Eindimensionale Bewegungen
Die Methode der kleinen Schritte Rückblick: Aus dem Energieansatz (W = Ekin) und Newton II (F = ma) konnten wir die Bewegungsgleichungen für Bewegungen mit konstanter Beschleunigung herleiten. Was ist wenn a ≠ konstant?
Beispiel Fallschirmspringen: Außer der Gewichtskraft (nach unten) wirkt auch der Luftwiderstand (nach oben). Dieser ist umso größer, je größer die Geschwindigkeit ist, und bremst die Bewegung. Die insgesamt wirkende beschleunigende Kraft ist also FB = G – FLuft und nicht konstant. Wegen FB = ma ist auch die Beschleunigung nicht konstant.
Wenn man die wirkende Kraft kennt, kann man ein rechnerisches Näherungsverfahren anwenden ( Computer!), mit dem man den Bewegungsablauf ohne Bewegungsgleichungen berechnen kann (numerisches Verfahren!). Eines dieser Verfahren heißt „Methode der kleinsten Schritte“.
Beispiel: Freier Fall Die gesamte Bewegung wird gedanklich in kleine Zeitintervalle Δt unterteilt (z.B. Δt = 0,10 s). Innerhalb eines solchen Zeitintervalls betrachtet man die Geschwindigkeit als konstant. (Das ist die Näherung!!)
(2) Beim Übergang zu einem neuen Zeitintervall ändert sich die Geschwindigkeit um den Wert Δv. Es gilt also: vneu = valt + Δv. Aus a = Δv/ Δt folgt Δv = a · Δt, damit ergibt sich: vneu = valt + a · Δt
(3) Für die nach dem Zeitintervall Δt zurückgelegte Strecke y gilt: yneu = yalt + Δy = yalt + vneu · Δt
(4) Insgesamt gilt daher beim Übergang zum nächsten Zeitintervall: tneu = talt + Δt aneu = aalt = – g = – 9,81m/s2 (Hier steckt der spezielle Fall drin!!) vneu = valt + a · Δt und yneu = yalt + vneu · Δt Aus diesem Schema berechnet man die Position des fallenden Körpers am Ende jedes Zeitintervalls Δt
Beispiel in Excel: Aufgabe: fertige eine Excel- Berechnung zur Atwood- Maschine an! Zusatz: Buch S. 68+69: Fallbewegung mit Luftwiderstand