Wahrscheinlichkeitsrechnung Stochastische Unabhängigkeit Ex

Aufgabe 1 Ein Würfel wird geworfen. Bestimme die Ergebnismenge Ω Aufgabe 1 Ein Würfel wird geworfen. Bestimme die Ergebnismenge Ω. Fasse jeweils alle Ergebnisse (Würfe), die für das Eintreffen des Ereignisses günstig sind, zu einer Menge zusammen: – Ereignis A: „Augenzahl ist gerade.“ – Ereignis B: „Augenzahl ist 2 oder 3.“ – Ereignis C: „Augenzahl ist kleiner als 4.“ Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse A, B und C. Formuliere die Gegenereignisse zu den Ereignissen B und C. Notiere jeweils die Ergebnisse, die für das Eintreffen dieser Gegenereignisse günstig sind. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der Gegenereignisse zu B und C.

Aufgabe 2 Es werden gleichzeitig zwei Würfel geworfen Aufgabe 2 Es werden gleichzeitig zwei Würfel geworfen. Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es? Fasse jeweils alle Ergebnisse (Würfe), die für das Eintreffen des genannten Ereignisses günstig sind, zu einer Menge zusammen: – Ereignis A: „Augensumme ist 3.“ – Ereignis B: „Augensumme ist größer als 9.“ – Ereignis C: „Augensumme ist kleiner als 2.“ Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der drei Ereignisse Berechne möglichst geschickt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses D: „Augensumme ist kleiner als 10.“

Ergebnisraum Ω Im Ergebnisraum Ω sind einfach alle möglichen Ergebnisse, die beim Durchführen des Experiments rauskommen können. Das Symbol für den Ergebnisraum ist "Groß-Omega" Ω. Beispiele: Würfeln ein Ergebnis ist zum Beispiel, wenn man 6 würfelt. im Ergebnisraum sind dann alle möglichen Ergebnisse, die beim Würfeln rauskommen können: Ω={1; 2; 3; 4; 5; 6} Münze Werfen Ergebnis ist entweder Kopf oder Zahl der Ergebnisraum ist dann Ω={Kopf; Zahl} Zwei Münzen werfen gleichzeitiger Münzwurf mit zwei unterscheidbaren Münzen (z.B. kleine und große Münze) der Ergebnisraum: Ω = {Kk, Kz, Zz, kZ} (K = Kopf, Z = Zahl (große Münze); k = Kopf, z = Zahl (kleine Münze))

Axiome von Kolmogorow Drei Axiome, d. h. grundlegende Annahmen bzw. Aussagen, aus denen man die gesamte Wahrscheinlichkeitsrechnung ableiten kann. Dabei soll die Menge Ω={ω1,ω2,...ωn} die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments sein A eine Teilmenge von Ω, d.h.  A⊆Ω und P eine Funktion, die jedem A eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 zuordnet. Wenn die drei folgenden Aussagen gelten, dann ist P(A) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. P(A)≥0  Wahrscheinlichkeiten sind niemals negativ. P(Ω)=1  Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1 bzw. „irgendwas passiert immer“ P(A∪B)=P(A)+P(B) Wenn die Schnittmenge von zwei Ereignissen A und B  leer ist, A∩B=∅, dann ist die Wahrscheinlichkeit ihrer Vereinigungsmenge gleich der Summe der einzelnen Ereigniswahrscheinlichkeiten

Schnitt/Durchschnitt A∩B Teilmenge Wenn jedes Element einer Menge in einer anderen Menge vorhanden ist, nennt man diese Teilmenge. Alle Elemente der Menge, welche auf der Seite steht, auf welcher das Symbol geschlossen ist, sind dann auch in der Menge enthalten, die auf der anderen Seite des Symbols steht. B⊂A Schnitt/Durchschnitt Schnitt/Durchschnitt von Mengen (die Menge die alle Elemente von M und N enthällt, also nur die Elemente die in M und N gleichzeitig enthalten sind). A∩B                   Vereinigung Vereinigung von Mengen (die Menge die alle Elemente von M oder N enthält, also alle Elemente, die entweder in A oder B, oder in beidem sind.) A∪B                        

Zusammengesetzte Ereignisse Vierfeldertafeln Ereignisalgebra

Vierfeldertafel Die Vierfeldertafel ist neben dem Baumdiagramm eine andere Möglichkeit, Wahrscheinlichkeiten darzustellen und vereinfacht das Ausrechnen dieser.                                                             P(A) ist die Wahrscheinlichkeit für A P(A∩B) ist die Wahrscheinlichkeit, dass A und B zutreffen A ist das Ereignis A (A "Strich" ist das Gegenereignis, also das Gegenteil von A)

Beispiel 30 Schüler einer Schulklasse schreiben einen Mathetest Beispiel 30 Schüler einer Schulklasse schreiben einen Mathetest. Darunter sind 15 Schüler, die immer die Hausaufgaben machen. Insgesamt bestehen 12 Schüler den Test. 9 Schüler, welche regelmäßig die Hausaufgaben machen, haben am Ende bestanden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Schüler den Test nicht bestanden und hat keine Hausaufgaben gemacht?

Alternative: Häufigkeit in der Vierfeldertafel Anstatt von Wahrscheinlichkeiten kann man auch die absoluten Häufigkeiten in die Vierfeldertafel eintragen, mit dem Beispiel von darüber sieht es dann so aus:                                                   Wie ihr seht, werden die Anzahlen, wie viele Schüler jeweils zu einem dieser Ereignisse passen, eingetragen. Wenn ihr jetzt hier alle Werte durch die Gesamtanzahl an Schülern (also 30) teilt, erhaltet ihr die Wahrscheinlichkeiten!

Stochastische Unabhängigkeit Stochastische Abhängigkeit und Unabhängigkeit Im Baumdiagramm

Stochastische Unabhängigkeit Stochastische Abhängigkeit und Unabhängigkeit Im Baumdiagramm