Lage, Schnitte und Schnittwinkel Schnitt zweier Geraden Schnitt Gerade / Ebene Schnitt zweier Ebenen Schnittwinkel Die Lage einer Ebene im Koordinatensystem klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de

Lage zweier Geraden im Raum Geraden mit Schnittpunkt Zwei Geraden im Raum können … identisch sein parallel sein sich schneiden sich nicht schneiden und nicht parallel sein Geraden, die sich nicht schneiden und nicht parallel sind, nennt man windschief. 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒙 𝟑 𝑆 𝑔 1 𝑔 2 Windschiefe Geraden 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒙 𝟑 𝑔 1 𝑔 2

Schnitt zweier Geraden Um den Schnitt zwischen zwei Geraden zu bestimmen geht man wie folgt vor: Gleichsetzen liefert ein lineares Gleichungssystem. Durch Lösen des Gleichungssystems lässt sich ein Parameter bestimmen. Einsetzen des gefundenen Wertes für den Parameter in die zugehörige Geradengleichung liefert den Schnittpunkt.

Interpretation der Lösung Fall 1 - Das LGS hat keine Lösung: Falls beim Bestimmen der Parameter ein Widerspruch entsteht, so gibt es keinen Schnittpunkt. Fall 2 - Das LGS ist eindeutig lösbar: Falls die Parameter eindeutig bestimmbar sind, so gibt es genau einen Schnittpunkt. Fall 3 - Das LGS hat unendlich viele Lösungen: Falls ein Parameter frei wählbar ist, so ergibt sich eine Schnittgerade, d.h. dass die beiden Geraden identisch sind.

Rechenbeispiel 1 Bestimmen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel der beiden folgenden Geraden: 𝑔 1 : 𝑥 = 1 1 0 +𝑠 1 0 3 und 𝑔 2 : 𝑥 = 2 2 3 +𝑡 1 −1 3 Lösung: Geradengleichungen Gleichsetzen 1 1 0 +𝑠 1 0 3 = 2 2 3 +𝑡 1 −1 3 ⇒𝑠 1 0 3 −𝑡 1 −1 3 = 1 1 3

Rechenbeispiel 1 Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem: 𝑠 1 0 3 −𝑡 1 −1 3 = 1 1 3 Rechenbeispiel 1 Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem: 𝐼.𝑠−𝑡=1 𝐼𝐼.𝑡=1 𝐼𝐼𝐼.3s−3t=3 ⇒𝑠=2 Mit 𝑡=1 und 𝑠=2 ist 𝐼𝐼𝐼. ebenfalls erfüllt (immer mitprüfen!) und es ergibt sich kein Widerspruch. Einsetzen von 𝑠=2 in die zugehörige(!) Gerade, also in 𝑔 1 , liefert den Schnittpunkt: 𝑥 = 1 1 0 +2⋅ 1 0 3 ⇒ 𝑃 3 1 6

Rechenbeispiel 2 Untersuchen Sie die beiden folgenden Geraden auf Schnitt- punkte und interpretieren Sie Ihr Ergebnis. 𝑔 1 : 𝑥 = 2 4 3 +𝑠 5 10 −6 und 𝑔 2 : 𝑥 = 4 8 3 +𝑡 −2,5 −5 3 Lösung: Die Richtungsvektoren sind linear abhängig, d.h. 𝑔 1 und 𝑔 2 sind entweder parallel oder identisch. Falls ein Punkt von 𝑔 1 auf 𝑔 2 liegt, so sind die Geraden identisch. Wir testen dies, indem der Punkt 𝑃 4 8 3 (dies ist der Punkt zu dem der Stützvektor von 𝑔 2 hinführt) in 𝑔 1 eingesetzt wird.

Rechenbeispiel 2 In der 3ten Koordinate liest man −6𝑠=0 also 𝑠=0 ab. 4 8 3 = 2 4 3 +𝑠 5 10 −6 ⇒ 2 4 0 =𝑠 5 10 −6 In der 3ten Koordinate liest man −6𝑠=0 also 𝑠=0 ab. Setzt man dies in die zweite Koordinate ein, so erhält man den Widerspruch 6=0⋅10=0.  Der Widerspruch zeigt, dass 𝑔 1 und 𝑔 2 keinen Schnittpunkt haben und somit parallel sind.