Institut für Schallforschung der Österreichischen Akademie der Wissenschaften: A-1010 Wien; Reichsratsrasse 17. Tel / ; Fax +43 1/ ; Double Preconditioning Of The Gabor Frame Operator Peter Balazs (1)(2), Hans G. Feichtinger (2), Mario Hampjes (2), Günther Kracher (2) (1) Acoustics Research Institute, Austrian Academy of Science, Vienna - (2) NuHAG, Mathematics Institute, University Vienna -

Institut für Schallforschung der Österreichischen Akademie der Wissenschaften: A-1010 Wien; Reichsratsrasse 17. Tel / ; Fax +43 1/ ; SUMMARY Introduction to Gabor analysis Algorithms for inverting the frame operator Special Structure of the Gabor frame operator Double Preconditioning Perspectives

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Institut für Schallforschung der Österreichischen Akademie der Wissenschaften: A-1010 Wien; Reichsratsrasse 17. Tel / ; Fax +43 1/ ; INTERPRETATION OF THE STFT Fourier-transform Windowed signal mathematically equivalent Filterbank A channel of the filterbank Gabor projection Shifted atoms

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Institut für Schallforschung der Österreichischen Akademie der Wissenschaften: A-1010 Wien; Reichsratsrasse 17. Tel / ; Fax +43 1/ ; STFT - RECONSTRUCTION Modification of Time Frequency or Time Scale Parameters e.g. Denoising, Masking, Gabor multipliers......

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Institut für Schallforschung der Österreichischen Akademie der Wissenschaften: A-1010 Wien; Reichsratsrasse 17. Tel / ; Fax +43 1/ ; DUAL FRAME Canonical dual Perfect Reconstruction: Canonical

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Institut für Schallforschung der Österreichischen Akademie der Wissenschaften: A-1010 Wien; Reichsratsrasse 17. Tel / ; Fax +43 1/ ; ALGORITHMS FOR THE INVERSE GABOR OPERATOR Frame algorithm: Chebyshev, BICG,..... Conjugate Gradient algorithm:

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Institut für Schallforschung der Österreichischen Akademie der Wissenschaften: A-1010 Wien; Reichsratsrasse 17. Tel / ; Fax +43 1/ ; STROHMER-PILZ ALGORITHM T. Strohmer:

Institut für Schallforschung der Österreichischen Akademie der Wissenschaften: A-1010 Wien; Reichsratsrasse 17. Tel / ; Fax +43 1/ ; BLOCK-MATRICES Circulant block matrix: Matrix with circulant blocks: Diagonal block matrix: Matrix with diagonal blocks: A circulant matrix with b diagonal blocks Gabor type or Walnut matrix H.G. Feichtinger, S. Qiu, T. Tschurtschenthaler:

Institut für Schallforschung der Österreichischen Akademie der Wissenschaften: A-1010 Wien; Reichsratsrasse 17. Tel / ; Fax +43 1/ ; PROPERTIES OF THE WINDOW AND THE LATTICE Frequency sampling dense enough: => diagonal matrix Time sampling dense enough: => circulant matrix Preconditioning: Small outside the interval => diagonal dominant => Jacobi algorithm Perfect inversion:

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Institut für Schallforschung der Österreichischen Akademie der Wissenschaften: A-1010 Wien; Reichsratsrasse 17. Tel / ; Fax +43 1/ ; DOUBLE PRECONDITIONERS Example: g = Gauss, n = 144, a = 6, b = 9

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Institut für Schallforschung der Österreichischen Akademie der Wissenschaften: A-1010 Wien; Reichsratsrasse 17. Tel / ; Fax +43 1/ ; DOUBLE PRECONDITIONERS g = Gauss, n = 144, a= 12, b = 9 Real dual First approximation with double predonditioning

Institut für Schallforschung der Österreichischen Akademie der Wissenschaften: A-1010 Wien; Reichsratsrasse 17. Tel / ; Fax +43 1/ ; DOUBLE PRECONDITIONERS G = Gauss, n = 144

Institut für Schallforschung der Österreichischen Akademie der Wissenschaften: A-1010 Wien; Reichsratsrasse 17. Tel / ; Fax +43 1/ ; DOUBLE PRECONDITIONERS g = Rectangle, n = 144, a= 12, b=9 Real dual: First Approximation:

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Institut für Schallforschung der Österreichischen Akademie der Wissenschaften: A-1010 Wien; Reichsratsrasse 17. Tel / ; Fax +43 1/ ; PERSPECTIVES: Systematics Can it be worse than single preconditioning? In which cases? Decision! Symmetric approach for CG: Tight frame? S -1/2. Projection on other subspaces e.g. T 1 M 1 Multi Gabor frame