Abiturprüfung Mathematik 2012 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de

Pflichtteil 2012 Aufgabe 1: Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion 𝑓 mit 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 +7 5 . (2 VP) Lösung: 𝑓 ′ 𝑥 =5 sin 𝑥 +7 4 ⋅ cos 𝑥 Aufgabe 2: Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion 𝑓 mit 𝑓 𝑥 =2 𝑒 4𝑥 + 3 𝑥 2 . (2 VP) 𝐹 𝑥 = 2 𝑒 4𝑥 + 3 𝑥 2 𝑑𝑥 = 2 𝑒 4𝑥 +3 𝑥 −2 𝑑𝑥 = 1 2 𝑒 4𝑥 − 3 𝑥 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 1 𝑛+1 𝑥 𝑛+1 +𝐶

Pflichtteil 2012 sin 𝑥 ∙ cos 𝑥 −2 cos 𝑥 =0 ⇔ cos 𝑥 ⋅ sin 𝑥 −2 =0 Aufgabe 3: Lösen Sie für 0≤𝑥≤2𝜋 die Gleichung sin 𝑥 ∙ cos 𝑥 −2 cos 𝑥 =0. (3 VP) Lösung: sin 𝑥 ∙ cos 𝑥 −2 cos 𝑥 =0 ⇔ cos 𝑥 ⋅ sin 𝑥 −2 =0 ⇒ cos 𝑥 =0 oder sin 𝑥 −2=0. Letzteres ist nicht möglich! cos 𝑥 wird im Bereich 0≤𝑥≤2𝜋 nur bei 𝑥 1 = 𝜋 2 und 𝑥 2 = 3𝜋 2 Null. Ergebnis: 𝕃= 𝜋 2 , 3𝜋 2 .

Pflichtteil 2012 Aufgabe 4: Gegeben sind die Funktionen 𝑓 mit 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 und 𝑔 mit 𝑔 𝑥 =2𝑥−3. Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der zugehörigen Graphen. Untersuchen Sie, ob sich die beiden Graphen senkrecht schneiden. (4 VP) Lösung: Gleichsetzen und umformen 2 𝑥 =2𝑥−3 ⇒ 2 𝑥 2 −3𝑥−2=0⇒ 𝑥 2 − 3 2 𝑥−1=0 ⇒ 𝑥 1,2 = 3 4 ± 9 16 + 16 16 ⇒ 𝑥 1 =2, 𝑥 2 =− 1 2 ⇒ 𝑓 𝑥 1 =1, 𝑓 𝑥 2 =−4 Ergebnis: Die gemeinsamen Punkte sind 𝑃 1 2 1 und 𝑃 2 − 1 2 −4 . ⋅𝑥, −2 :2 p−q−Formel

𝑓 𝑥 = 2 𝑥 𝑔 𝑥 =2𝑥−3 Pflichtteil 2012 Untersuchung auf senkrechtes Schneiden: Zwei Kurven schneiden sich in einem Punkt 𝑥 senkrecht wenn das Produkt der Steigungen den Wert −1 ergibt, wenn also 𝑓‘ 𝑥 ⋅𝑔‘(𝑥)=−1 gilt. Mit 𝑓‘ 𝑥 =−2⋅ 𝑥 −2 =− 2 𝑥 2 und 𝑔‘ 𝑥 =2 folgt 𝑓‘ 2 =− 2 4 =− 1 2 und 𝑔‘(2)=2 und damit 𝑓‘ 2 ⋅ 𝑔 ′ 2 =− 1 2 ⋅2=−1. Ebenso folgt 𝑓‘ − 1 2 ⋅ 𝑔 ′ − 1 2 =−8⋅2=−16≠−1. Ergebnis: In 𝑃 1 2 1 schneiden sich die Kurven senkrecht, in 𝑃 2 − 1 2 −4 nicht.

Pflichtteil 2012 Aufgabe 5: Eine der folgenden Abbildungen zeigt den Graphen der Funktion 𝑓 mit 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −3𝑥−2. Abb. 1 Abb. 2 Abb. 3 Abb. 4

Pflichtteil 2012 Begründen Sie, dass die Abbildung 2 den Graphen von 𝑓 zeigt. Von den anderen drei Abbildungen gehört eine zur Funktion 𝑔 mit 𝑔 𝑥 =𝑓 𝑥−𝑎 und eine zur Funktion ℎ mit ℎ 𝑥 =𝑏∙𝑓 𝑥 . Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehörigen Abbildungen zu und begründen Sie Ihre Entscheidung. Geben Sie die Werte für a und b an. Die bis jetzt nicht zugeordnet Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion 𝑘. Geben Sie ohne Rechnung einen Funktionsterm für 𝑘 an. (5 VP)

Pflichtteil 2012 𝑓(𝑥) hat Nullstellen bei 𝑥 1 =−1 und 𝑥 2 =2. → Abb. 2 und 3. Es gilt aber 𝑓 0 =−2, folglich wird 𝑓 in Abb. 2 dargestellt. 𝑓 𝑥−𝑎 ist eine Verschiebung von 𝑓 𝑥 auf der 𝑥-Achse um 𝑎 Einheiten. In Abb. 4 ist 𝑓 𝑥 um 2 Einheiten nach rechts verschoben. Somit stellt Abb. 4 𝑔 dar und es gilt 𝑎=2 (nicht etwa 𝑎=−2). Abb. 2 Abb. 4

Pflichtteil 2012 𝑏⋅𝑓(𝑥) ist eine Streckung oder Stauchung von 𝑓 𝑥 um den Faktor 𝑏. Abb. 1 verschiebt 𝑓 𝑥 lediglich in 𝑦-Richtung, folglich kann 𝑏⋅𝑓 𝑥 nur noch durch Abb. 3 dargestellt werden. Dabei wird 𝑓 1 =−4 zu ℎ 1 =2. Wegen ℎ 1 =𝑏⋅𝑓(1) also 2=𝑏⋅ −4 folgt 𝑏=− 1 2 . Abb. 1 verschiebt 𝑓 𝑥 um 3 Einheiten nach oben, also gilt 𝑘 𝑥 =𝑓 𝑥 +3= 𝑥 3 −3𝑥+1. Abb. 3 Abb. 1

Pflichtteil 2012 Aufgabe 6: Gegeben sind die Ebenen 𝐸: 𝑥 − 1 2 1 ∙ 4 −1 2 =0 und 𝐹: 𝑥 2 +2 𝑥 3 =8. Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden. (3 VP) Lösung: Wandle 𝐸 in die Koordinatenform:   𝑥 − 1 2 1 ∙ 4 −1 2 =0⇔ 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 − 1 2 1 ∙ 4 −1 2 =0⇔ 𝑥 1 −1 𝑥 2 −2 𝑥 3 −1 ∙ 4 −1 2 =0  ⇒ 4 𝑥 1 −1 − 𝑥 2 −2 +2 𝑥 3 −1 =0 ⇒4 x 1 − x 2 +2 𝑥 3 =4.

Pflichtteil 2012 Nun haben wir das folgende lineare Gleichungssystem: I. 4 x 1 − x 2 +2 𝑥 3 =4 Gleichung für 𝐸 II. 𝑥 2 +2 𝑥 3 =8 Gleichung für 𝐹 Wähle z.B. 𝑥 3 =𝑡, wobei 𝑡∈ℝ. Damit lösen wir II. nach 𝑥 2 auf: 𝑥 2 =8−2𝑡. In I. eingesetzt folgt 4 𝑥 1 − 8−2𝑡 +2𝑡=4 ⇒ 4 𝑥 1 =12−4𝑡 also 𝑥 1 = 3−𝑡. Damit lässt sich die Schnittgeraden gewinnen. 𝑥 = 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 = 3−𝑡 8−2𝑡 𝑡 = 3 8 0 +𝑡 −1 −2 1 ; 𝑡∈ℝ

Pflichtteil 2012 Aufgabe 7: Gegeben sind der Punkt 𝐴 1 1 3 und die Ebene 𝐸: 𝑥 1 − 𝑥 3 −4=0. Welche besondere Lage hat 𝐸 im Koordinatensystem? Der Punkt 𝐴 wird an der Ebene 𝐸 gespiegelt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes. (4 VP) Lösung: Besondere Lage von E In der Koordinatengleichung fehlt 𝑥 2 . Dies bedeutet, dass 𝐸 parallel zur 𝑥 2 - Achse verläuft.

Pflichtteil 2012 Bestimmung des Spiegelungspunktes 𝑨‘ Bilden eine Hilfsgerade ℎ, senkrecht zu 𝐸, so dass 𝐴 auf ℎ liegt. Damit bestimmen wir den Schnittpunkt von ℎ mit 𝐸 und später den Spiegelungspunkt 𝐴′. Dann ist 𝑛 = 1 0 −1 der Richtungsvektor und 𝑎 = 1 1 3 der Stützvektor ⇒ ℎ: 𝑥 = 1 1 3 +𝑡 1 0 −1 ; 𝑡∈ℝ. Koordinatengleichungen: 𝑥 1 =1+𝑡, 𝑥 2 =1, 𝑥 3 =3−𝑡. Einsetzen in 𝐸: 1+𝑡 −3 3−𝑡 −4=0. Auflösen nach 𝑡 liefert 𝑡=3. h

Pflichtteil 2012 Einsetzen in ℎ ergibt den Schnittpunkt 𝑆 von ℎ mit 𝐸: 𝑠 = 1 1 3 +3 1 0 −1 = 4 1 0 . Mit 𝐴𝐴′ =2⋅ 𝐴𝑆 ⇒ 𝑎′ − 𝑎 =2( 𝑠 − 𝑎 ) ⇒ 𝑎′ =2 𝑠 − 𝑎 =2 4 1 0 − 1 1 3 = 7 1 −3 . Ergebnis: Der Spiegelungspunkt 𝐴‘ ist gegeben mit 𝐴‘ 7 1 −3 . h

Pflichtteil 2012 Aufgabe 8: Gegeben sind eine Ebene E und eine Gerade 𝑔, die in 𝐸 liegt. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung der Geraden ℎ ermitteln kann, die orthogonal zu 𝑔 ist und ebenfalls in 𝐸 liegt. (3 VP) Lösung: Wähle einen beliebigen Punkt 𝑆 auf 𝐸, der aber nicht auf 𝑔 liegt. Konstruiere eine Hilfsebene 𝐻, orthogonal zu 𝑔, so dass 𝑆 in 𝐻 liegt. Als Stützvektor verwende 𝑠 und als Normalenvektor verwende den Richtungsvektor 𝑢 der Geraden 𝑔. Aus dem Schnitt der beiden Ebenen 𝐸 und 𝐻 ergibt sich die gesuchte Schnittgerade ℎ, die senkrecht zu 𝑔 ist und in 𝐸 liegt. 𝑔 ℎ S 𝐸 𝐻