Relationen zwischen qualitativen Merkmalen Statistik: 3.3.04 Relationen zwischen qualitativen Merkmalen

Beispiel: Unfälle Für 165 Unfälle wurden registriert: P-Schaden Stadt Ort des Unfalls: (innner-/außerhalb) Stadtgebiet Personenschaden: ja/nein P-Schaden Stadt Land Summe ja 17 35 52 nein 65 48 113 82 83 165 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)

Unfälle: Häufigkeitsverteilung 3D-Säulen Gruppiertes Säulendiagramm 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)

Kontingenztafel X Y y1 … ys Summe x1 n11 n1s n1. xr nr1 nrs nr. n.1 Tabellierung von gemeinsamen Häufigkeiten zweier (oder mehrerer) qualitativer Merkmale, Häufigkeitsverteilung Auch Kreuztabellen oder Kreuzklassifikation genannt X Y y1 … ys Summe x1 n11 n1s n1. xr nr1 nrs nr. n.1 n.r n Zelle Randverteilungen 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)

Unfälle: Häufigkeitsverteilungen Randverteilung nach Personenschaden Stadt/Land (bedingte) Verteilung nach Personen- schäden von Unfällen in der Stadt 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)

Rand- und bedingte Verteilungen ni., i =1,…,r: (Rand)Verteilung des (Zeilen-) Merkmals X n.j, j =1,…,s: (Rand)Verteilung des (Spalten-) Merkmals Y „.“ gibt an, dass über alle möglichen Werte des Index summiert wurde ni. = j nij ni|j, i =1,…,r : bedingte Verteilung des (Zeilen-) Merkmals X für Y =yj nj|i, j =1,…,s : bedingte Verteilung des (Spalten-) MerkmalsY für X =xi 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)

Unfälle: Häufigkeitsverteilungen Gemeinsame Verteilung P-Schaden Stadt Land Summe ja 17 35 52 nein 65 48 113 82 83 165 (bedingte) Verteilung nach Personen- schäden von (82!) Unfällen in der Stadt Randverteilung nach Personenschaden Stadt/Land 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)

Relative Häufigkeiten Gemeinsame relative Häufigkeiten z.B.: Anteil der (65) Unfälle ohne Personenschaden in der Stadt an allen (165) Unfällen Bedingte relative Häufigkeiten z.B.: Anteil der (65) Unfälle ohne Personenschaden (in der Stadt) an den (82) Unfällen in der Stadt 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)

Unfälle: Relative Häufigkeiten Randverteilung nach Stadt/Land Personenschaden Gemeinsame Verteilung P-Schaden Stadt Land Summe ja 10.3 21.2 31.5 nein 39.4 29.1 68.5 49.7 50.3 100.0 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)

Unfälle: Bedingte relative Häufigkeiten Bedingte Verteilungen für Unfälle mit ohne Personenschaden P-Schaden Stadt Land Summe ja 32.7 67.3 100.0 nein 57.5 42.5 49.7 50.3 Analog bedingte Verteilungen für Unfälle in Stadt und Land nach Personenschaden 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)

Bedingte Verteilungen Bedingte Verteilung für Unfälle in Stadt und Land nach Personenschaden Gestapeltes Säulendiagramm 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)

Beziehung zwischen Merkmalen Das Wissen über die Ausprägung eines Merkmals hilft, die Ausprägung des anderen Merkmals vorherzusagen Beispiel: Unfall passierte auf Autobahn; Personenschäden sind wahrscheinlicher als wenn der Unfall im Stadtgebiet stattgefunden hätte 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)

Merkmale: Unabhängigkeit Zwei Merkmale X und Y werden als unabhängig bezeichnet, wenn die bedingten Verteilungen pi|j, i =1, …, r, für alle (j =1,… ,s) Merkmalsausprägungen von Y übereinstimmen 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)

Sind Ort und Personenschäden bei Unfällen unabhängig? Was sagen uns: bedingte Verteilungen für Unfälle mit und ohne Personenschäden bedingte Verteilungen für Unfälle in Stadt und Land nach Personenschaden P-Schaden Stadt Land Summe ja 32.7 67.3 100.0 nein 57.5 42.5 49.7 50.3 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)

Erwartete Häufigkeiten Sind X und Y unabhängige Merkmale, so erwarten wir die Häufigkeiten Die erwarteten Häufigkeiten sind durch die Randverteilungen bestimmt 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)

Unfälle: Erwartete Häufigkeiten Beobachtet: P-Schaden Stadt Land Summe ja 17 35 52 nein 65 48 113 82 83 165 Bei Unabhängig- keit erwartet: P-Schaden Stadt Land Summe ja 25,8 26,2 52 nein 56,2 56,8 113 82 83 165 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)

Chiquadrat-Statistik Assoziationsmaß, d.h. Maß für Abhängigkeit zwischen Merkmalen Bei Unabhängigkeit der Merkmale: T = 0 Bei Abhängigkeit: T ist wesentlich größer als 0 Bei Unabhängigkeit folgt die Chiquadrat-Statistik der Chiquadrat-Verteilung 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)

Unfälle Chiquadrat-Statistik: T = 8.78 p-Wert (Wahrscheinlichkeit, dass T ≥ 8.78, wenn Unabhängigkeit der Merkmale zutrifft): 0.003 Unabhängigkeit der Merkmale ist unplausibel 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)

(r x s) - Kontingenztafel Verallgemeinerung der 2x2-Tafel Chiquadrat-Statistik: Bei Unabhängigkeit folgt die Chiquadrat-Statistik der Chiquadrat-Verteilung mit (r-1)(s-1) Freiheitsgraden 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)

Homogenität Das Merkmal Y charakterisiert die Population Homogenität: die bedingten Verteilungen pi|j, i =1, …, r sind für alle j Populationen gleich Zum Überprüfen der Homogenität: Chiquadrat-Statistik 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)

Kontingentzkoeffizienten Von der Chiquadrat -Statistik abgeleitete Assoziationsmaße: Pearson´scher Kontingenzkoeffizient Cramér´scher Kontingenzkoeffizient bei Unabhängigkeit: P = 0, C = 0 Maximalwert: P < 1, C ≤ 0 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)

Unfälle Für die Kontingenzkoeffizienten erhalten wir 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)

Beispiel: Nochmals Unfälle Für 165 Unfälle wurden registriert: Ort des Unfalls: Ortsgebiet, Landstraße, Autobahn Personenschaden: ja/nein P-Schaden Orts-Geb. Land-Staße A-Bahn Summe ja 17 23 12 52 nein 65 44 4 113 82 67 16 165 2x3 Kontingenztafel 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)

Beispiel, Forts. Chiquadrat-Statistik: T = 18.68 Bei Unabhängigkeit folgt T der Chiquadrat-Verteilung mit (r-1)(s-1) = 2 Freiheitsgraden Der p-Wert beträgt 0.000088 ! Pearson´scher Kontingenzkoeffizient: P = 0.319 Cramér'scher Kontingenzkoeffizient: C = 0.336 3.3.04 PI Statistik, SS 2004 (4)