Einführung in die Meteorologie - Teil I: Einführung - Clemens Simmer Meteorologisches Institut Rheinische Friedrich-Wilhelms Universität Bonn Sommersemester 2005 Wintersemester 2005/2006

Gliederung der Vorlesung Allgemeines I Einführung II Meteorologische Elemente III Thermodynamik der Atmosphäre ----------------------------------------------------- IV Dynamik der Atmosphäre V Synoptische Meteorologie VI Allgemeine Zirkulation und Klima

I Einführung I.1 Physikalische Einheiten I.2 Meteorologische Elemente I.3 Der Feldbegriff in der Meteorologie I.4 Vektoren-Operationen und Ableitungen I.5 Die meteorologischen Grundgleichungen I.6 Skalenbetrachtungsweise

I.1 Physikalische Einheiten SI-Einheiten Abgeleitete SI-Einheiten Vielfache und Bruchteile von Einheiten Dimensionsanalyse

SI-System Wenn man physikalische Gleichungen auswertet, d.h. mit ihnen rechnet (z.B. das 2. Newtonsche Axiom Kraft = Masse x Beschleunigung oder F=ma, so müssen alle Variablen und andere Terme im selben Einheitensystem eingegeben werden. In der Meteorologie benutzt man dabei meist das sogenannte SI-System (Système International d’Unités). Basisgröße Name Symbol Länge Meter m Masse Kilogramm kg Zeit Sekunde s el. Stromstärke Ampere A Temperatur Kelvin K Stoffmenge Mol mol Lichtstärke Candela cd

Abgeleitete SI-Einheiten Aus den Basisgrößen können weitere SI-Einheiten abgeleitet werden: abgeleitete SI-Einheit Name Symbol Fläche Volumen Quadratmeter Kubikmeter m2 m3 Frequenz Hertz Hz = s-1 Kraft (=MassexBeschleunigung) Newton N = kg ms-2 Druck (=Kraft/Fläche) Pascal Pa = N m-2 = kg m-1s-2 Energie (=Arbeit=KraftxWeg) Joule J = N m = kg m2s-2 Leistung (Energie/Zeit) Watt W = Js-1 = kg m2 s-3 el. Spannung Volt V = WA-1 = kg m2 s-3 A-1

Vielfache und Bruchteile Für Vielfache der Basis- und abgeleiteten Einheiten gelten folgende Bezeichnungen: Vielfaches Name Symbol Bruchteil 1012 Tera T 10-1 Dezi d 109 Giga G 10-2 Zenti c 106 Mega M 10-3 Milli m 103 Kilo k 10-6 Mikro μ 102 Hekto h 10-9 Nano n 101 Deka da 10-12 Pico p

Einheitenanalyse Überprüfung der grundsätzlichen Gültigkeit von Gleichungen x=y nur dann physikalisch prinzipiell sinnvoll (Voraussetzung), wenn gilt [x]=[y], wobei [ ]=„Einheit von“ Auffinden physikalischer Gesetze Beispiel: Wir vermuten, dass die Reibung R (= „negative“ Kraft) wahrscheinlich abhängt von der Geschwindigkeit v, der Luftdichte ρL und dem Querschnitt des Körpers Q – aber wie genau, wissen wir zunächst noch nicht. Aber wir können dann allgemein postulieren: R=f(v, Q, ρL) mit f(y) „Funktion von y“ woraus für die Einheiten mit dem Ansatz R=C∙vm∙Qn∙qLo (C dimensionslose Konstante) folgt: kg m/s²≡kg1 m1 s-2=(m/s)m∙(m²)n∙(kg/m³)o Aber es muss gelten: 1=o siehe Potenz von kg 1=m+2n-3o siehe Potenz von m -2=-m siehe Potenz von s Es folgt o=1 und n=2, durch Einsetzen dann m=1, womit das Reibungsgesetz lauten könnte: R=Cx ρLxQxv² mit C einer dimensionslosen Konstante.

I.2 Meteorologische Elemente Meteorologische Elemente bezeichnen die wichtigsten variablen Maßzahlen, die ein Luftelement (z.B. 1 m³ Luft) beschreiben (z.B. Temperatur, Druck, Wind, etc.) Meteorologische Elemente können Skalare (nur ein Wert, z.B. Temperatur) oder Vektoren (drei Werte, z.B. der Wind mit den drei Richtungskomponenten) sein. Es gibt auch komplexere Elemente (z.B. Schubspannungstensor) die durch Matrizen (i.a. 3x3 Größen) beschrieben werden müssen.

Einige wichtige Elemente Symbol SI-Einheit ungefährer Wert in Bodennähe Bedeutung Luftdruck (S) p kg/(ms2) = Pa 101325 Antrieb für die Luftbewegung Luftdichte (S) r kg/m3 1,2 Masse, Trägheit Lufttemperatur (S) T K 288,15 Wärme-energie Luftfeuchte (S) verschieden variabel Wolken, Niederschlag, Energie Windgeschwin-digkeit (V) m/s 0 - 20 Impuls der Luft Schubspannungs-tensor (T) τ kg/(ms²) sehr variabel Reibung Strahlungsfluss-dichte (S) F W/m2 0 - 1000 Wärmequelle

Übungen zu 1.1 bis 1.2 Überprüfe die Konsistenz folgender Gleichungen in Bezug auf Art der Variablen und ihre physikalischen Einheiten Die Zentrifugalkraft FZ eines Teilchens auf einer Kreisbahn hängt offenbar von seiner Masse m, seiner Geschwindigkeit v und vom Radius R des beschriebenen Kreises ab. Zeige mit der Einheitenanalyse, dass gilt: FZ = C m R-1 v², mit C dimensionslose Konstante

I.3 Der Feldbegriff in der Meteorologie Alle meteorologischen Elemente haben an jedem Punkt der Atmosphäre, gegeben durch x Koordinate in Ostrichtung (Richtungseinheitsvektor ) y Koordinate in Nordrichtung (Richtungseinheitsvektor ) z Koordinate in der Vertikalen (Richtungseinheitsvektor ) zu jeder Zeit t einen Wert, also z.B. x z y

Vektoren - Schreibweisen im kartesischen Koordinatensystem- x z y

Kontinuität → Diskretisierung v p,T w ρ y z x Dx Dy Dz t =t0= const Alle meteorolgischen Elemente, ob Skalar, Vektor, oder Tensor, sind als kontinuierlische Felder zu betrachten. Meist muss man aber diese Felder in Zeit und Raum diskretisieren bedingt durch eine endliche Anzahl von Messungen, oder zur Erzeugung von numerischen (Computer-)Modellen.

Beispiel: Schnitt durch ein zeitabhängiges dreidimensionales Wind- und Temperaturfeld Stromlinien Juni, 2003, 11 – 19:30 UTC Aufl. 30 min 69 x 69 x 3 km3 Lindenberg Mit Temperatur in 200 m Höhe South T(z=200m)

I.4 Vektor-Operationen und Ableitungen Skalar-Produkt Vektor-Produkt Nabla-Operator Divergenz Partielle Ableitung Totale (individuelle Ableitung)

Vektor-Operationen - Multiplikation mit einem Skalar a - Der Vektor bleibt ein Vektor. Jedes Element des Vektors wird einzeln mit dem Skalar a multipliziert. Der Vektor verlängert (oder verkürzt) sich um den Faktor a. Konvention: Bei der Multiplikation Skalar – Vektor benutzen wir (wie bei Skalar – Skalar) keinen Punkt.

Vektor-Operationen - Skalar-Produkt (a) - Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist ein Skalar. Es wird komponentenweise multipliziert, dann addiert. Summenkonvention (Summation über mehrfach auftauchenden Indices) Es ist maximal bei parallelen Vektoren und verschwindet, wenn diese aufeinander senkrecht stehen. Konvention: Das Skalarprodukt wird durch einen Multiplikationspunkt (·) gekennzeichnet.

Vektor-Operationen - Betrag (Länge) eines Vektors und das Skalar-Produkt (b) -

Vektor-Operationen - Vektor-Produkt - Das Vektor-Produkt zweier Vektoren ist wieder ein Vektor. Es verschwindet bei parallelen Vektoren und ist maximal, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Mit den Multiplikatoren (hier Reihenfolge beachten) bildet das Produkt zusammen ein Rechtssystem (Rechte-Hand-Regel). Das Vektorprodukt ist der 0-Vektor, wenn die beiden Vektoren parallel sind. Konvention: Das Vektor-Produkt oder Kreuz-Produkt wird durch ein x gekennzeichnet.

Die Ableitung oder der Gradient Die Ableitung beschreibt z.B. die Änderung eines Feldes eines meteorologischen Elementes mit der Zeit, und/oder entlang einer festgelegten Raumrichtung Die Ableitung meteorologischer Felder nach Raumkoordinaten oder nach der Zeit (wird auch als Zeitkoordinate bezeichnet) ist meist wichtiger als die Felder selbst (z.B. Druckgradient). Berechnung (Beispiel für Zeitableitung): T ΔT Δt t

Partielle Ableitungen Da die meteorologischen Elemente von vier Koordinaten abhängen (x,y,z,t), muss man bei Ableitungen nach einer speziellen Koordinate spezifizieren, was mit den anderen Koordinaten geschieht. Hält man alle anderen Koordinaten bei der Ableitung nach einer speziellen Koordinate konstant, so nennt man dies partielle Ableitung, und schreibt (∂ sprich „del“):

Bezeichnungen Änderung des Wertes mit der Zeit an einem festen Ort (z. B. Thermometer in einer Wetterstation) = lokalzeitliche Ableitung = partielle Ableitung nach der Zeit Änderung des Wertes mit dem Ort entlang einer Raumkoordinatenrichtung (hier x, z.B. annähernd eine Temperaturmessung mit einem sehr schnellen Flugzeug) zu einer festen Zeit = lokale (räumliche) Ableitung = partielle Ableitung nach einer Raumrichtung

Räumlicher Gradient – Nabla Operator = Zusammenfassung der räumlichen Gradienten in Richtung der Raumkoordinatenachsen Der Gradient hat damit drei Komponenten, ist also immer ein Vektor: Der Gradient weist in Richtung der stärksten Zunahme der Größe. Sein Betrag (Länge des Vektors) ist die Größe der Ableitung in Richtung der stärksten Zunahme. Beachte: Es wird beim Gradient kein Punkt hinter dem Nabla geschrieben. Es ist ähnlich der Multiplikation zwischen Skala und Vektor. In welche Richtung weist der Druckgradient(vektor) und der Temperaturgradient(vektor) in der Atmosphäre meistens?

Nabla Operator Beachte: Nabla ist ein (Vektor-)Operator, d.h. die Reihenfolge darf hier nicht vertauscht werden! Nabla ist ein (Vektor-)Operator der nach rechts wirkt. Er ergibt nur einen Wert, wenn er links von einem Ausdruck steht. Steht er rechts von einem Ausdruck, so behält er seine Operatorfunktion bei (und „wartet“ auf Anwendung).

Divergenz eines Vektorfeldes - Skalar-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor - y t=0 t=t1 x < 0 > 0 < 0 Die Divergenz quantifiziert das Zusammenströmen (Senke, negativ) und Auseinanderströmen (Quelle, positiv) eines Vektorfeldes.

Beachte die Reihenfolge!

Rotation eines Vektorfeldes - Vektor-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor - Der Rotationsvektor ist aus der Fließebene heraus gerichtet, und zwar so, dass die Strömung nach links dreht, wenn man entgegengesetzt zur Richtung des Rotationsvektors schaut. L/4 L/2

Definition: Windgeschwindigkeit = Windvektor = Ortsversatz eines Luftvolumens p (parcel) über die Zeit pro Zeiteinheit = zeitliche Änderung des Ortsvektors eines Luftvolumens

Änderung von meteorologischen Elementen in bewegten Systemen (a) Betrachte die Temperaturänderung an einem mit Geschwindigkeit vF (F=Fahrrad) in Richtung s bewegten Thermometer mit der Zeit, dFT/dt dTF/dt hängt intuitiv ab von der lokalzeitlichen Temperaturänderung ∂T/∂t von der Geschwindigkeit des Fahrrades vF und vom räumlichen Gradienten der Temperatur in Fahrtrichtung sF beachte die passenden Einheiten! überprüfe Gültigkeit an einem Beispiel erweitere auf Geschwindigkeitsvektor für Fahrrad

Änderung von meteorologischen Elementen in bewegten Systemen (b) Das Fahrrad kann sich in alle Richtungen x, y, z bewegen, d.h. seine Geschwindigkeit ist ein Vektor Bewegt sich das Fahrrad in x-Richtung, so wird entsprechend die gemessene Temperatur durch die Änderung der Temperatur in x-Richtung bestimmt, und analog für die anderen Richtungen Wir können also anstatt schreiben:

Individuelle Ableitung dT/dt Meteorologische Definition: Ersetze das Fahrrad durch ein Luftvolumen P, das mit dem Wind bewegt wird, also

Individuelle Ableitung dT/dt Alternative Ableitung: Betrachte die Temperatur eines sich bewegenden Luftvolumens. Allgemein hängt die Lufttemperatur von der Zeit und vom Ort des Luftpartikels ab, wobei auch der Ort (gegeben durch sine Koordinaten) von der Zeit abhängt. Beachte die Kettenregel:

Interpretation Die Änderung z.B. der Temperatur eines sich mit dem Wind verfrachteten Luftvolumens lässt sich also formal in zwei Anteile aufspalten: die lokalzeitliche Änderung (z.B. Messung eines feststehenden = stationären Thermometers der sogenannte „Advektionsterm“. Der Name wird verständlich, wenn man die rechte Gleichung nimmt (lokalzeitliche Änderung) und annimmt, dass individuelle Luftteilchen ihre Temperatur nicht ändern (dT/dt=0). Dann beschreibt der Advektionsterm offensichtlich die lokale Änderung, die durch einen Temperaturgradienten, verfrachtet mit dem Wind (Advektion), erzeugt wird.

Übungen zu 1.3 bis 1.4 (1) Ein kartesisches Koordinatensystem sei festgelegt durch die Konventionen: x-Richtung zeigt nach Osten, y-Richtung zeigt nach Norden, z-Richtung zeigt nach oben. Wie lautet der Windvektor für einen Südostwind mit 10 m/s Geschwindigkeit und einer aufwärtigen Komponente von 1 cm pro Sekunde? Ein Luftvolumen sei zur Zeit t0 am Ort (x,y,z)=(1000m,500m,2m) und nach 10 Minuten am Ort (2500m,-1000m,3m). Schätze den Windvektor ab. Wie groß ist der Betrag der Windgeschwindigkeit? Wo wäre das Partikel nach der gleichen Zeit gewesen, wenn der Betrag der Windgeschwindigkeit 1,5 mal so hoch gewesen wäre bei gleicher Windrichtung? Berechne allgemein und für (u,v,w)=(10,sinx,0): Skizziere die Felder, bestimme die lokalzeitlichen und die individuelle Ableitung der Temperatur und die Divergenz und Rotation der Windfelder.

Übungen zu 1.3 bis 1.4 (2) Der Wind weht konstant aus Westen mit 5 m/s. In der Luft nimmt bei fest gehaltener Zeit von Südwest nach Nordost die Temperatur um 1 K auf 100 km ab. Die Luft selbst wird durch die Sonne und andere Effekte überall um 1 K pro Stunde erwärmt. Welche Änderung der Lufttemperatur zeigt ein Thermometer an einem festen Ort pro Stunde an? Ein Themometer an einem festen Ort misst eine Temperaturerhöhung um 1 K pro Stunde. Der Wind kommt aus Nord mit 10 m/s. Die Sonne erwärmt die Luft mit 2 K pro Stunde. Offensichtlich nimmt also die Lufttemperatur nach Norden ab. Um wieviel Grad pro 100 km nimmt die Temperatur nach Norden ab?

I.5 Meteorologische Grundgleichungen Physikalische Beziehungen zwischen den wesentlichen meteorologischen Elementen (Druck, Temperatur, Dichte, Feuchte und Wind) in Form von Gleichungen, die an jedem Ort in der Atmosphäre gelten Sogenannter „dynamischer Kern“ der numerischen Simulationsmodelle für die Atmosphäre die in der Meteorologie für die Wetter- und Klimavorhersage genutzt werden Die Meteorologischen Grundgleichungen setzen sich i.w. aus vier Erhaltungsgesetzen und der Zustandsgleichung für ideale Gase (Gasgleichung) zusammen.

Vier Erhaltungsgesetze Impulserhaltung (Newtonsche Axiome: Masse x Beschleunigung = Summe der angreifenden Kräfte) Gesamtmassenerhaltung: Erhöht sich die Dichte an einem Ort, so muss Masse aus der Umgebung dorthin geflossen sein. Wassermassenerhaltung: Analog zu 2., jedoch eingeschränkt auf Wasserdampf. Außer zum Ausgleich durch Massenfluss kann es auch zu Phasenumwandlungen kommen Wärmeenergieerhaltung: Eine Temperaturänderung wird hervorgerufen durch Druckabnahme, Strahlungsumwandlungen und/oder Phasenänderungen des Wasserdampf (Kondensationswärme)

Meteorologische Grundgleichungen - 5 (7) Primitive Equations - 1-3 Bewegungsgleichung (Navier-Stokes Gleichung) -> Wind (Vektor!=3 Gleichungen) 4 Kontinuitätsgleichung -> Luftdichte 5 Erster Hauptsatz der Wärmelehre -> Lufttemperatur 6 Haushaltsgleichung des Wasserdampfes -> Luftfeuchte, Wolken 7 Zustandsgleichung der Luft -> Luftdruck

Überblick - Grundgleichungen 6 prognostische, nicht-lineare, gekoppelte Diff‘gleichungen 1 diagnostische Gleichung

Lösung des Gleichungssystems Die Grundgleichungen bilden einen Satz von meist nicht-linearen gekoppelten Differentialgleichungen Notwendig zur Lösung sind: zu einem Zeitpunkt (Anfangswerte) die Kenntnis aller 7 meteorologischen Parameter an jedem Ort im Vorhersagegebiet zu jedem Zeitpunkt die Werte der meteorologischen Parameter an allen Rändern des Vorhersagegebietes (auch oben und unten) Dann ist eine Vorhersage in die Zukunft möglich (→ Wetter- und Klimavorhersage)

I.6 Skalenbetrachtungsweise Grundüberlegungen Beispiele Skalendiagramm

Grundüberlegungen Als Skalen bezeichnet man Längen- (L) und Zeitintervalle (T). Die meisten meteorologischen Phänomene haben für sie ganz typische Längen- und Zeitskalen im Sinne von Größenordnung (z.B. Wolken, Hurrikane, Zyklonen). Beobachtung in der Atmosphäre: Je größer die Längenskala L eines Phänomens, desto größer i.a. die dazugehörige Zeitskala T; also mit L nimmt T zu. Die Analyse der Grundgleichungen nach den Skalen von bestimmten Phänomenen wie z. B. einem Tiefdrucksystem (Skalenanalyse=Vergleich der Größenordnung von Termen) isoliert die jeweils dominanten Terme und führt so zu vereinfachten Gleichungen. Beispiele, ableitbar aus Bewegungsgleichungen: Geostrophischer Wind: Der Wind in den mittleren Breiten weht meist parallel zu den Isobaren mit dem tiefen Druck links liegend (auf NH). Statische Grundgleichung: Die Druckabnahme nach oben ist proportional zum Produkt aus Luftdichte und Schwerebeschleunigung

Beispiele Turbulenz Staubteufel Cumuluswolken Schwerewellen Tornados Cumulus congestus Gewitter Meso-Zyklone Tropische Zyklone (Hurrikan, Taifun) Zyklone der mittleren Beiten Rossby-Wellen

Turbulenz Flugzeugmessung Lokale Messung

Schwerewellen

Staubteufel u.l., Trombe u.r. und Tornado (Großtrombe) o.r.

Cumulus congestus

Tropische Zyklone

Zyklone und Meso-Zyklone im Mittelmeer

Rossby-Wellen (Strömung in ca 5 km Höhe)

Skalendiagramm 1 m/s 10 m/s Logarithmische Achsen: U=L/T → T=L/U log T = log L-log U Linien konstanter charakteristischer Geschwindigkeit U sind Geraden mit Steigung 1. B=U/T=L/T²→T=(L/B)1/2 Log T =1/2 log L - 1/2 log B Linien konstanter Beschleunigung B sind Geraden mit Steigung ½. 1 m/s 10 m/s

Übungen zu 1.5 bis 1.6 Analysiere die Abhängigkeiten in und zwischen den Grundgleichungen. Konkret: von welchen Variablen hängen die zeitlichen Änderungen der 7 Grundvariablen (Wind (3), Druck, Temperatur, Feuchte und Dichte) an einem Ort direkt und indirekt ab? Bestimme aus dem Skalendiagramm die charakteristischen Beschleunigungen für die verschiedenen meteorologischen Phänomene. Wie hängen diese mit den charakteristischen Zeitskalen („Lebensdauer“) ab?