen von je 2.000 DM. Wie hoch ist bei i=10% der Barwert?

Kapitalwert Der Kapitalwert einer Investition ist die Differenz zwischen dem Barwert der investitionsbedingten Einzahlungen und dem Barwert der investitionsbedingten Auszahlungen. Co = Kapitalwert Ce = abgezinste Einzahlungen Ca = abgezinste Auszahlungen

Aussagegehalt des Kapitalwert Wenn der Kapitalwert positiv ist, ist die Kapitalverzinsung größer als der Kalkulationszinsfuß. Investition ist lohnend. Wenn der Kapitalwert negativ ist, ist die Kapitalverzinsung niedriger als der Kalkulationszinsfuß. Geld zum Kalkulationszinsfuß anlegen.

Bruttomethode Bei der Bruttomethode werden die Einzahlungen abgezinst und addiert. Dies ergibt den Barwert der Einnahmen Ce. Dann werden die Auszahlungen abgezinst und addiert. Dies ergibt den Barwert der Ausgaben Ca. Der Kapitalwert ergibt sich dann aus der Differenz Ce - Ca.

Nettomethode (1) Es werden zunächst die Nettoeinzahlungen je Jahr ermittelt. e1-a1 = ü1, ... , en - an = ün Dann werden diese Nettoeinzahlungen je Jahr abgezinst. Diese summiert ergeben den Barwert der Nettoeinzahlungen Der Kapitalwert ergibt sich dann, wenn von dem Barwert der Anschaffungswert abgezogen wird.

Nettomethode (2) oder L = Liquiditätserlöse C0 = Kapitalwert e, a = Einzahlungen, Auszahlungen q = (1+Zinssatz)

Beispiel - Kapitalwert Anschaffungskosten = 100.000,- Nutzungsdauer 5 Jahre Zinssatz 8% Keine Liquiditätserlöse Einzahlungen und Auszahlungen siehe Tabelle Ist diese Investition vorteilhaft ?

Interner Zinsfuß Der interne Zinsfuß r einer Investition ist derjenige Zinsfuß, bei dessen Anwendung als Kalkulationszinsfuß der Kapitalwert der Investition gleich Null ist:

Interner Zinsfuß - grafische Darstellung Der Kalkulationszinsfuß i, der zu C0= 0 führt, wird interner Zinsfuß genannt und mit r bezeichnet.

Interner Zinsfuß - Zusammenhänge Die interne Zinsfußmethode ist gewissermaßen die Umkehrung der Kapitalwertmethode. Sie geht von derselben Gleichung aus, behandelt aber nun den Zinsfuß r als Unbekannte. Da das Errechnen des internen Zinsfußes bei Gleichungen n-ten Grades per Hand schwierig ist, bedient man sich der linearen Interpolation.

Interner Zinsfuß - Lineare Interpolation C0 i* C01 i i2 i1 r C02

Beispiel - Interner Zinsfuß Anschaffungskosten 100.000 DM, Dauer 5 Jahre, Kalkulationszinsatz 12%. Zahlungsreihe siehe Tabelle, Versuchszinssätze 10% und 20 %.

Annuitätenmethode (1) Bei der Annuitätenmethode werden die Einnahme- und Ausgabereihen in jährlich gleiche Zahlungen transformiert. Dann ist ein Vergleich der jährlichen Einnahmen mit den jährlichen Ausgaben möglich

Annuitätenmethode (2) d = Annuität C0 = Kapitalwert Annuität = Kapitalwert* Kapitalwiedergewinnungsfaktor d = Annuität C0 = Kapitalwert

Merksatz Eine Investition ist dann vorteilhaft, wenn bei gegebenem Kalkulationszinssatz die durchschnittlichen jährlichen Einnahmen größer bzw. mindestens so groß wie die durchschnittlichen jährlichen Ausgaben sind.

Beispiel - Annuitätenmethode (1): Eine Investition mit a0=100 und i=10% und n=5 Jahre Einzahlungsreihe: Barwert: Transformation in jährlich gleiche Einnahmen mit KWF:

Beispiel - Annuitätenmethode (2): Auszahlungsreihe: Barwert: Transformation in jährlich gleiche Ausgaben mit KWF: Vergleich: durchschn. jährliche Einnahmen: 96,216 durchschn. jährliche Ausgaben: 93,855 Annuität: 2,361

Dynamische Amortisationsrechnung Im Vergleich zur statischen Amortisationsrechnung werden die jährlichen Rückflüsse abgezinst. Hierdurch ergeben sich die Barwerte der Rückflüsse. Diese werden addiert, bis die Anschaffungskosten a0 erreicht sind. Die dynamische Amortisationszeit liegt grundsätzlich über der Amortisationszeit der statischen Investitionsrechnung

Beispiel - Dyn. Amortisationsrechnung a0 = 100.000, i = 10% Der Kapitalwert wird 0 bei ca. 4,3 Jahren, d.h. die dynamische Amortisationsdauer beträgt 4,3 Jahre.