Theorie psychometrischer Tests, II U. Mortensen Mainz 2009

Latente Variable und Antwortwahrscheinlichkeiten (Indikatorvariable) Item Characteristic Function Item Response Function Itemfunktion Notation: Lord & Novick (1968)

Monotone Itemfunktionen Spezialfall: deterministisches Antwortverhalten (Guttman-Skalen) probabilistisches Anwortverhalten Je steiler die Itemfunktion, desto größer die Trennschärfe des Items!

Monotone Itemfunktionen Sich schneidende Itemfunktionen: I3 für kleinere Merkmalsausprägungen schwieriger als I2, für größere ist I3 leichter als I2.

Monotone Itemfunktionen Wichtige Merkmale von Itemfunktionen: Je steiler die Itemfunktion, desto besser werden Probanden mit verschiedenen Merkmalsausprägungen relativ zu einer bestimmten Ausprägung M getrennt; die Itemfunktion definiert die Trennschärfe des Items. Steile Itemfunktionen trennen kaum zwischen Probanden mit einer Merkmalsausprägung kleiner als M und größer als M. Flache Itemfunktionen trennen im gesamten Wertebereich des gemessenen Merkmals. Je weiter „rechts“ die Itemfunktion auf der Merkmalsskala ist, desto schwieriger ist das Item.

Monotone Itemfunktionen Modelle für Itemfunktionen: das Ogive- und das logistische Modell 1. Das Ogive-Modell 2.Das logistische Modell: Das Modell ist definiert durch die Verteilungsfunktion der Gauß-bzw. der logistischen Dichte, wird aber als Funktion des Parameters theta aufgefaßt!

Monotone Itemfunktionen Die logistische Funktion als Approximation an die Gauß-Funktion

Monotone Itemfunktionen Interpretation der Parameter: Ogive-Modell Logistisches Modell

Monotone Itemfunktionen Zur Deutung der Itemfunktion: unterliegende Variablen (underlying variables – Bartholomew 1987) Ansatz: das Merkmal/die Fähigkeit fluktuiert zufällig, ist es zum Zeitpunkt der Messung größer als ein kritischer Wert, wird das Item beantwortet bzw. die Aufgabe gelöst. Analog für die logistische Verteilung

Monotone Itemfunktionen Interpretation durch unterliegende Variablen Bei geringer Streuung ist die Trennschärfe groß, bei großer Streuung ist sie klein.

Monotone Itemfunktionen Lokale stochastische Unabhängigkeit Aber: man hat in der Tabelle weibliche und männliche Probanden zusammengefasst!

Monotone Itemfunktionen Auszählung für weibliche und männliche Items getrennt: Die Korrelationen zwischen Ig und Ig‘ sind nun jeweils gleich Null, d.h. für „konstantes Geschlecht“ hat man lokale stochastische Unabhängigkeit!

Monotone Itemfunktionen Lokale stochastische Unabhängigkeit Für Z = z sind X und Y „lokal stochastisch unabhängig“.

Monotone Itemfunktionen Lokale stochastische Unabhängigkeit Definition: Die Beantwortungen der Items eines Tests sind lokal stochastisch unabhängig voneinander, wenn die Verteilungen der Punktwerte für alle Items für alle Personen mit gleicher Merkmalsausprägung stochastisch unabhängig sind.

Klassische Testtheorie Ansatz: Einer Antwort wird ein numerischer Wert X – der Score - zugeordnet. Der Testwert ist die möglicherweise gewogene Summe der Scores für die einzelnen Items Grundannahme:

Klassische Testtheorie Implikationen der Grundannahme: Diese Aussagen werden seit Gulliksen (1950) als „Axiome“ der Klassischen Testtheorie (KTT) bezeichnet. Es sind aber keine Axiome, sondern Folgerungen aus der Grundannahme.

Klassische Testtheorie Reliabilität Reliabilität und ihre Abschätzung: Reliabilität: der Test misst das Merkmal, das er misst, genau. Operationalisierung: Der Test misst genau, wenn die Korrelation zwischen den Messwerten und den wahren Werten hoch ist.

Klassische Testtheorie Reliabilität Intuitive Betrachtung: Gegeben seien zwei Tests mit Messwerten X und X‘, die beide das gleiche Merkmal messen – daraus müßte sich eine Abschätzung der Varianz der tau-Werte ergeben!

Klassische Testtheorie Reliabilität Es gelte: Dann heißen die Tests X und X‘ parallel.

Klassische Testtheorie Reliabilität

Klassische Testtheorie Kongenerische, äquivalente und parallele Tests Die Abschätzung der Reliabilität eines Tests setzt die Konstruktion eines parallelen Tests voraus! Also eines Test mit gleichem Erwartungswert und gleicher Varianz. Dann heißen die Tests kongenerisch.

Klassische Testtheorie Kongenerische, äquivalente und parallele Tests Für irgend zwei Tests Tj und Tk gelte