Teaching quadratics new ideas and concepts Wir werden zu Dritt in den nächsten 1 ½ Stunden eine Unterrichtssequenz über quadratische Funktionen und Gleichungen vorstellen. Wir, das sind: Robert Märki, Autor eines CAS-gerechten Lehrmittels über Differential- und Integralrechnung, Benno Frei, Autor von vielen Good Practice Materialien und ich, vielleicht bekannt als Autor und Herausgeber von „The Case for CAS“. Ein Kollege sagte mir kürzlich: Mit quadratischen Gleichungen und Funktionen kannst Du Dir keine Lorbeeren verdienen. Dies ist auch nicht das Ziel von uns Dreien. Vielmehr wollten wir an Hand von einem sogenannt einfachen Thema aufzeigen, wie man dieses Thema CAS-gerecht vermitteln kann. Bisher wurden vor allem nette Einzelbeispiele produziert (insbesondere für TI-nspire). Um die weniger innovativen oder sogar ablehnenden Lehrkräfte zu erreichen, sollten wir einen Schritt weitergehen. Es ist eine grosse Herausforde- rung der jetzigen Generation von Pädagogen, CAS-Rechner sinnvoll in den Unterricht zu integrieren und Lehrmittel dafür zu entwickeln, welche den Mehrwert von CAS-Rechnern aufzeigen (dieser ist durch Studien genügend belegt). Dies ist nicht einfach und ein langer zyklischer didaktischer Prozess. Aber jeder Prozess beginnt mit einem ersten Schritt und nicht mit einem Gejammer über den weiten Weg. Sharing Inspiration, Berlin - May 16-18, 2008 Benno Frei – René Hugelshofer – Robert Märki

Loss of calculation skills Back to the roots Loss of calculation skills Sie kennen ja alle die Ausrufe verzweifelter Pädagogen, welche das Rad der Zeit am liebsten zurückdrehen möchten. Z.B. „Zurück zu den Wurzeln“ (Welche Wurzeln da wohl gemeint sind? Etwa das Ziehen von Wurzeln von Hand?) oder „Die Schülerinnen und Schüler haben keine Fertigkeiten mehr im Handrechnen“.(z.B. Multiplikation von grossen Zahlen?). Wer hat diese Fertigkeiten in der Schule noch gelernt? Auch ich habe es noch gelernt. Das lässt uns nicht jünger erscheinen. Aber es macht mich gar nicht stolz. Vielmehr bedaure ich die Zeit, die man damit verloren hat und für Gescheiteres hätte nutzen können. Allerdings hatte man auch noch sehr primitive Werkzeuge wie Rechenschieber und Logarithmentafel. Veränderung der Gesellschaft und neue Werkzeuge bedingen eine neue Didaktik und den Mut, sich von Altem, Liebgewonnenen zu trennen (nicht von Allem, wohlverstanden) Wir Drei haben versucht einen ersten Wurf einer CAS-gerechten Unterrichtssequenz zu schaffen und hoffen, Ihnen mit dieser Präsentation einige Anregungen geben zu können. Im ersten Teil werde ich einen Überblick über die Theorie präsentieren und meine Kollegen werden danach ein paar konkrete Beispiele vorstellen.

1st Ch: Transformation of Parabolas CAS-Software zieht unweigerlich eine Individualisierung des Unterrichts nach sich. Wir haben im ersten Kapitel die elektronischen Arbeitsblätter von TI-nspire eingesetzt um die Transformationen von Parabeln zu erforschen. Hier ein paar Bildschirmausschnitte des elektronischen Files (rechts die Lösungen). Zunächst werden die Transformationen von Schülerinnen und Schülern individuell erforscht (Translation und Affinität in Richtung der Achsen) Auch Tabellenkalkulation kann hier benutzt werden um die optische Täuschung bei der Translation in y-Richtung zu klären. Natürlich darf das Skizzieren von Hand nicht vernachlässigt werden (Aufgabe 5). Im letzten Beispiel wird eine beliebige Funktion f1(x) definiert und die Transformationen direkt auf diese Funktion angewandt. Damit kann die Funktion ausgewechselt werden und die Transformation wird als allgemeingültige Abbildung –unabhängig von der Funktion – erkannt. Parameter spielen bei CAS eine wichtige Rolle. Sie führen in der Algebra zu einer Dynamik wie wir diese von den dynamischen Geometriesystemen kennen. Mit Hilfe von Schiebereglern kann diese Dynamik veranschaulicht werden.

2nd Ch: Virtex, Tangent Wie bestimmt man den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion? Natürlich mit quadratischer Ergänzung. Diese Methode ist von Hand vielleicht am schnellsten, nicht aber mit dem Rechner.

CAS doesn't like this method CAS hat die Methode der quadratischen Ergänzung gar nicht gern. Betrachtet man die Parabel, so sieht man sofort die Symmetrie der Parabel bezüglich der Vertikalen durch den Scheitelpunkt, d.h. die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist das arithmetische Mittel der beiden Nullstellen. Warum macht man es eigentlich von Hand nicht so? Weil die Nullstellenbestimmung mindestens so aufwendig ist wie die quadratische Ergänzung. Pardon. Gehören Sie zu denjenigen, welche ein paar Euro gespart haben, um sich einen Non-CAS Rechner zu kaufen. Dann müssen Sie mit solchen Meldungen leben.

If there are no zeros? Was passiert aber, wenn keine Nullstellen vorhanden sind. Eine Möglichkeit wäre csolve zu verwenden. Aber komplexe Zahlen sind auf dieser Schulstufe in Europa nicht verfügbar. Wir nehmen an Stelle der x-Achse eine Gerade f2(x)=c, welche die Parabel sicher schneidet, z.B. c=6 und führen die Rechnung mit dem Term f1(x)-c durch. Dies ist vielleicht für Schülerinnen und Schüler etwas abstrakt.

Dynamization of this method Da CAS symbolisch rechnen kann können wir das Problem verallgemeinern. Wir schneiden die Parabel mit der allgemeinen Funktion y=c. Ich verwende hier die Funktionsgleichungen, die von Schülerinnen und Schülern besser verstanden werden (Schnittpunkte zweier Kurven). Hier treten die typischen Fälle einer quadratischen Gleichung auf: keine Lösung, Doppellösung, zwei Lösungen. Die Doppellösung entspricht der Tangente und wir erhalten durch Einsetzen des entsprechenden Wertes c den Scheitelpunkt. Damit haben wir aber eine Methode erhalten, die leicht verallgemeinert werden kann: Wir ersetzen nun die zweite Gleichung durch y=x+c. Wiederum erhalten wir die 3 typischen Fälle. Die Doppellösung liefert uns die Tangente (wohlverstanden ohne Differential- und Integralrechnung). Der Wechsel zwischen geometrischer Veranschaulichung (mit Schiebereglern) und algebraischer Untersuchung der Fälle ist sehr motivierend und effizient für das Verständnis. Ersetze die Parabel durch eine Ellipse und wir erhalten ein analoges Berührungsproblem (hier mit 2 Berührungspunkten). Von Hand wäre dies eine völlig neue Aufgabe. Die gezeigte Methode geht mit allen Berührungsproblemen, welche auf eine quadratische Gleichung führen und hat sehr viele Anwendungen, auch in vielen andern Themenbereichen. Als Beispiel möchte ich eine Hyberbel mit einer Geraden schneiden. Die Gerade hat Schnittpunkte für c2 <1/2. Der Grenzfall c2=1/2 liefert einen Schnittpunkt im Unendlichen und somit die Asymptote der Hyperbel.

Parabola 3rd order Ein berühmtes Problem aus der Zeitschrift „Math Teachers“ wurde von Paul Drijvers letztes Jahr vorgestellt, allerdings mit Differentialrechnung: Bei einer Parabel dritter Ordnung mit 3 Nullstellen wird von einer Nullstelle aus die Tangente an die Parabel gelegt. Die Tangente berührt die Parabel in der Mitte der andern Nullstellen. Diese Aufgabe kann mit elementaren Mitteln mit der obigen Methode gelöst werden und dies sogar allgemein.

Wir haben in Kapitel 2 viele Aufgaben aus dem täglichen Leben, wie z.B. den Basketballwurf. Robert Märki wird weitere Aufgaben in seinem Workshop zeigen. Die Aufgabe ist, eine mögliche Parabel mit der Anfangsbedingung (Punkt A) und der Endbedingung (Punkt B) zu finden. Die möglichen Parabeln werden gesammelt und im Plenum gezeigt. Als erste Aufgabe kann man bei der eigenen Parabel z.B. den Scheitelpunkt bestimmen (mit der gezeigten Methode) oder die Tangente mit Steigung im Punkt A. In einem nächsten Schritt suchen wir die Gleichung der möglichen Parabeln (welche von einem Parameter abhängt). Und schliesslich: Was ist der geometrische Ort aller Scheitelpunkte der möglichen Parabeln? Real world problems

Don‘t disturb my circles 3rd Ch: Implicit functions, transformation equation Don‘t disturb my circles (Archimedes) Im 3. Kapitel werden die Transformationen noch etwas systematischer untersucht und die Symmetrie bzgl. x- und y-Achse dargestellt. Hier eignen sich Kreise als besonders einfache Kurven. Warum sollte man diese schönen Kurven auf später verschieben. Auch erhält man hier einen natürlichen Zugang zu den Ellipsen als affines Bild eines Kreises. Damit kann man auch schöne Kurven modellieren, wie z.B. diese Wurst, welche aus Transformationen von Halbkreisen und Geradenstücken zusammengesetzt ist. Beim Smiley wurden auch Parameter eingebaut, was die Sache für Schülerinnen und Schüler besonders attraktiv macht. Zum Schluss des Kapitels werden die Transformationen noch systematisch behandelt und die Begründung nachgeliefert, wieso die Operationszeichen in x-Richtung scheinbar verkehrt sind. Die gezeigte Abbildung ist z.B. eine zentrische Streckung.

4th Ch: Optimization problems and various applications Examples by Robert Märki Benno Frei Das 4. Kapitel enthält viele Anwendungen, insbesondere Optimierungsaufgaben. Dieses Kapitel wird Ihnen von Benno Frei anhand von Beispielen demonstriert. Ich hoffe, mit dieser kurzen Übersicht einen Eindruck vermittelt zu haben, wie quadratische Gleichungen und Funktionen dynamischer und spannender vermittelt werden können. Die Theorie ist der eine Teil. Ebenso wichtig sind die Aufgaben. Auch hier haben wir eine Reihe von interessanten Beispielen, welche im Folgenden meine Kollegen vorstellen werden.