Kompetenzen hinsichtlich der Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien Vortrag im Rahmen der 48. Jahrestagung der Gesellschaft der Didaktik der Mathematik Universität Koblenz-Landau, 14. März 2014

Hintergrund Mathematik-Vorkurse im Sommer (2013) an der Fachhochschule Technikum Wien (http://www.technikum-wien.at/) Zu den Vorgaben der FH zählt das Thema Fallunterscheidungen, angewandt auf Bruch(un)gleichungen und Betragsgleichungen. Besondere Schwierigkeiten der Studierenden!  Empirische Untersuchungen mit Studierenden der Universität Wien (Sommer 2013, WS 2013/24 + anschließende Untersuchung im WS 2013/14).

1. Untersuchung (Sommer 2013, WS 2013/14) 5 Minuten Zeit

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Punkteschema Beschreibung keine adäquate Fallunterscheidung angesetzt 1 adäquate Fallunterscheidung angesetzt, maximal 1 Fall ausgeführt, Fallbedingung nicht berücksichtigt 2 adäquate Fallunterscheidung angesetzt, alle Fälle ausgeführt, Fallbedingungen nicht berücksichtigt 3 adäquate Fallunterscheidung angesetzt, 1 Fall ausgeführt, Fallbedingung berücksichtigt 4 adäquate Fallunterscheidung angesetzt, alle Fälle ausgeführt, Fallbedingungen berücksichtigt, Fälle nicht (korrekt) zu einer Gesamtlösung kombiniert . 5 Fallunterscheidungen richtig durchgeführt und (korrekt) zur Gesamtlösung kombiniert Allfällige Rechenfehler bleiben, soweit eine Diagnose nach diesem Schema möglich ist, unberücksichtigt.

1. Untersuchung: Studierendengruppen 73 TeilnehmerInnen am Vorkurs Physik/Mathematik-Teil der Fakultät für Physik im Sommer 2013, Physik-Studierende vor dem ersten Semester [9.9.2013]. 25 TeilnehmerInnen am Seminar zur Unterrichtsplanung im Rahmen des Mathematik-Lehramtsstudiums, Studierende typischerweise im 5. – 9. Semester [2.10.2013].

1. Untersuchung: Ergebnisse

1. Untersuchung: Ergebnisse

1. Untersuchung: Resümee Physik-Studierende vor dem ersten Semester: 1.4% lösten die Aufgabe korrekt und vollständig (5 Punkte) 89% erzielten 0 Punkte  fast keine Erinnerungen an Fallunterscheidungen im Mathematikunterricht Mathematik-Lehramts-Studierende: 12% lösten die Aufgabe korrekt und vollständig (5 Punkte) 44% erzielten 2 Punkte („ adäquate Fallunterscheidung angesetzt, alle Fälle ausgeführt, Fallbedingungen nicht berücksichtigt“) 20% erzielten 0 Punkte  Schwierigkeit Fallbedingungen?

2. Untersuchung (WS 2013/14) Nachfolgeuntersuchung im Jänner 2014: Krimi mit Fallunterscheidungen („Alltagssituation“) Zum Vergleich: Bruchungleichung mit Fallunterscheidungen jeweils für die Hälfte der Studierenden. Die Struktur der Argumentation war vorgegeben, es waren nur einige Kästchen auszufüllen. 10 Minuten Zeit

2. Untersuchung: Krimi

2. Untersuchung: Krimi

2. Untersuchung: Krimi

2. Untersuchung: Krimi

2. Untersuchung: Krimi – Lösung

2. Untersuchung: Krimi – Lösung

2. Untersuchung: Bruchungleichung

2. Untersuchung: Bruchungleichung

2. Untersuchung: Bruchungleichung

2. Untersuchung: Bruchungleichung – Lösung

2. Untersuchung: Bruchungleichung – Lösung

2. Untersuchung: Punkteschema Beschreibung keine Fallbedingung erkennbar berücksichtigt 1 1 Fallbedingung erkennbar berücksichtigt 2 2 Fallbedingungen erkennbar berücksichtigt

2. Untersuchung: Studierendengruppen 23 TeilnehmerInnen an der Vorlesung Mathematische Grundlagen für das Physikstudium 2 im Rahmen des Physik-Lehrsmtsstudiums, Physik-Lehramts-Studierende, die nicht Mathematik-Lehramt studieren, im ersten Semester [13.2.2014]. 20 TeilnehmerInnen am Seminar zur Unterrichtsplanung im Rahmen des Mathematik-Lehramtsstudiums, Studierende typischerweise im 5. – 9. Semester [22.1.2014].

2. Untersuchung: Ergebnisse Mathematische Grundlagen für das Physikstudium 2

2. Untersuchung: Ergebnisse Mathematische Grundlagen für das Physikstudium 2 Krimi: schlechtere Ergebnisse!

2. Untersuchung: Ergebnisse Seminar zur Unterrichtsplanung

2. Untersuchung: Ergebnisse Seminar zur Unterrichtsplanung Krimi: schlechtere Ergebnisse!

Mögliche Gründe Hauptproblem ist die nichttriviale Logik der Anwendung von Fallunterscheidungen für Bruchungleichungen (wohl auch für Betrags(un)gleichungen): Im Alltagsleben gibt es kaum Situationen, in denen die Gefahr besteht, die Fallbedingung zu vergessen! Die Krimi-Aufgabenstellung wurde als unnatürlich empfunden! Fallunterscheidungen spielen im Mathematikunterricht eine untergeordnete Rolle. Aus dem österreichischen AHS-Oberstufen-Lehrplan: „Arbeiten mit einfachen Ungleichungen (Abschätzungen, Umformungen, Fallunterscheidungen) “. Fallunterscheidungen werden als Spezialmethoden für Bruchungleichungen und Betrags(un)gleichungen betrachtet, nicht als Beispiele mathematischer Argumentation.

Abhilfe? Fallunterscheidungen verstärkt in den Mathematikunterricht integrieren, aber nicht beschränkt auf Bruch(un)gleichungen und Betragsgleichungen! Beispiele: Zahl der Lösungen einer quadratische Gleichung über den reellen Zahlen (Fallunterscheidung nach dem Vorzeichen der Diskriminante) Aussagen über Teilbarkeit, z.B. Bei der Division einer Quadratzahl durch 3 ergibt sich als Rest 0 oder 1, jedoch niemals 2. (n = k2, Fallunterscheidung nach dem Rest bei Division k:3) Für jede natürliche Zahl n ist 3n2 + n gerade. (Fallunterscheidung nach geradem/ungeradem n) …

Danke für Ihre Aufmerksamkeit! Diese Präsentation finden sie am Web unter http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/MatheDidaktik/GDM2014/