Konvexe Risikomaße

Motivation If you can‘t measure it, you can‘t manage it Ziel ist es Risiken mathematisch modellieren und quantifizieren zu können Dadurch können Risiken miteinander verglichen werden Entscheidungen können aufgrund dieser Quantifizierung erleichtert werden If you can‘t measure it, you can‘t manage it

Value at Risk Risikomaß mit: festem Zeitabschnitt t vorgegebenes Konfidenzniveau ∝ ↳ ist ein Maß für das Verlustrisiko VaR bestimmt die Ausprägung der Verlusthöhe, die mit der Wahrscheinlichkeit ∝ in der Zeit t nicht überschritten wird Ausfallwahrscheinlichkeit auch Konfidenzniveau genannt

Value at Risk Beispiel betrachtete Finanzposition X t entspricht einem Tag 𝛼 entspricht 97,5 % V@R(X) entspricht 10 Mio. €

Axiomatisierung von Risikomaßen Philippe Artzner (Universität Strasbourg) Freddy Delbaen (Technische Hochschule Zürich) Jean-Marc Eber (Société Générale Paris) David Heath (Universität Pittsburgh, Pennsylvania) veröffentlichten am 22. Juli 1998 die Arbeit „Coherent measures of risk“

Monetäres Risikomaß Bemerkungen: Ω ist eine Menge von verschiedenen Szenarien 𝒳 ist eine Menge von Finanzpositionen. Eine Finanzposition X∈𝒳kann durch eine Abbildung X:Ω ℝ beschrieben werden X(𝜔) beschreibt dabei den Nettowert der Position am Ende einer Handelsperiode (future value)

Monetäres Risikomaß Definition Die Abbildung 𝜌 : 𝒳→ℝ heißt monetäres Risikomaß, wenn sie folgende Eigenschaften ∀ X,Y ∈ 𝒳 erfüllt: Monotonie: Wenn X≤Y ⟹ 𝜌(X)≥𝜌(Y) Translationsinvarianz: Wenn m∈ℝ⟹𝜌(X+m)=𝜌(X)-m

Monetäres Risikomaß Bemerkungen zur Monotonie: X hat kleineres Auszahlungsprofil als Y, daher ist im Falle eines Kursrückganges das Risiko von X höher als das von Y zur Translationsinvarianz: - wird auch Cashinvarianz genannt. - ist motiviert durch die Interpretation des Risikomaßes 𝜌 als Kapitalbedarf- bzw. reserve, d.h. 𝜌(X) ist die Menge die zur Position X hinzugefügt werden muss, um diese Position akzeptabel zu machen Daher: wenn m zur Position hinzugefügt wurde und (risikolos) investiert wurde, dann sinkt der Kapitalbedarf um den selben Betrag Falls noch zeit gebraucht wird: erklärung dass wir konvention nutzen dass x der wert der finanzposition nach abzinsung ist

Monetäres Risikomaß Folgerungen Translationsinvarianz impliziert A) 𝜌 𝑋+𝜌 𝑋 =0 B) 𝜌 𝑚 =𝜌 0 −𝑚 ∀𝑚∈ℝ Für fast alle Anwendungen kann man annehmen, dass monetäre Risikomaße auch die folgende Eigenschaft erfüllen: - Normalisierung 𝜌 0 =0

Konvexes Risikomaß Definition Ein monetäres Risikomaß heißt konvexes Risikomaß, wenn es folgende Eigenschaft ∀ X,Y ∈ 𝒳,𝜆∈ 0,1 erfüllt: Konvexität: 𝜌 𝜆𝑋+ 1−𝜆 𝑌 ≤𝜆𝜌 𝑋 +(1−𝜆)𝜌(𝑌)

Konvexes Risikomaß Bemerkungen Diversifikation sollte das Risiko nicht erhöhen ↳ größtes Manko des Value at Risk Wenn 𝜌 konvex und normalisiert ist, dann: 𝜌 𝜆𝑋 ≤𝜆𝜌 𝑋 ∀𝜆∈ 0,1 𝜌 λ𝑋 ≥𝜆𝜌 𝑋 ∀𝜆≥1

Kohärentes Risikomaß Definition Ein konvexes Risikomaß heißt kohärentes Risikomaß, wenn es folgende Eigenschaft ∀X∈𝒳 erfüllt: Positive Homogenität: Wenn 𝜆≥0⟹ 𝜌 𝜆𝑋 =𝜆𝜌(𝑋) Vergleich konvexe / kohärente Riskomaße ( evtl mit eigener folie)

Kohärentes Risikomaß Bemerkungen Wenn monetäres Risikomaß positiv homogen, dann auch normalisiert. Aus positiver Homogenität von 𝜌 folgt die Äquivalenz: 𝜌 konvex ⟺ 𝜌 subadditiv In vielen Situationen wachsen Risiken nicht linear, wenn die Größe der Position wächst ↳ daher sind konvexe Risikomaße manchmal näher an der Realität Daher werden wir uns hauptsächlich mit konvexen RM beschäftigen p subadditiv: p(x+y) kleiner gleich p(x)+p(y)

Alternative Interpretation von Risikomaßen Anstatt 𝑋∈𝒳 als den zukünftigen Wert einer Handelsperiode zu sehen, kann man X auch als Verlust aufgreifen. Dadurch ändern sich einige Axiome Ein Risikomaß 𝜌:𝒳→ℝ heißt translationsinvariant, wenn für ∀ 𝑋∈𝒳 und jedes m∈ℝ gilt 𝜌(𝑋+𝑚)=𝜌 𝑋 +𝑚 monoton, wenn ∀ X,Y∈𝒳 aus X≤Y ⟹ 𝜌(X)≤𝜌(Y) Definition nach McNeil, Frey, Embrechts in „Quantitative Risk Management“

Akzeptanzmenge eines Risikomaßes Definition Ein monetäres Risikomaß 𝜌 erzeugt die Menge 𝒜𝜌:={𝑋∈𝒳 𝜌(𝑋)≤0} Bemerkung Die Menge umfasst alle Position, die akzeptabel sind. Also die Positionen, die ohne zusätzliches Kapital auskommen. Akzeptabel in dem sinne, dass sie nicht zusätzliches Kapital benötigen

Satz zum Zusammenhang von Risikomaßen und dessen Akzeptanzmengen Sei 𝜌 ein monetäres Risikomaß mit der Akzeptanzmenge 𝒜𝜌. Dann gelten: i) 𝒜𝜌 ist nicht-leer und genügt den folgenden Bedingungen: inf{𝑚∈ℝ 𝑚∈𝒜𝜌 }>−∞ 𝑋∈𝒜𝜌 , 𝑌∈𝒳, 𝑌≥𝑋⟹𝑌∈𝒜𝜌 ii) 𝜌 kann aus 𝒜𝜌 hergeleitet werden: 𝜌 𝑋 =inf⁡{𝑚∈ℝ 𝑚+𝑋∈𝒜𝜌 } iii) 𝜌 ist ein konvexes Risikomaß ⟺ 𝒜𝜌 ist eine konvexe Menge iv) 𝜌 ist ein kohärentes Risikomaß ⟺ 𝒜𝜌 ist ein konvexer Kegel

Value at Risk Bemerkungen Ein λ−𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙 (𝜆∈ 0,1 ) einer Zufallsvariablen X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ist für irgendein q∈ℝ mit der Eigenschaft: i) 𝑃 𝑋≤𝑞 ≥𝜆 ii) 𝑃 𝑞≤𝑋 ≥1−λ Die obere Quantilfunktion von X ist dann gegeben durch: 𝑞 𝑋 + 𝑡 =inf⁡{𝑥 𝑃 𝑋≤𝑥 >𝑡}=sup⁡{𝑥 𝑃 𝑋<𝑥 ≤𝑡} Das 25-%-Quantil beispielsweise ist der Wert, für den gilt, dass 25 % aller Werte kleiner sind als dieser Wert. Quantile formalisieren praktische Aussagen wie „25 % aller Frauen sind kleiner als 1,62 m“ – wobei 1,62 m hier das 25-%-Quantil ist.

Value at Risk Definition Sei 𝜆∈ 0,1 fest. Für eine Finanzposition 𝑋, definieren wir dessen Value at Risk Level λ wie folgt V@Rλ(𝑋)≔inf 𝑚∈ℝ 𝑃 𝑋+𝑚<0 ≤𝜆 =− 𝑞 𝑋 + 𝜆 ↳ in anwendungsbezogener Sicht gibt V@Rλ(𝑋) die kleinste Menge Kapital an, welches, wenn es zu X hinzugefügt wird und risikofrei investiert wird, die Wahrscheinlichkeit von negativem Ausgang unter der Wahrscheinlichkeit von 𝜆 hält.

Value at Risk Kritik Modifikation ist kein konvexes Risikomaß ↳ Diversifikation ? nicht subadditiv kontrolliert nur die Wahrscheinlichkeit eines Verlustes, jedoch nicht dessen Höhe ist nicht geeignet um den Maximalverlust zu bestimmen unterstellt, dass sich Ereignisse in naher Zukunft verhalten wie Ereignisse in der Vergangenheit Modifikation Conditional oder Average Value at Risk Kein konvexes risikomaß, da akzeptanzmenge ist nich konvex

Average Value at Risk Definition Sei 𝜆∈(0, 1 fest. Für eine Finanzposition 𝑋, definieren wir dessen Average Value at Risk Level λ wie folgt 𝐴𝑉@𝑅𝜆(X)= − 1 𝜆 0 𝜆 𝑞 𝑋 + 𝑡 𝑑𝑡

Beispiel Entropisches Risikomaß

Vorbereitungen zum Theorem zur robusten Repräsentation von konvexen Risikomaßen Sei ℳ 1 = ℳ 1 Ω,ℱ der Raum aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf Ω,ℱ Sei ℳ 1,𝑓 = ℳ 1,𝑓 Ω,ℱ der Raum aller 𝜎-additiven Maße 𝑄:ℱ→ 0,1 mit 𝑄 Ω =1 Satz zur Repräsentation von kohärenten Risikomaßen Ein Funktional 𝜌:𝒳→ℝ ist ein kohärentes Risikomaß ⇔ Es existiert eine Teilmenge 𝒬⊆ ℳ 1,𝑓 sodass 𝜌 𝑋 = 𝑠𝑢𝑝 𝑄∈𝒬 𝔼 𝑄 −X , X∈𝒳

Theorem zur robusten Repräsentation von konvexen Risikomaßen Jedes konvexe Risikomaß 𝜌 auf 𝒳 ist von der Form 𝜌 𝑋 = 𝑚𝑎𝑥 𝑄∈ ℳ 1,𝑓 𝔼 𝑄 −𝑋 − 𝛼 𝑚𝑖𝑛 𝑄 , wobei die Straffunktion 𝛼 𝑚𝑖𝑛 (penalty function) repräsentiert wird durch 𝛼 𝑚𝑖𝑛 𝑄 := 𝑠𝑢𝑝 𝑋∈ 𝒜 𝑝 𝔼 𝑄 −𝑋 für Q∈ ℳ 1,𝑓

Theorem zur robusten Repräsentation von konvexen Risikomaßen Bemerkungen 𝜌 ist also das Supremum über die Menge der Szenarien des erwarteten Verlust korrigiert durch einen Strafterm, der von den Szenarien abhängt. Die Menge der möglichen Szenarien kann exogen bestimmt werden ( z.B. von behördlichen Institutionen oder vom Markt selbst). Der Strafterm 𝛼 hingegen kann von dem Investor selbst bestimmt werden ( durch seine Präferenzen/Nutzenfunktionen). Die Repräsentation unterstreicht die Verbindung zwischen konvexen Risikomaßen, den Regeln der Preisbildung und Präferenzen des Investors.

Quellen Stochastic Finance, An introduction in discrete time von H. Föllmer & A.Schied (2004) Quantitative Risk Management, Concepts, Techniques and Tools von A.J. McNeil, R. Frey, P. Embrechts (2005) Coherent measures of risk von P. Artzner, F. Delbaen, J-M Eber, D. Heath (1998) Dissertation Application of the Duality Theory. New Possibilities within the Theory of Risk Measures, Portfolio Optimization and Machine Learning von N. Lorenz (2011) Gabler Versicherungslexikon von F. Wagner (2011) Grundlagen des Risikomanagements im Unternehmen von W. Gleißner (2008) Dynamic Convex Risk Measures von M. Fritelli, E.R. Gianin (2004) Masterarbeit Dynamische Risikomaße von T.M. Joisten (2016)