Diskrete Mathematik II Vorlesung 6 18.05.00 Segmentschnitt III

Reduktion von 2-dim auf 1-dim Überlappung der horizontalen Projektionen ist notwendig, aber nicht hinreichend für einen Schnitt Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Scan-Line-Verfahren F B C D A E S2 S3 S4 S1 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Gegenbeispiel zu viele Elemente gleichzeitig aktiv  O(n2) Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Nachbarschaft A B e-Umgebung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Ordnungsrelation „x <‘‘ B A C x‘ Ax < B Ax < C Cx < B Cx‘ < A Ax‘ < B Cx‘ < B Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Scan-Line & dynamische Ordnung B F C D E S1 S3 S2 S4 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Scan-Line & dynamische Ordnung B F C D E S1 S3 S2 S4 A Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Scan-Line & dynamische Ordnung B F C D E S1 S3 S2 S4 A E Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Scan-Line & dynamische Ordnung F B S2 S3 C S4 D A S1 E B E A Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Scan-Line & dynamische Ordnung B F C D E S1 S3 S2 S4 B D A E Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Scan-Line & dynamische Ordnung B F C D E S1 S3 S2 S4 B C A D E Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Scan-Line & dynamische Ordnung B F C D E S1 S3 S2 S4 B D C E Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Scan-Line & dynamische Ordnung F B S2 S3 C S4 D A S1 E B E C D Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Scan-Line & dynamische Ordnung B F C D E S1 S3 S2 S4 F C B E D Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Scan-Line & dynamische Ordnung B F C D E S1 S3 S2 S4 B C F E D Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Scan-Line & dynamische Ordnung B F C D E S1 S3 S2 S4 B C F E Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Scan-Line & dynamische Ordnung B F C D E S1 S3 S2 S4 C E F Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Scan-Line & dynamische Ordnung B F C D E S1 S3 S2 S4 C F E Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Scan-Line & dynamische Ordnung B F C D E S1 S3 S2 S4 C Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Scan-Line & dynamische Ordnung B F C D E S1 S3 S2 S4 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Zusatzfrage: Wann wird der Schnittpunkt S1 erkannt? B A S1 Übung: Wird ein Schnittpunkt ggf. mehr als einmal erkannt? Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Vereinfachende Annahmen 2 Segmente schneiden sich höchstens in einem Punkt in keinem Punkt schneiden sich mehr als 2 Segmente die x-Koordinaten aller Segmente sind paarweise verschieden kein Segment ist vertikal Gegenbeispiele Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Algorithmus Scan-Line Input: S: eine Menge von Segmenten Output: die Schnittpunkte der Elemente von S Sei T = Endpunkte der Segmente von S nach x-Koordinaten sortiert (Haltepunkte) L =  // aktive Segmente von S while T   do bestimme und entferne den nächsten Punkt pT x ist x-Koordinate von p case: p ist linker Endpunkt von s fuege_ein(s,x,L) sl = vorgaenger(s,x,L) sr = nachfolger(s,x,L) schnitt(sl,s,T); schnitt(s,sr,T); p ist rechter Endpunkt von s sl = vorgaenger(s,x,L) sr = nachfolger(s,x,L) entferne(s,x,L) schnitt(sl,sr,T) p ist Schnittpunkt von s und t vertausche(s,t,L,x) // t < s sl = vorgaenger(t,x,L) sr = nachfolger(s,x,L) schnitt(sl,t,T) schnitt(s,sr,T) Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Algorithmus (II) fuege_ein(s,x,L): fügt das Segment s in die Menge L ein entsprechend der Ordnung an der Stelle x entferne(s,x,L): entfernt das Segment s aus L an der Stelle x nachfolger(s,x,L): liefert den Nachfolger von s in L an der Stelle x, falls vorhanden vorgaenger(s,x,L): liefert den Vorgänger von s in L an der Stelle x, falls vorhanden schnitt(s,t,T): prüft s und t auf Schnitt. Berechnet ggf. den Schnitt-punkt p und fügt ihn als neuen Haltepunkt in T ein. offene Probleme: eine geeignete Datenstruktur für T eine geeignete Datenstruktur für L Prüfung auf Schnitt, Berechnung des Schnittpunkts Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Datenstrukturen für T und S Datenstrukur für T AVL-Baum letztes Semester was ist ein AVL-Baum erstens ein Suchbaum zweitens ausgeglichen Datenstruktur für L AVL-Baum? Problem: „Vorgänger“ und „Nachfolger“ finden das wird vom AVL-Baum nicht unterstützt also: Variante des AVL-Baums alle Informationen sind in Blättern (nicht in inneren Knoten) die Blätter bilden eine doppelt verkettete Liste Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

Eine Variante des AVL-Baums mit einer doppelt verketteten Liste der Blätter für die Menge der aktiven Elemente Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00

für die Haltepunkte ... ...mit den Operationen Einfügen eines gefundenen Schnittpunktes Finden und Entfernen des nächsten (also minimalen) Elements ... ... genügt ein „normaler“ AVL-Baum obwohl man mit Kanonen auf Spatzen schießt besser: ein Heap (wie bei Dijkstra) Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 6 - 18.05.00 28