Das Vektorprodukt Wir definieren erneut eine Multiplikation zwischen zwei Vektoren, das Vektorprodukt, nicht zu verwechseln mit dem Skalarprodukt. Schreibe hierzu die Vektoren zweimal untereinander und streiche die obere und untere Zeile. Bilde Produkte entlang der blauen und roten Linien und berechne „blaue“ Produkte minus „rote“ Produkte. 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 = 𝑎 2 𝑏 3 𝑎 3 𝑏 1 𝑎 1 𝑏 2 − 𝑎 3 𝑏 2 𝑎 1 𝑏 3 𝑎 2 𝑏 1

Eigenschaften des Vektorprodukts Im Vergleich zum Skalarprodukt ist das Ergebnis des Vektorprodukts ein Vektor, nicht ein Skalar! Der Ergebnisvektor steht senkrecht auf den beiden ursprünglichen Vektoren! Die Länge des Ergebnisvektors entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Vektoren 𝑢 und 𝑣 „aufgespannt“ wird. Wozu braucht man das Vektorprodukt? Das Vektorprodukt ist häufig hilfreich, wenn man einen Normalenvektor ermitteln soll oder die Darstellungsform einer Ebene in eine andere umwandeln muss.

Rechenbeispiel 1 Zu 𝑎 = 1 2 1 , 𝑏 = 4 −1 0 bestimme das Vektorprodukt. Lösung: 1 2 1 1 2 1 4 −1 0 4 −1 0 = 2∙0 1∙4 1∙(−1) − 1∙(−1) 1∙0 2∙4 = 1 4 −9

Rechenbeispiel 2 Gegeben ist eine Ebene mit 𝐸: 𝑥 = 0 3 0 +𝑟 0 −3 4 +𝑠 5 0 0 Bestimme einen Normalenvektor zu 𝐸. Lösung: Bilde das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren: 0 −3 4 0 −3 4 5 0 0 5 0 0 𝑛 = 𝑢 × 𝑣 = −3∙0 4∙5 0∙0 − 4∙0 0∙0 −3∙5 = 0 20 15

Einen Normalenvektor bestimmen Wir haben nun gesehen, wie man mit dem Vektorprodukt einen Normalenvektor senkrecht zu zwei gegebenen Vektoren bestimmen kann. Es gibt aber noch einen weiteren Weg. Wenn 𝑎 und 𝑏 gegeben sind, und 𝑛 senkrecht zu beiden Vektoren stehen soll, so muss sowohl 𝑎 ⋅ 𝑛 =0 als auch 𝑏 ⋅ 𝑛 =0 gelten. Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem, aus dem sich 𝑛 bestimmen lässt. Wir zeigen dies an einem Rechenbeispiel.

Rechenbeispiel Es seien 𝑎 = −2 2 −1 und 𝑏 = 2 3 1 . Gesucht ist ein Vektor 𝑛 , der sowohl senkrecht auf 𝑎 als auch senkrecht auf 𝑏 steht. Lösung: Es sei 𝑛 = 𝑎 𝑏 𝑐 . Damit folgt 𝑎 ⋅ 𝑛 = −2 2 −1 𝑎 𝑏 𝑐 =0 und 𝑏 ⋅ 𝑛 = 2 3 1 𝑎 𝑏 𝑐 =0

−2 2 −1 𝑎 𝑏 𝑐 =0; 2 3 1 𝑎 𝑏 𝑐 =0 Lösung Daraus ergibt sich das folgende LGS: 𝐼. −2𝑎+2𝑏−𝑐=0 und 𝐼𝐼. 2𝑎+3𝑏+𝑐=0 Das LGS hat mehr Variablen als Gleichungen, d.h. wir können eine der Variablen, sagen wir 𝑐, frei wählen. Für 𝑐 wählen wir einen möglichst einfachen Wert, aber nicht 𝑐=0, denn dann wären auch 𝑎=0 und 𝑏=0, was uns jedenfalls nicht zu einem von 0 verschiedenen Normalenvektor führt. Daher wählen wir z.B. 𝑐=1. Jetzt haben wir 𝐼. −2𝑎+2𝑏−1=0 und 𝐼𝐼. 2𝑎+3𝑏+1=0

𝐼. −2𝑎+2𝑏−1=0 𝐼𝐼. 2𝑎+3𝑏+1=0 Lösung Es folgt 𝐼. −2𝑎+2𝑏=1 und 𝐼𝐼. 2𝑎+3𝑏=−1. Addition der beiden Gleichungen liefert 5𝑏=0 also 𝑏=0. Eingesetzt in 𝐼𝐼. liefert dies 𝑎=− 1 2 . Schließlich haben wir mit 𝑛 = −1/2 0 1 einen Normalenvektor gefunden, der senkrecht zu 𝑎 und 𝑏 steht.

Bemerkung Ob Sie nun einen Normalenvektor mit Hilfe des Vektorprodukts oder mit dem Skalarprodukt und anschließendem Lösen eines LGS bestimmen, bleibt natürlich Ihnen überlassen. Das ist wohl eine reine Geschmacksfrage. Beide Lösungswege sind ähnlich aufwändig.