Zahlenfolgen 1. Beschreibung von Zahlenfolgen 2. Arithmetische Zahlenfolge 3. Geometrische Zahlenfolge 4. Unendlich geometrische Zahlenfolge 5. Spezielle Zahlenfolgen

4 , 7 , 10 , 13 , 16 , ? 1. Beschreibung von Zahlenfolgen Bsp. 1: +3 +3 +3 +3 +3 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , ? 1. Glied: a1 2. Glied: a2 3. Glied: a3 4. Glied: a4 5. Glied: a5 +3 Gesetzmässigkeit: Mathematische Beschreibung der Zahlenfolge: (1) a2 = a1 + 3 , a3 = a2 + 3 , a4 = a3 + 3 a1 = 4 ; an = an-1 + 3 Rekursive Beschreibung der Zahlenfolge (2) a2 = 4 + 1·3 , a3 = 4 + 2·3 , a4 = 4 + 3·3 an = 4 + (n-1)·3 = 3n + 1 Explizite (oder direkte) Beschreibung der Zahlenfolge

5 , 10 , 20 , 40 , 80 , . . . Bsp. 2: Gesetzmässigkeit: ·2 ·2 ·2 ·2 ·2 5 , 10 , 20 , 40 , 80 , . . . · 2 Gesetzmässigkeit: Rekursive Beschreibung: (1) a2 = a1 · 2 , a3 = a2 · 2 , a4 = a3 · 2 a1 = 5 ; an = an-1 · 2 Explizite Beschreibung: (2) a2 = 5 · 21 , a3 = 5 · 22 , a4 = 5 · 23 an = 5 · 2n-1 = 5 · 2n-1

2 , 3 , 5 , 8 , 12 , ? Bsp. 3: Gesetzmässigkeit: +1 +2 +3 +4 +5 + ? 2 , 3 , 5 , 8 , 12 , ? + ? Gesetzmässigkeit: Rekursive Beschreibung: a2 = a1 + 1 , a3 = a2 + 2 , a4 = a3 + 3 a1 = 2 ; an = an-1 + (n-1) Explizite Beschreibung: a2 = 2 + 1 , a3 = 2 + 1 + 2 = 2 + 3 , a4 = 2 + 1 + 2 + 3 = 2 + 6 , a5 = 2 + 10 an = 2 + 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) an = 2 + n·(n-1)/2

2. Arithmetische Zahlenfolge +4 +4 +4 +4 Bsp: 5 , 9 , 13 , 17 , 21 , . . . Gesetzmässigkeit: Differenz aufeinanderfolgender Folgeglieder ist konstant (d = 4) Beschreibung der Zahlenfolge: rekursiv: a2 = a1 + 4 , a3 = a2 + 4 , a4 = a3 + 4 a1 = 5 ; an = an-1 + 4 explizit: a2 = 5 + 1·4 , a3 = 5 + 2·4 , a4 = 5 + 3·4 an = 5 + (n-1)·4 = 4n + 1 Teilsumme s10 s10 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10 s10 = 5 + (5 + 1·4) + (5 + 2·4) + (5 + 3·4) + ... + (5 + 9·4) 10·9 2 s10 = 10·5 + 4(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 10·5 + 4· = 230 sn = n·5 + 4 · n(n-1) 2 Teilsumme sn: = 2n2 + 3n

Grafische Darstellung der Folge 5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , 29 , . . . an 7 6 5 4 3 2 1 Alle Zahlpunkte liegen auf einer Geraden: Lineare Anordnung n Allgemeine Beschreibung einer arithmetischen Zahlenfolge: rekursiv: a1 , an = an-1 + d explizit: an = a1 + (n-1)·d Teilsumme: sn = a1 + a2 + . . . + an = a1 + a1 + d + a1 + 2d + . . . + a1 + (n-1)d = a1 + a1 + d + a1 + 2d + . . . + a1 + (n-1)d = n·a1 + d(1 + 2 + . . . (n-1)) sn = n·a1 + n(n-1)/2·d = n/2(a1 + an)

3. Geometrische Zahlenfolge ·2 ·2 ·2 ·2 Bsp: 5 , 10 , 20 , 40 , 80 , . . . Gesetzmässigkeit: Quotient q aufeinanderfolgender Folgeglieder ist konstant (q = 2) Beschreibung der Zahlenfolge: rekursiv: a2 = a1 · 2 , a3 = a2 · 2 , a4 = a3 · 2 a1 = 5 ; an = an-1 · 2 explizit: a2 = 5 · 21, a3 = 5 · 22 , a4 = 5 · 23 an = 5 · 2n-1 Teilsumme s10: s10 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10 s10 = 5 + 5 · 21 + 5 · 22 + 5 · 23 + ... + 5 · 29 · 2 2·s10 = 5 · 21 + 5 · 22 + 5 · 23 + ... + 5 · 29 + 5 · 210 2·s10 - s10 = 5 · 210 - 5 s10 (2 - 1) = 5(210 - 1) s10 = 5(210 - 1) = 5115 Teilsumme sn: sn = 5(2n - 1)

Grafische Darstellung der Folge 5 , 10 , 20 , 40 , 80 , 160 , . . . an 20 1 7 6 5 4 3 2 Alle Punkte liegen auf einer Exponentialkurve n Allgemeine Beschreibung einer geometrischen Zahlenfolge: rekursiv: a1 , an = an-1 · q explizit: an = a1 · qn-1 Teilsumme: sn = a1 + a2 + . . . + an = a1 + a1·q + a1·q2 + . . . + a1·qn-1 = q·sn - sn = a1 - a1·qn sn (q – 1) = a1 (1 – qn) sn = a1(1 – qn) / (q – 1) = a1(qn – 1) / (1 – q)

4. Unendlich geometrische Zahlenfolge Bsp: Fortgesetzte Halbierung einer Strecke der Länge 1 1/2 1/4 1/8 1/16 . . . Die Längen der einzelnen Streckenstücke bilden eine ‚unendliche‘ geometrische Zahlenfolge mit q = ½ , deren Summe sich beliebig nahe der Streckenlänge 1 annähert, d.h. deren Grenzwert die Zahl 1 ist: s = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + . . . → 1 Mathematische Schreibweise(n): sn = 1/2 + 1/4 + ... + 1/2n Allgemeine Formel für die (unendliche) Summe s einer geometrischen Zahlenfolge mit |q| < 1: s = a1 + a1q + a1q2 + a1q3 . . . s·q = a1q + a1q2 + a1q3 + a1q4 + . . . s - sq = s(1 - q) = a1 ⇒ s = a1/(1 – q) Bsp: a1 = ½ ; q = ½ ; s = = 1

5. Spezielle Zahlenfolgen