Die Erweiterung der Sinusfunktion auf Winkel über 90° Berufsbildende Schule Frankenthal Andreas-Albert-Schule Die Erweiterung der Sinusfunktion auf Winkel über 90° © Stoll; 2003

Die Winkelfunktionen im Einheitskreis

1 Einheitskreis r = 1

Welche Strecken entsprechen im Einheitskreis sin , cos  und tan ? Einheitskreis r = 1

Die Sinusfunktion

Einheitskreis r = 1 1 tan  sin   cos 

Einheitskreis r = 1 1 sin  

Einheitskreis r = 1 sin   Welche Aussagen sind möglich, wenn der Winkel  = 90° erreicht?

Einheitskreis r = 1 sin   Welche Aussagen sind möglich, wenn der Winkel  = 90° erreicht?

Einheitskreis r = 1 sin  Welche Aussagen sind möglich, wenn der Winkel  = 90° erreicht?

Einheitskreis r = 1 sin  Welche Aussagen sind möglich, wenn der Winkel  = 90° erreicht?

Einheitskreis r = 1 sin  Welche Aussagen sind möglich, wenn der Winkel  = 90° erreicht?

Einheitskreis r = 1 sin  Welche Aussagen sind möglich, wenn der Winkel  = 90° erreicht?

Einheitskreis r = 1 sin  Welche Aussagen sind möglich, wenn der Winkel  = 90° erreicht?

Einheitskreis r = 1 sin  Welche Aussagen sind möglich, wenn der Winkel  = 90° erreicht?

Einheitskreis r = 1 sin  Welche Aussagen sind möglich, wenn der Winkel  = 90° erreicht?

Einheitskreis r = 1 sin  Welche Aussagen sind möglich, wenn der Winkel  = 90° erreicht?

Einheitskreis r = 1 sin  Welche Aussagen sind möglich, wenn der Winkel  = 90° erreicht?

Die Winkelfunktion ist nicht mehr definiert! Einheitskreis r = 1 =90° Die Winkelfunktion ist nicht mehr definiert! Wenn  = 90° wird, verschwindet das Dreieck mit Gegenkathete und Hypotenuse!

Für   90° ist die Winkelfunktion nicht mehr definiert! Einheitskreis r = 1 =105° Für   90° ist die Winkelfunktion nicht mehr definiert!

Die Winkelfunktion muss neu definiert werden! Einheitskreis r = 1  Die Winkelfunktion muss neu definiert werden!

Welche Strecke sollte sin  entsprechen? Einheitskreis r = 1 sin   Welche Strecke sollte sin  entsprechen?

Die Erweiterung der Sinusfunktion auf Winkel über 90°

neue Definition (über ein Streckenverhältnis im Kreis - ohne die Begriffe des rechtwinkligen Dreiecks) r y  Die Erweiterung der Sinusfunktion auf Winkel über 90°

Einheitskreis r = 1 neue Definition (über ein Streckenverhältnis im Kreis - ohne die Begriffe des rechtwinkligen Dreiecks) r =1 y =sin  1-- 

Einheitskreis r = 1 Quadrant II Quadrant I  Quadrant III Quadrant IV

Einheitskreis r = 1  Was geschieht mit dem Sinuswert, wenn der Winkel von 0° auf 360° wächst?

Einheitskreis r = 1 

Die Vorzeichen der Funktionswerte

y -1 sin 90°= 1 1- Einheitskreis r = 1 sin 180°= sin 0°=  sin 360°= sin 0°=  sin 360°= Wie groß sind die Funktionswerte für sin 0°, sin 90°, sin 180°, sin 270°, sin 360°? Der Funktionswert sin 270° ist negativ orientiert! (Der Streichholzkopf zeigt nach unten!) -1 sin 270° =

In welchem Quadranten ist der Funktionswert sin  negativ? y 1- Einheitskreis r = 1 Quadrant II Quadrant I sin   Quadrant III Quadrant IV In welchem Quadranten ist der Funktionswert sin  negativ?

y Einheitskreis r = 1 1-  Die „Streichhölzer“ zeigen nach oben! positive Funktionswerte positive Funktionswerte 

y Einheitskreis r = 1 1-  negative Funktionswerte Die „Streichhölzer“ zeigen nach unten!

+ + - - y Einheitskreis r = 1 1- sin   Quadrant I + Quadrant II sin   - - Quadrant III Quadrant IV Welche Vorzeichen erhalten die Funktionswerte in den jeweiligen Quadranten?

sin  + + - -

Die Funktionswerte der Winkel im 2. Quadranten

Einheitskreis r = 1 sin II sin I I I II sin II = sin I gleiche Streichholzlänge gleiche Orientierung der Streichhölzer Einheitskreis r = 1 sin II sin I I II I sin II = sin I ACHSENSYMMETRIE mit I = 180° - II Wie finde ich ein vergleichbares Streichholz im ersten Quadranten? Kann I durch II ausgedrückt werden?

Die Funktionswerte der Winkel im 3. Quadranten

Einheitskreis r = 1

- sin I Einheitskreis r = 1 PUNKTSYMMETRIE sin I I III I gleiche Streichholzlänge aber entgegengesetzte Orientierung der Streichhölzer PUNKTSYMMETRIE sin I I III I - sin I sin III = sin III mit I = III - 180° Kann I durch III ausgedrückt werden? Wie finde ich ein vergleichbares Streichholz im ersten Quadranten?

Die Funktionswerte der Winkel im 4. Quadranten

Einheitskreis r = 1

- sin I Einheitskreis r = 1 ACHSENSYMMETRIE sin I I IV I gleiche Streichholzlänge entgegengesetzte Orientierung der Streichhölzer ACHSENSYMMETRIE sin I I IV I - sin I sin IV = sin IV mit I = 360° - IV Kann I durch IV ausgedrückt werden? Wie finde ich ein vergleichbares Streichholz im ersten Quadranten?

Der Graph der Sinusfunktion

sin  270° 360°  90° 180°

Der Graph der Sinusfunktion 1 270° 360°  90° 180° -1 Periode

+ + + + - - - - + - Der Graph der Sinusfunktion sin   Periode sin  1 + + 270° 360°  - - 90° 180° -1 - - Periode sin  + -

+ + - - + - Der Graph der Sinusfunktion  sin   Periode sin  1 -1 270° 360°  90° 180° -1 - - Periode sin  + -

Symmetrieeigenschaften

Welche Symmetrieeigenschaften besitzt der Graph der Sinusfunktion? ACHSENSYMMETRIE bezüglich sin  PUNKTSYMMETRIE bezüglich 1 270° 360°  90° 180° -1 Welche Symmetrieeigenschaften besitzt der Graph der Sinusfunktion?

Mit welchen Punkten kann eine Sinuslinie schnell skizziert werden? ACHSENSYMMETRIE bezüglich ACHSENSYMMETRIE bezüglich sin  PUNKTSYMMETRIE bezüglich 1 270° 360°  90° 180° -1 Mit welchen Punkten kann eine Sinuslinie schnell skizziert werden?

Der Graph der Sinusfunktion 1 270° 360°  90° 180° -1

ENDE © Stoll; 2003 Berufsbildende Schule Frankenthal Andreas-Albert-Schule ENDE © Stoll; 2003