Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder Diplomand: Nico Oehlert Betreuer T-Systems: Dipl.Ing. Patrick Aretz Betreuer HTWK: Prof.Dr.rer.nat. Voigt

2. Vortrag - Eigenschaften konvexer Körper Gliederung: Definition konvexer Körper Minkowskiaddition Projektion auf die Gaußkugel 19.02.2019 Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

Definition konvexer Körper 1 Eine ebene Figur heißt konvex, wenn sie die Verbindungsstrecke von je zwei beliebigen Punkten der Figur ganz in sich enthält. 19.02.2019 Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

Definition konvexer Körper 2 Unter dem Durchschnitt zweier (oder mehrerer) Figuren versteht man die Figur, die aus allen Punkten besteht, welche in beiden (bzw., in allen) Figuren liegen. Eine Figur heißt beschränkt, wenn sie ganz innerhalb eines gewissen Kreises liegt. 19.02.2019 Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

Definition konvexer Körper 3 Ein Punkt einer Figur heißt innerer Punkt, wenn es um ihnen ein Kreis (mit hinreichend kleinem Radius) gibt, der ganz der Figur angehört. Ein Punkt heißt äußerer Punkt in Bezug auf eine Figur, wenn um ihn ein Kreis existiert, der keine Punkte der Figur enthält. Ein Punkt heißt Randpunkt einer Figur, wenn jeder um diesen Punkt stets sowohl innere als auch äußere Punkte enthält. Die Ranpunkte bilden eine Linie, eine Kurve oder einen Streckenzug (auch Polygonzug). Diese Kurve heißt Rand der Figur. Ist eine ebene Kurve Rand der Figur, so heißt sie konvexe Kurve oder, falls sie ein Streckenzug ist, konvexes Vieleck (konvexes Polygon. 19.02.2019 Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

Definition konvexer Körper 4 Satz: Jede Gerade die durch einen inneren Punkt einer konvexen Figur hindurchgeht, schneidet den Rand in höchstens zwei Punkten. Eine beschränkte Figur heißt konvex, wenn jede Gerade, die durch einen beliebigen inneren Punkt dieser Figur hindurchgeht, ihren Rand in zwei Punkten schneidet. 19.02.2019 Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

Definition konvexer Körper 5 Es sei A eine beliebige ebene Figur. Eine Gerade g heißt Stützgerade der Figur A, wenn sie durch mindestens einen Randpunkt der Figur hindurchgeht und die die ganze Figur auf einer Seite der Geraden g gelegen ist. An jede beschränkte konvexe Figur lassen sich genau zwei zu einer gegebenen Richtung parallele Stützgeraden ziehen. 19.02.2019 Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

Definition konvexer Körper 6 Der Punkt O ist regulärer Punkt der Figur A begrenzenden konvexen Kurve K, wenn die Gerade g einzige Stützgerade im Punkt O ist. Der Punkt O ist singulärer Punkt (Ecke) wenn alle Punkte der Figur im inneren des Winkels MON liegen. Daher wird jede Gerade die durch den Scheitel des Winkels MON‘ des Winkels MON hindurch geht eine Stützgerade der Figur A sein. Eine beschränkte Figur heißt konvex, wenn durch jeden ihrer Randpunkte mindestens eine Stützgerade hindurch geht. 19.02.2019 Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

Definition konvexer Körper 7 Konvexe Körper im Raum Die Berandung eines konvexen Körpers heißt konvexe Fläche. Besteht diese aus ebenen Vielecken, so heißt sie konvexes Polyeder. Bei der Betrachtung von inneren und äußeren Punkten werden aus Kreisen Kugeln. Aus Stützgeraden werden Stützebenen. 19.02.2019 Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder Minkowskiaddition 1 Parallelogrammprinzip: Addition vektorieller Größen/ Summe von Punkten der Ebene Liegen A und B auf einer Geraden so ist es ein entartetes Parallelogramm und AC=OB. A+B=B+A , (A+B)+C=A+(B+C) und A+O=A 19.02.2019 Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder Minkowskiaddition 2 Translation (Verschiebung): A+b:={a+b:a Î A} ist die Translation eines Bildes A Î R² 19.02.2019 Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

Minkowskiaddition Addition A Î R² und B Î R² AÅB:= heißt Minkowskiaddition AÅB ergibt sich aus der Vereinigungsmenge all jener Bilder, die durch Translation des Bildes A mit allen Punkten b des Bildes B entstanden sind. Das Ergebnis besteht schließlich aus der Vereinigungsmenge der Bilder die entstehen, wenn sich das Bild A auf einem Liniensegment von a+b1 bis a+b2 bewegt. 19.02.2019 Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

Minkowskiaddition Subtraktion A Î R² und B Î R² A B:= heißt Minkowskisubtraktion A B ergibt sich aus der Schnittmenge all jener Bilder, die durch Translation des Bildes A mit allen Punkten b des Bildes B entstanden sind. Die Translation des Bildes A mit dem Punkt b1 verändert das bild nicht, da b1 im Ursprung des Koordinatensystems liegt. Alle übrigen Translationen mit den Punkten des Liniensegments B verschieben das Initialbild A nach rechts oben, so dass sich als Ergebnis der rote Bereich ergibt. 19.02.2019 Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

Minkowskiaddition Dilation und Erosion Befindet sich das Bild B im Ursprung des Koordinatensystems, so bewirkt die Minkowskiaddition der Bilder A und B eine Vergrößerung des Initialbildes A. Man spricht von einer Dilation des Bildes A. D(A,B):= AÅB Umgekehrt bewirkt die Minkowskisubtraktion eines Bildes A und eines sich im Ursprung befindenden Bildes B eine Verkleinerung des Initialbildes A. Hier spricht man von einer Erosion des Bildes A. E(A,B):=A B 19.02.2019 Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder

Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder Minkowskiaddition 6 Die Modifikation des Initialbildes wird ausschließlich von der geometrischen Form des Bildes B bestimmt. Das Bild B wird in diesem Zusammenhang auch strukturierendes Element genannt. 19.02.2019 Kollisionsuntersuchung konvexer Polyeder