Kapitel 3: TAYLOR-REIHEN von Patricia, Anita, Lisa, Curdin & Mario 5Gm

TAYLOR-REIHEN: Übersicht -1- SEITEN: Einführung zu den Taylor-Reihen am einem Beispiel Potenzreihenentwicklung zweier Funktionen: Mac Laurinsche Reihe Entwicklung zur Definition & Anmerkungen Beispiel 1 Beispiel 2 Beispiel 3 Taylorsche Reihe Definition & Anmerkungen Beispiel Tabelle wichtiger Potenzreihenentwicklungen Beispiel übers ganze Kapitel 3 - 2 - 7 3, 4 & 5 6 7 8 9 - 11 9 & 10 11 12 - 14 -

TAYLOR-REIHEN: Einführung -2- Einleitung: erklären wie man eine Funktion in eine Potenzreihe „entwickelt“ durch Reihenentwicklung eine Nährungsfunktion Potenzreihenentwicklung: ein brauchbares Hilfsmittel Anwendung bei folgenden Problemen: Annäherung von f(x) durch Polynomfunktion Berechnung von Funktionswerten Herleitung von Nährungsformeln Integration einer Funktion

TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -3- Mac Laurinsche Reihe: Annahmen: 1. Die Entwicklung der Funktion f(x) vom folgenden Typ ist grundsätzlich möglich und eindeutig. 2. f(x) ist in der Umgebung von x=0 beliebig oft differenzier- bar und die Ableitungswerte f(0), f`(0), f``(0),... können berechnet werden. Zu zeigen ist, dass unter diesen Voraussetzungen die Koeffizienten a1, a2, a3,... eindeutig durch die Funktions- und Ableitungswerte f(0), f`(0), f``(0),... bestimmt sind.

TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -4- Mac Laurinsche Reihe: 1. Berechnung der ersten Ableitungen An der Stelle x=0 gilt dann: 2. Ausklammern der Koeffizienten 3. Allgemeiner Bildungssatz Dadurch sind die Koeffizienten von f(x) an der Stelle x=0 eindeutig bestimmt. Unter den ganannten Voraussetzungen ergibt sich die Formel:

TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -5- Mac Laurinsche Reihe: Anmerkungen: 1. Die Funktion muss um die Entwicklungsstelle x=0 belibig oft differenzierbar sein. 2. Potenzreihenentwicklung um den Nullpunkt 3. Innerhalb des Konvergenzradius wird eine Funktion durch die Mac Laurinsche Reihe dargestellt. 4. - Symetrieeigenschaften ablesbar - Reihenentwicklung gerader Funktion, daraus folgt: gerade Potenzen - Reihenentwicklung ungerader Funktion, daraus folgt: ungerade Potenzen

TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -6- Mac Laurinsche Reihe: Beispiele Beispiel 1.a: Mac Laurinsche Reihe von f(x)=ex Beispiel 1.b: Mac Laurinsche Reihe von f(x)=e-x

TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -7- Mac Laurinsche Reihe: Beispiele Beispiel 2: Mac Laurinsche Reihe von f(x)=sin(x) und f(x)=cosx Entwicklung der Sinusfunktion f(x)=sinx in eine Mac Laurinsche Reihe:

TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -8- Mac Laurinsche Reihe: Beispiele Beispiel 3: Mac Laurinsche Reihe von ex/(1-x)

TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -9- Taylorsche Reihe: - Die Mac Laurinsche Reihe ist ein Sonderfall der taylorschen Reihe. Funktion an beliebiger Stelle x0 entwickeln, wenn die gleichen Vorraussetzungen wie bei der Mac Laurinschen Reihe gegeben sind. Die Taylorsche Reihe ist somit von folgender Form:

TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -10- Taylorsche Reihe: Anmerkungen: 1. Die Taylorsche Reihe geht in die Mac Laurinsche Reihe über für den Nullpunkt. 2. Sie konvergiert für jedes x aus |x-x0|< r

TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -11- Taylorsche Reihe: Beispiele Beispiel: Die Entwicklung der logarythmischen Funktion f(x)=lnx Zusammengefasste Schreibweise:

TAYLOR-REIHEN: Tabelle wichtiger Potenzreihenentwicklungen -12-

TAYLOR-REIHEN: Tabelle wichtiger Potenzreihenentwicklungen -13-

TAYLOR-REIHEN: Tabelle wichtiger Potenzreihenentwicklungen -14-

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