Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Messmodelle / Testmodelle: Bsp.1: Randomisierte Response-Technik:
Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Messmodelle / Testmodelle: Bsp.2: Ratekorrektur bei multiple-choice Tests:
Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Wichtige Konzepte: Variable / Parameter / Konstante Populationsparameter vs. (Stichproben-) Kennwert (=Statistik) Notationskonvention: Parameter: , , , , Stichprobenkennwerte: Schätzer: Schätzer sind auch Stichprobenkennwerte
Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Beispiele für Stichprobenkennwerte: Mittelwert: Streuung: Korrelationskoeffizient:
Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Stichprobenkennwerte als Schätzer der Populationsparameter: Gütekriterien für Schätzer: z.B. «erwartungstreuer Schätzer» Bsp.: Stichprobenmittelwert ist ein erwartungstreuer Schätzer des Populationsmittelwerts (Beweis!)
Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Modelle sind Gleichungssysteme, in Symbolen: Die i (theta) sind hierbei Parameter einer Verteilung und die i (xsi) sind die Modellparameter. Die fi sind nicht näher spezifizierte Funktionen.
Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Prinzip der statistischen Modellierung: Es werden Parameter einer Verteilung modelliert, nicht die Beobachtungen direkt. Die Verteilung beschreibt die Population (genauer: Die Verteilung der Werte in der Population)
Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Fragen: Warum werden mit Hilfe eines Messmodells nicht die Messungen direkt modelliert? Welchen Sinn macht es, die Parameter der Verteilungen mittels Modellen, die selbst wieder Parameter besitzen zu modellieren? Warum darf die Anzahl der Parameter m im Modell nicht grösser sein als die Anzahl p der Verteilungsparameter?
Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Antworten: Die Beobachtungen (Messungen) sind zufällig. Es kann nur die Verteilung der Messungen in der Population modelliert werden. Daher benötigt man eine Verteilung. Das Ziel der Modellierung besteht in der Ver-einfachung der Ausgangsverteilung, die sehr komplex sein kann. Um eine Vereinfachung zu erzielen, muss die Zahl der Modellparameter geringer sein als jene der Ausgangsverteilung.
Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Beispiel: Regressionsmodell: Beobachtungen: Paare von Beobachtungen: Modellgleichungen:
Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Beispiel: Regressionsmodell: Schätzung der Parameter mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate: Suche jene Werte der Parameter und , sodass, die Summe der quadrierten Residuen minimal wird:
Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Beispiel: Regressionsmodell: Problem des Ansatzes: Hierbei handelt es sich nicht um eine statistische Modellierung, sondern um ein ad-hoc Verfahren. Statistische Modellierung: Verteilung der Beobachtungen: [unabhängig] zugehörige Dichtefunktion:
Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Beispiel: Regressionsmodell: Statistische Modellierung: Verteilung der Beobachtungen zusam-men genommen (Produkt der Dichten): Modellierung:
Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Beispiel: Regressionsmodell: Statistische Modellierung: Das Ergebnis ist eine neue Verbundverteil-ung der Beobachtungen mit nur 3 freien Parametern anstelle von N+1:
Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Beispiel: Ratekorrektur: Wie sieht die Verteilung, deren Parameter modelliert werden, aus? Antwort: Es handelt sich um eine Binom-ialverteilung. Diese spezifiziert die Wahr-scheinlichkeit von x korrekten Antworten bei N vorgegebenen Fragen: Parameter repräsentiert die Wahrschein- lichkeit einer korrekten Antwort auf eine Frage.
Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Beispiel: Ratekorrektur: Binomialverteilung: Modellierung: Neue Verteilung (keine Vereinfachung):
Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Statistische Modellierung: Ausgangsverteilung der Messungen: Vereinfachte Verteilung der Messungen: Modell:
Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Verteilungen, deren Parameter mit Hilfe von Testmodellen modelliert werden: Multivariate (p-variate) Normalverteilung: (Produkt-) Multinomialverteilung: Die griechischen Buchstaben repräsentieren Parametervektoren bzw. Matrizen von Parametern.
Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Multivariate (p-variate) Normalverteil-ung : Vektor der Mittelwerte (Mittelwertsstruktur) und Kovarianzmatrix (Kovarianzstruktur). p Mittelwerte und p·(p+1)/2 (Ko-) Varianzen