Ein Zufallsexperiment auswerten Hilfe 1 Ein Zufallsexperiment auswerten Die Ergebnisse eines Zufallsexperiments werden in der Regel in einer Tabelle aufgeschrieben. Hierzu können während des Experiments Strichlisten geführt oder nach Beendigung des Experiments absolute Häufigkeiten in der Tabelle eingetragen werden. Ein Zufallsexperiment wird ausgewertet, indem man die relativen Häufigkeiten berechnet. Die relative Häufigkeit ist das Verhältnis: relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit Gesamtzahl der Versuche Relative Häufigkeiten können als Brüche, als Dezimalzahlen oder in Prozent angegeben werden. Augenzahl 1 2 3 4 5 6 Häufigkeit Lerntheke OER 6.6

Ergebnisse und Ereignisse Hilfe 2 Ergebnisse und Ereignisse Die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments nennt man Ergebnisse. Werden alle Ergebnisse geordnet aufgeführt, erhält man einen Ergebnisraum. Ergebnisraum (Würfeln mit einem Würfel): {1; 2; 3; 4; 5; 6} Ergebnisraum (Würfeln mit zwei Würfeln): {(1,1); (1,2); … (6,6)} Beim gleichzeitigen Würfeln mit zwei Würfeln, gibt es 36 unterschiedliche Ergebnisse. Ein Ereignis beschreibt die Erwartungshaltung eines Spielers. Wenn ein Spieler zum Beispiel beim Würfeln mit einer Zwei oder einer Vier weiterkommt, so wartet er auf das Ereignis „2 oder 4“. Ein Ereignis kann sich also aus einem oder mehreren Ergebnissen zusammensetzen. Beim Würfeln mit zwei Würfeln kann „Augensumme 4“ ein Ereignis sein. Zu diesem Ereignis gehören die Ergebnisse (1,3); (3, 1) und (2,2). Lerntheke OER 6.6

Hilfe 3 Baumdiagramme Beim Würfeln können sechs verschiedene Ergebnisse auftreten: 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Jedes Ergebnis ist aufgrund der geometrischen Abmessungen des Würfels gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „6“ beträgt 1 6 . Jedes andere Ereignis besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit. Man stellt die verschiedenen möglichen Ergebnisse des Zufallsversuchs in einem Baumdiagramm dar. Da sechs unterschiedliche Ergebnisse möglich sind, gibt es sechs Zweige. Jeder Pfeil kann mit der Wahrscheinlichkeit von einem Sechstel beschriftet werden. Alle Pfadwahrscheinlichkeiten können insgesamt zu „1“ addiert werden. 1 2 3 4 5 6 1 6 Lerntheke OER 6.6

Wahrscheinlichkeiten bestimmen Hilfe 4 Wahrscheinlichkeiten bestimmen Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird mit einem Zahlwert zwischen „0“ und „1“ beschrieben. Der Zahlenwert „0“ beschreibt ein unmögliches Ereignis, der Zahlenwert „1“ ein sicher eintretendes Ereignis. Wahrscheinlichkeiten können auch in Prozenten angegeben werden. Das sichere Ereignis besitzt eine Wahrscheinlichkeit von 100%, das unmögliche Ereignis eine Wahrscheinlichkeit von 0%. Laplace-Versuche sind Zufallsversuche, deren Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Der Würfel ist ein typisches Laplace-Zufallsgerät. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird beim Laplace-Versuch bestimmt: p(E) = Anzahl der günstigen Ergebnisse Anzahl aller Ergebnisse Beispiel: Du möchtest herausfinden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, eine „6“ zu würfeln. Du würfelst 100 Mal und in 17 Fällen erhältst du tatsächlich eine 6. 𝑝 𝐸 = 17 100 =17% Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu Würfeln liegt also bei 17%, das ist ungefähr 1 6 . Wahrscheinlichkeit Lerntheke OER 6.6

Mehrstufige Baumdiagramme Hilfe 5 Mehrstufige Baumdiagramme Das gleichzeitige Würfeln mit zwei Würfeln betrachtet man als zwei Zufallsversuche, die nacheinander ausgeführt werden. Der zweistufige Zufallsversuch kann in einem zweistufigen Baumdiagramm dargestellt werden. Alle Pfeile werden mit Wahrscheinlichkeitswerten beschriftet. Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeitswerte multipliziert. Am Ende eines Pfades wird die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis angegeben. (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) 1 6 (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6) 1 2 3 4 5 6 Lerntheke OER 6.6

Ein Zufallsexperiment durchführen Station 1 Ein Zufallsexperiment durchführen Holt euch einen Baumwollbeutel und folgende Holzkugeln: 5 blaue Steine 5 grüne Steine 10 rote Steine. Zieht nun 24-mal einen Stein aus dem Beutel und notiert die gezogene Farbe in der Tabelle in euren Heften. Der Stein wird nach dem Ziehen wieder in den Beutel zurückgelegt. Aufgaben Gib die absolute Häufigkeit jeder gezogenen Farbe an. Berechne die relative Häufigkeit für jede Farbe. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen roten Stein zu ziehen? einen blauen Stein zu ziehen? Zeichne ein Baumdiagramm für das einmalige Ziehen. Beschrifte die Zweige mit den Farben Blau, Grün und Rot. 1 3 4 Lerntheke OER 6.6

Ein Zufallsexperiment durchführen Station 2 Ein Zufallsexperiment durchführen Holt euch einen Baumwollbeutel und folgende Holzkugeln: 6 blaue Steine 4 grüne Steine 2 rote Steine. Zieht nun 24-mal einen Stein aus dem Beutel und notiert die gezogene Farbe in der Tabelle in euren Heften. Der Stein wird nach dem Ziehen wieder in den Beutel zurückgelegt. Aufgaben Gib die absolute Häufigkeit jeder gezogenen Farbe an. Berechne die relative Häufigkeit für jede Farbe. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen roten Stein zu ziehen? einen blauen Stein zu ziehen? Zeichne ein Baumdiagramm für das einmalige Ziehen. Beschrifte die Zweige mit den Farben Blau, Grün und Rot. 1 3 4 Lerntheke OER 6.6

Zweimal ziehen – ohne Zurücklegen Station 3 Zweimal ziehen – ohne Zurücklegen Holt euch einen Baumwollbeutel und folgende Holzkugeln: 6 blaue Steine 4 grüne Steine 2 rote Steine. Zieht nun 24-mal nacheinander zwei Steine aus dem Beutel (ohne den ersten zurückzulegen) und notiert die gezogenen Farben in der Tabelle in euren Heften. Bei diesem Versuch handelt es sich um einen Zufallsversuch zum Ziehen ohne Zurücklegen. Aufgaben Welche Farbkombinationen sind möglich? Gib die absolute Häufigkeit jeder gezogenen Farbkombination an. Berechne die relative Häufigkeit für jede Farbkombination. Zeichne ein mehrstufiges Baumdiagramm zu diesem Zufallsexperiment. Beschrifte die Zweige mit den Pfadwahrscheinlichkeiten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Steine zu ziehen? zwei blaue Steine zu ziehen? 1 4 5 Lerntheke OER 6.6

Zweimal ziehen – ohne Zurücklegen Station 4 Zweimal ziehen – ohne Zurücklegen Holt euch einen Baumwollbeutel und folgende Holzkugeln: 6 blaue Steine 4 grüne Steine 2 rote Steine. Nun werden nacheinander zwei Steine gezogen. Nachdem der erste Stein gezogen wurde, wird er nicht sofort wieder in den Beutel zurückgelegt. Erst nach dem zweiten Ziehen legt ihr beide Steine zurück. Aufgaben Zeichne zu diesem Zufallsexperiment ein mehrstufiges Baumdiagramm. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, Zwei blaue Steine zu ziehen? Zwei Steine mit derselben Farbe zu ziehen? Beschreibe, wie sich das Baumdiagramm für das Ziehen mit und ohne Zurücklegen unterscheiden? 1 4 5 Lerntheke OER 6.6

Zweimal ziehen – ohne Zurücklegen Station 5 Zweimal ziehen – ohne Zurücklegen Holt euch einen Baumwollbeutel und folgende Holzkugeln: 8 blaue Steine 4 grüne Steine 6 rote Steine. Aufgaben Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Ziehen einen roten, einen grünen oder einen blauen Stein zu ziehen? Zeichne ein Baumdiagramm für das Ziehen von zwei Steinen. Nach dem Ziehen des ersten Steines, wird er wieder zurückgelegt. Beschrifte das Baumdiagramm mit den Pfadwahrscheinlichkeiten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Steine zu ziehen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Steine mit derselben Farbe zu ziehen? 1 Blau Grün Rot 4 5 Lerntheke OER 6.6

Station 6 Aussagen treffen 1 4 Aufgaben Für diese Station brauchst du zunächst kein Material! In einem Baumwollbeutel befinden sich Steine in den Farben Blau, Rot und Grün. Aus dem Beutel wurden Steine gezogen und nach jeder Ziehung wurden die gezogenen Steine sofort wieder in den Beutel zurückgelegt. Die Farben Blau, Rot und Grün traten mit folgender absoluter Häufigkeit auf. Aufgaben Berechne die relative Häufigkeit für jede Farbe. Insgesamt sind zwanzig Steine in dem Beutel. Wie viele Steine der jeweiligen Farbe könnten vorhanden sein? Begründe deine Vermutung! Lege nun Farbsteine in der von dir vermuteten Anzahl in den Beutel und ziehe mindestens 20-mal einen Stein. Werte diesen Versuch mithilfe einer Tabelle aus. Gib die relative Häufigkeit deiner Ergebnisse in Prozent an. Beschreibe deine Beobachtung. 1 Blau Rot Grün 13 17 30 4 Lerntheke OER 6.6

Station 7 Aussagen treffen 1 4 Aufgaben Für diese Station brauchst du zunächst kein Material! In einem Baumwollbeutel befinden sich Steine in den Farben Blau, Rot, Grün und Gelb. Aus dem Beutel werden Steine gezogen und nach jeder Ziehung werden die gezogenen Steine sofort wieder in den Beutel zurückgelegt. Die Farben Blau, Rot, Grün und Gelb tragen mit folgender absoluter Häufigkeit auf. Aufgaben Berechne die relative Häufigkeit für jede Farbe. Insgesamt sind fünfundzwanzig Steine in dem Beutel. Wie viele Steine der jeweiligen Farbe könnten vorhanden sein? Lege nun Farbsteine in der von dir vermuteten Anzahl in den Beutel und ziehe mindestens 20-mal einen Stein. Werte diesen Versuch mithilfe einer Tabelle aus. Beschreibe deine Beobachtung. 1 Blau Rot Grün Gelb 14 29 6 23 4 Lerntheke OER 6.6

Station 8 Repetitorium In dieser Station sollst du vor allem alten Stoff noch einmal wiederholen. Bearbeite die Aufgaben gründlich und wenn du Schwierigkeiten hast, mache die Station in ein paar Tagen noch einmal. Die Lösungen findest du unten auf der Karte – aber denk daran: Erst alle Aufgaben durchrechnen und dann prüfen! 96,42−18,5= 12,4∙8,3= 2342:4= 28+32∙2= Schreibe als Bruch: 1,07 Schreibe als Dezimalbruch: 7 5 Kürze so weit wie möglich: 24 32 Erweitere 3 8 mit 5. 1) 77,92 2) 102,92 3) 585,5 4) 92 5) 107 100 6) 1,4 7) ¾ 8) 15 40 Lerntheke OER 6.6

Ein Zufallsexperiment durchführen Station 9 Ein Zufallsexperiment durchführen Für diese Station brauchst du zwei 6-seitige Würfel und einen 12-seitigen Würfel. Lies dir die Aufgabenstellung sehr aufmerksam durch. Würfle mit den beiden 6-seitigen Würfeln gemeinsam und berechne 30-mal die Augensumme 2 bis 12. Notiere die Häufigkeit der Ergebnisse in deinem Heft in einer Tabelle. Ermittle mit dem 12-seitigen Würfel 30-mal eine Zahl von 1 bis 12. Notiere die Häufigkeit der Ergebnisse in deinem Heft in einer Tabelle. Berechne für beide Tabellen die relativen Häufigkeiten für die Zahlen 2, 7 und 12 und vergleiche die Ergebnisse miteinander. Was fällt dir auf? Zeichne ein vollständiges Baumdiagramm für das Zufallsexperiment mit dem 12-seitigen Würfel. 1 3 4 Lerntheke OER 6.6

Ein Zufallsexperiment durchführen Station 10 Ein Zufallsexperiment durchführen Für diese Station brauchst du einen 4-seitigen Würfel (Tetraeder) und einen 8-seitigen Würfel (Oktaeder). Lies dir die Aufgabenstellung sehr aufmerksam durch. Ermittle mit den beiden Würfeln gemeinsam 48-mal die Augensumme von 2 bis 12. Notiere die absolute Häufigkeit der Ergebnisse in deinem Heft in einer Tabelle. Berechne für jede Augensumme die relative Häufigkeit. Zeichne ein Baumdiagramm zu diesem Zufallsexperiment. Der Tetraeder-Würfel soll zuerst fallen. Beschrifte das Baumdiagramm mit den Pfadwahrscheinlichkeiten. Berechne für jede Augensumme die Wahrscheinlichkeit. 1 2 5 Lerntheke OER 6.6

Zwei Zufallsexperimente vergleichen Station 11 Zwei Zufallsexperimente vergleichen Für diese Station brauchst du einen 4-seitigen Würfel (Tetraeder) und einen 8-seitigen Würfel (Oktaeder). Lies dir die Aufgabenstellung sehr aufmerksam durch. Ermittle mit dem Tetraeder 20-mal eine Zahl von 1 bis 4. Notiere die absolute Häufigkeit der Ergebnisse in deinem Heft in einer Tabelle. Berechne die relativen Häufigkeiten. Zeichne ein vollständiges Baumdiagramm für den Tetraeder-Würfel. Ermittle mit dem Oktaeder 20-mal eine Zahl von 1 bis 8. Notiere die absolute Häufigkeit der Ergebnisse in deinem Heft in einer Tabelle. Zeichne ein vollständiges Baumdiagramm für den Oktaeder-Würfel. Jana meint: „Mit dem Tetraeder-Würfel und dem Oktaeder-Würfel ist die Wahrscheinlichkeit, eine Eins zu würfeln, gleich.“ Nimm Stellung zu dieser Aussage. 1 2 3 4 Lerntheke OER 6.6

Ein Zweistufiges Baumdiagramm zeichnen Station 12 Ein Zweistufiges Baumdiagramm zeichnen Für diese Station brauchst du zwei 6-seitige Würfel. Lies dir die Aufgabenstellung zunächst aufmerksam durch, bevor du beginnst. Bei dieser Station geht es um die Augensumme von zwei gleichzeitig geworfenen Würfeln. Stelle eine Vermutung auf: Welche Augensumme kommt am häufigsten vor? Oder ist die Wahrscheinlichkeit bei allen gleich? Würfele mindestens 20-mal mit zwei Würfeln gleichzeitig und bestimme die Augensumme. Trage die Ergebnisse in die Tabelle im Heft ein und berechne für jede Augensumme die relative Häufigkeit. Zeichne ein Baumdiagramm zu diesem Zufallsexperiment und beschrifte es mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Tabelle im Heft und ordne alle möglichen Ergebnisse für das Würfeln mit zwei Würfeln ihren Augensummen zu. Welche Augensumme ist am wahrscheinlichsten? Begründe deine Entscheidung. Vergleiche mit deiner Vermutung oben. 1 2 5 Lerntheke OER 6.6

Wahrscheinlichkeiten vermuten Station 13 Wahrscheinlichkeiten vermuten Für diese Station brauchst du zwei zehnseitige Würfel, einer davon sollte die Zehnerschritte angeben: 10, 20, 30, …. Mit den beiden Würfeln soll im folgenden die Augensumme ermittelt werden. Welche Ergebnisse sind möglich? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Zahlen  33?  45?  100?  50? Wie groß wäre die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Zahl größer als 49“? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Zahl ist ohne Rest durch 3 teilbar“? Beschreibe ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit 20 Prozent beträgt. 2 4 5 Lerntheke OER 6.6

Wahrscheinlichkeiten bestimmen Station 14 Wahrscheinlichkeiten bestimmen Für diese Station brauchst du den abgebildeten Quader. Lies dir die Aufgabenstellung zunächst aufmerksam durch, bevor du beginnst. Der abgebildete Quader liefert die Zahlen 1 bis 6. Nicht alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. Welche Zahlen werden deiner Meinung nach häufig „gewürfelt“? Schreibe deine Vermutung in deinem Heft auf. Ermittle mit diesem Zufallsgerät 25-mal eine Zahl von 1 bis 6. Notiere die Häufigkeit der Ergebnisse in deinem Heft in der Tabelle. Berechne anschließend die relative Häufigkeit für alle Ergebnisse. Stelle aufgrund deiner Versuche eine Vermutung über die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ergebnisse auf. Denke daran, dass sich die Wahrscheinlichkeiten in Prozent zu 100 addieren müssen. 1 4 Lerntheke OER 6.6

Wahrscheinlichkeiten bestimmen Station 15 Wahrscheinlichkeiten bestimmen Für diese Station brauchst du den abgebildeten Quader. Lies dir die Aufgabenstellung zunächst aufmerksam durch, bevor du beginnst. Der abgebildete Quader liefert die Zahlen 1 bis 6. Nicht alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. Welche Zahlen werden deiner Meinung nach häufig „gewürfelt“? Schreibe deine Vermutung in deinem Heft auf. Ermittle mit diesem Zufallsgerät 25-mal eine Zahl von 1 bis 6. Notiere die Häufigkeit der Ergebnisse in deinem Heft in der Tabelle. Berechne anschließend die relative Häufigkeit für alle Ergebnisse. Stelle aufgrund deiner Versuche eine Vermutung über die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ergebnisse auf. Denke daran, dass sich die Wahrscheinlichkeiten in Prozent zu 100 addieren müssen. Ist dies ein Laplace-Experiment? 1 4 Lerntheke OER 6.6

Ein Zufallsexperiment durchführen Station 16 Ein Zufallsexperiment durchführen Für diese Station brauchst du einen Drehpfeil und die Farbscheibe „Station 16“. Lies dir die Aufgabenstellung zunächst aufmerksam durch, bevor du beginnst. Lege die Farbscheibe unter den Drehpfeil. Ermittle durch Drehen des Zeigers 24-mal eine der vier Farben und führe in deinem Heft eine Strichliste. Berechne die relative Häufigkeit für jede Farbe. Ermittle die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe aufgrund der Farbverteilung auf der Scheibe. Erkläre die Unterschiede zwischen den relativen Häufigkeiten und den Wahrscheinlichkeiten? 1 4 Lerntheke OER 6.6

Ein Zufallsexperiment durchführen Station 17 Ein Zufallsexperiment durchführen Für diese Station brauchst du einen Drehpfeil und die Farbscheibe „Station 17“. Lies dir die Aufgabenstellung zunächst aufmerksam durch, bevor du beginnst. Lege die Farbscheibe unter den Drehpfeil. Ermittle durch Drehen des Zeigers 24-mal eine der vier Farben und führe in deinem Heft eine Strichliste. Berechne die relative Häufigkeit für jede Farbe. Ermittle die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe aufgrund der Farbverteilung auf der Scheibe. Erkläre die Unterschiede zwischen den relativen Häufigkeiten und den Wahrscheinlichkeiten? 1 4 Lerntheke OER 6.6

Einem Zufallsexperiment eine Verteilung zuordnen Station 18 Einem Zufallsexperiment eine Verteilung zuordnen Mit einer der drei abgebildeten Farbscheiben wurde ein Zufallsexperiment durchgeführt. Die Farben Rot, Blau, Grün und Gelb traten mit folgenden Häufigkeiten auf: Berechne die relative Häufigkeit für jede Farbe. Welche der abgebildeten Scheiben könnte zu diesem Zufallsexperiment gehören? Begründe deine Vermutung! 1 Rot Blau Grün Gelb 32 30 28 4 I II III Lerntheke OER 6.6

Einem Zufallsexperiment eine Verteilung zuordnen Station 19 Einem Zufallsexperiment eine Verteilung zuordnen Mit einer der drei abgebildeten Farbscheiben wurde ein Zufallsexperiment durchgeführt. Die Farben Rot, Blau, Grün und Gelb traten mit folgenden Häufigkeiten auf: Berechne die relative Häufigkeit für jede Farbe. Welche der abgebildeten Scheiben könnte zu diesem Zufallsexperiment gehören? Begründe deine Vermutung! 1 Rot Blau Grün Gelb 68 33 17 14 4 I II III Lerntheke OER 6.6

Aussagen über Farbverteilungen machen Station 20 Aussagen über Farbverteilungen machen Mit einer Farbscheibe wurde ein Zufallsexperiment durchgeführt. Die Farben Rot, Blau, Grün und Gelb traten mit folgenden Häufigkeiten auf: Berechne die relative Häufigkeit für jede Farbe. Die Farbscheibe ist in zwölf Segmente aufgeteilt. Färbe den Kreis in deinem Heft passend ein. Zeichne ein Baumdiagramm für das einmalige Drehen mit dieser Farbscheibe. Beschrifte die Zweige mit den Wahrscheinlichkeiten für jede Farbe. 1 Rot Blau Grün Gelb 20 71 9 3 4 Lerntheke OER 6.6

Aussagen über Farbverteilungen machen Station 21 Aussagen über Farbverteilungen machen Mit einer Farbscheibe wurde ein Zufallsexperiment durchgeführt. Die Farben Rot, Blau, Grün und Gelb traten mit folgenden Häufigkeiten auf: Berechne die relative Häufigkeit für jede Farbe. Die Farbscheibe ist in zwölf Segmente aufgeteilt. Färbe den Kreis in deinem Heft passend ein. Zeichne ein Baumdiagramm für das einmalige Drehen mit dieser Farbscheibe. Beschrifte die Zweige mit den Wahrscheinlichkeiten für jede Farbe. 1 Rot Blau Grün Gelb 144 240 48 3 4 Lerntheke OER 6.6