Wirtschaftsmathematik / Statistik Prof. Dr. V. Tolkmitt SS 2009 16.12.2008 Wirtschaftsmathematik / Statistik

Prof. Dr. Volker Tolkmitt Gliederung 1. Grundlagen 2. Wirtschaftsmathematik 2.1. Angewandte Differentialrechnung 2.2. Angewandte Integralrechnung 2.3. Extremwertberechnungen 3. Finanzmathematik 4. Wahrscheinlichkeitsrechnung 5. Deskriptive Statistik 6. Induktive Statisitk Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt 1. Grundlagen Et Et+1 Gegenwartskonsum Zukunftskonsum 2Et Konsumgerade bei Zins i* ;(i*>i) Konsumgerade bei Zins i Barwertkonzept (Zeitwert des Geldes) Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt 1. Grundlagen Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt Grundlagen Zeitwert Aufzinsung / Abzinsung Abzinsung 2Et Zukunftswert Aufzinsung C0 Barwert t Zahl der Zeitperioden in t Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt 1. Grundlagen 100 € 100 € 100 € 100 € 100 € 100 € … 100 € Annuität 1 2 3 4 … ∞ 100 € 100 € 100 € 100 € … 100 € Ewige Rente C von t0 5 6 7 … ∞ ∞ Ewige Rente C von t5 ∞ - 100 € 100 € 100 € 100 € 100 € = 1 2 3 4 Annuität C von t0 t4 Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt 1. Grundlagen 1 2 3 4 100 € 100 € … … Annuität Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt 1. Grundlagen Prof. Dr. Volker Tolkmitt

2.2 Investitionsrechenverfahren Interner Zinsfuß Grundsätzlich gleiche Vor- und Nachteile wie Kapitalwertmethode Scheingenauigkeit des ermittelten Zinsfusses Negative Cash Flows in einzelnen Perioden erzeugen irreführende Ergebnisse Ergebnis ist ein Zinssatz (Diskontierungsfaktor), der keinen Bezug zu den Kapitalkosten hat Prof. Dr. Volker Tolkmitt

2.2 Investitionsrechenverfahren Kapitalwertverlauf in Abhängigkeit vom Kalkulationszinssatz bei Normalinvestitionen S Prof. Dr. Volker Tolkmitt

2.2 Investitionsrechenverfahren Interner Zinsfuss C > 0 C0 i2 i C = 0 i1 C1 C < 0 Prof. Dr. Volker Tolkmitt

2.2 Investitionsrechenverfahren Interpolationsverfahren Aus zwei Kalkulationszinssätzen und den zugehörigen Kapitalwerten läßt sich näherungsweise der Interne Zinssatz ableiten. Interpolation zur Bestimmung des Internen Zinssatzes Prof. Dr. Volker Tolkmitt

2.3. Anwendungsbereiche von Investition und Finanzierung Beispiel Prof. Dr. Volker Tolkmitt

2.3. Anwendungsbereiche von Investition und Finanzierung Anleihebewertung 0,00 200,00 400,00 600,00 800,00 1.000,00 1.200,00 1.400,00 1.600,00 1.800,00 2.000,00 0,00% 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00% 7,00% 8,00% 9,00% 10,00% 11,00% 12,00% 13,00% 14,00% 15,00% Market Interest rate Price 5 year Bond 1 year Bond 10 year Bond Prof. Dr. Volker Tolkmitt

2.3. Anwendungsbereiche von Investition und Finanzierung Anleihebewertung Steigende Zinsen => Sinkende Kurse   Langfristige Anleihen reagieren stärker auf Zinsänderungen als kurzfristige Anleihen  „yield to maturity“ (YTM) ist die Rendite, die ein Anleiheinvestor, der jetzt kauft und das Papier bis zur Fälligkeit hält, erwarten kann. B0 = Anleihepreis, C = Zinskupon, F = Nominalwert, r = Marktzins t = Restlaufzeit. Prof. Dr. Volker Tolkmitt

2.3. Anwendungsbereiche von Investition und Finanzierung Anleihebewertung Beispiel Aktueller Zeitpunkt Oktober 2006 IBM-Anleihe zahlt € 115 Zinsen jeweils im September. Im September 2011 wird die Anleihe mit € 1000 getilgt. Anleiherating ist AAA (YTM is 7.5%) Cash Flows Sept 07 08 09 10 11 115 115 115 115 1115 YTM = Yield To Maturity Prof. Dr. Volker Tolkmitt

2.3. Anwendungsbereiche von Investition und Finanzierung Erwartete Rendite – Die Rate, die ein Aktionär als Ertrag für seine Investition kalkuliert. Beispiel: Wenn “Berlin Investment” mit € 100 Aktienkurs an der Börse notiert und für den Kurs in einem Jahr € 110 prognostiziert sind, Wie hoch ist die erwartete Rendite, wenn die Dividende mit € 5.00 angesetzt ist? Prof. Dr. Volker Tolkmitt

2.3. Anwendungsbereiche von Investition und Finanzierung Dividend Discount Model – Der gegenwärtige Aktienkurs bildet sich als Barwert aller erwarteten zukünftigen Dividendenzahlungen und des zukünftigen (prognostizierten) Aktienkurses. Beispiel Aktienanalysten prognostizieren für “Teutonia” Dividendenzahlungen von € 3, € 3.24, und € 3.50 für die nächsten 3 Jahre. Am Ende des dritten Jahres wird der Aktienkurs auf € 94.48 vorhergesagt. Wie hoch ist der “faire” Marktpreis, wenn eine Rendite von 12% erwartet wird? Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt Formelsammlung Formale Darstellung des Abzinsungsfaktors (Discount Factor = DF): DF = Gegenwartswert (Barwert) von EUR 1,- Formale Darstellung des Barwertes (Present Value = PV): Parameter und Indizes: t = Zeitindex BW = Barwert r = Diskontrate, Diskontierungszins Ct = Kapitalbetrag im Zeitpunkt t q-t = Abzinsungsfaktor für den Zeitpunkt t mit q = 1 + r Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt Formelsammlung Formale Darstellung des Aufzinsungsfaktors: AF = Zukunftswert von EUR 1,- Formale Darstellung des Zukunftswertes (Future Value = FV): Parameter und Indizes: t = Zeitindex ZW = Zukunftswert des Kapitalbetrags Ct Ct = Kapitalbetrag im Zeitpunkt t r = Diskontrate, Diskontierungszins qt = Aufzinsungsfaktor für den Zeitpunkt t mit q = 1 + r Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt Formelsammlung Formale Darstellung des Barwertes (Present Value = PV): Formale Darstellung des Barwertes der ewigen Rente (Perpetuity): Ewige Rente (Perpetuity) = Erzielung eines stetigen, unendlichen Cash Flows Formale Darstellung der ewigen Rente (Perpetuity): Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt Formelsammlung t 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00% 7,00% 8,00% 9,00% 10,00% 1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091 2 0,9803 0,9612 0,9426 0,9246 0,9070 0,8900 0,8734 0,8573 0,8417 0,8264 3 0,9706 0,9423 0,9151 0,8890 0,8638 0,8396 0,8163 0,7938 0,7722 0,7513 4 0,9610 0,9238 0,8885 0,8548 0,8227 0,7921 0,7629 0,7350 0,7084 0,6830 5 0,9515 0,9057 0,8626 0,8219 0,7835 0,7473 0,7130 0,6806 0,6499 0,6209 6 0,9420 0,8880 0,8375 0,7903 0,7462 0,7050 0,6663 0,6302 0,5963 0,5645 7 0,9327 0,8706 0,8131 0,7599 0,7107 0,6651 0,6227 0,5835 0,5470 0,5132 8 0,9235 0,8535 0,7894 0,7307 0,6768 0,6274 0,5820 0,5403 0,5019 0,4665 9 0,9143 0,8368 0,7664 0,7026 0,6446 0,5919 0,5439 0,5002 0,4604 0,4241 10 0,9053 0,8203 0,7441 0,6756 0,6139 0,5584 0,5083 0,4632 0,4224 0,3855 11 0,8963 0,8043 0,7224 0,6496 0,5847 0,5268 0,4751 0,4289 0,3875 0,3505 12 0,8874 0,7885 0,7014 0,6246 0,5568 0,4970 0,4440 0,3971 0,3555 0,3186 13 0,8787 0,7730 0,6810 0,6006 0,5303 0,4688 0,4150 0,3677 0,3262 0,2897 14 0,8700 0,7579 0,6611 0,5775 0,5051 0,4423 0,3878 0,3405 0,2992 0,2633 15 0,8613 0,7430 0,6419 0,5553 0,4810 0,4173 0,3624 0,3152 0,2745 0,2394 16 0,8528 0,7284 0,6232 0,5339 0,4581 0,3936 0,3387 0,2919 0,2519 0,2176 17 0,8444 0,7142 0,6050 0,5134 0,4363 0,3714 0,3166 0,2703 0,2311 0,1978 18 0,8360 0,7002 0,5874 0,4936 0,4155 0,3503 0,2959 0,2502 0,2120 0,1799 19 0,8277 0,6864 0,5703 0,4746 0,3957 0,3305 0,2765 0,2317 0,1945 0,1635 20 0,8195 0,6730 0,5537 0,4564 0,3769 0,3118 0,2584 0,2145 0,1784 0,1486 Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt Formelsammlung t 11,00% 12,00% 13,00% 14,00% 15,00% 16,00% 17,00% 18,00% 19,00% 20,00% 1 0,9009 0,8929 0,8850 0,8772 0,8696 0,8621 0,8547 0,8475 0,8403 0,8333 2 0,8116 0,7972 0,7831 0,7695 0,7561 0,7432 0,7305 0,7182 0,7062 0,6944 3 0,7312 0,7118 0,6931 0,6750 0,6575 0,6407 0,6244 0,6086 0,5934 0,5787 4 0,6587 0,6355 0,6133 0,5921 0,5718 0,5523 0,5337 0,5158 0,4987 0,4823 5 0,5935 0,5674 0,5428 0,5194 0,4972 0,4761 0,4561 0,4371 0,4190 0,4019 6 0,5346 0,5066 0,4803 0,4556 0,4323 0,4104 0,3898 0,3704 0,3521 0,3349 7 0,4817 0,4523 0,4251 0,3996 0,3759 0,3538 0,3332 0,3139 0,2959 0,2791 8 0,4339 0,4039 0,3762 0,3506 0,3269 0,3050 0,2848 0,2660 0,2487 0,2326 9 0,3909 0,3606 0,3329 0,3075 0,2843 0,2630 0,2434 0,2255 0,2090 0,1938 10 0,3522 0,3220 0,2946 0,2697 0,2472 0,2267 0,2080 0,1911 0,1756 0,1615 11 0,3173 0,2875 0,2607 0,2366 0,2149 0,1954 0,1778 0,1619 0,1476 0,1346 12 0,2858 0,2567 0,2307 0,2076 0,1869 0,1685 0,1520 0,1372 0,1240 0,1122 13 0,2575 0,2292 0,2042 0,1821 0,1625 0,1452 0,1299 0,1163 0,1042 0,0935 14 0,2320 0,2046 0,1807 0,1597 0,1413 0,1252 0,1110 0,0985 0,0876 0,0779 15 0,1827 0,1599 0,1401 0,1229 0,1079 0,0949 0,0835 0,0736 0,0649 16 0,1883 0,1631 0,1415 0,1069 0,0930 0,0811 0,0708 0,0618 0,0541 17 0,1696 0,1456 0,1078 0,0929 0,0802 0,0693 0,0600 0,0520 0,0451 18 0,1528 0,1300 0,1108 0,0946 0,0808 0,0691 0,0592 0,0508 0,0437 0,0376 19 0,1377 0,1161 0,0981 0,0829 0,0703 0,0596 0,0506 0,0431 0,0367 0,0313 20 0,1037 0,0868 0,0728 0,0611 0,0514 0,0433 0,0365 0,0308 0,0261 Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt Formelsammlung Formale Darstellung des Rentenwertes: Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt Formelsammlung Formale Darstellung der Annuität (Annuity): Parameter und Indizes: t = Zeitindex C = Kapitalbetrag = Annuität BWAnnuity = Barwert der Annuität r = Diskontrate, Diskontierungszins qt = Aufzinsungsfaktor für den Zeitpunkt t mit q = 1 + r Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt Formelsammlung Formale Darstellung des Annuitätenfaktors (Kapitalwiedergewinnungsfaktor): KWF = Annuität von EUR 1,- Formale Darstellung des Barwertfaktors (Diskontierungssummenfaktor): BWF = Barwert der Annuität von EUR 1,- Parameter und Indizes: t = Zeitindex KWF = Annuität BWF = Barwert der Annuität r = Diskontrate, Diskontierungszins qt = Aufzinsungsfaktor für den Zeitpunkt t mit q = 1 + r Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt Formelsammlung Formale Darstellung des Zinseszinseffekts (Compounded interest rate): i ii iii iv v Periods Interest per Value Annually per per year after compounded year period (i x ii) one year interest rate 1 6% 6% 1.06 6.000% 2 3 6 1.032 = 1.0609 6.090 4 1.5 6 1.0154 = 1.06136 6.136 12 .5 6 1.00512 = 1.06168 6.168 52 .1154 6 1.00115452 = 1.06180 6.180 365 .0164 6 1.000164365 = 1.06183 6.183 Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt Formelsammlung Formale Darstellung des Effektivzinses (effective annual rate): Formale Darstellung der Effektivverzinsung einer Anleihe: Parameter und Indizes: T = Kreditlaufzeit in Tagen n = Laufzeit CN = Netto-Kapitalsatz bzw. Netto-Kapitalbetrag K0 = Ausgabekurs K1 = Rückgabekurs r = Diskontsatz bzw. Diskontbetrag rnom = Nominalzins reff = Effektivverzinsung = Restwertfaktor mit r=reff der Faustformel Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt Formelsammlung Formale Darstellung des Kapitalwertes (Net Present Value = NPV): Parameter und Indizes: t = Zeitindex T = letzter Zeitpunkt, in dem Zahlungen anfallen et = Einzahlungen im Zeitpunkt t at = Auszahlungen im Zeitpunkt t q-t = Abzinsungsfaktor für den Zeitpunkt t mit q = 1 + r Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt Formelsammlung Formale Darstellung des Internen Zinssatzes (Internal Rate of Return = IRR): “r” nur in Sonderfällen isolierbar Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt Formelsammlung Interpolationsverfahren Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt Formelsammlung Anwendung des Barwertes auf den Aktienpreis: Anwendung der ewigen Rente auf den Aktienpreis: Formale Darstellung der Rendite von Aktien: Parameter und Indizes: t = 0, 1, 2, …, H = Zeithorizont P = Aktienpreis Div = Dividende r = Diskontrate, Diskontierungszins EPS = Earnings Per Share Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt Formelsammlung Formale Darstellung des Leverage-Effektes): Parameter und Indizes: FK = Fremdkapital EK = Eigenkapital GK = Gesamtkapital rGK;FK;EK = Gesamtkapitalrendite, Fremdkapitalzins, Eigenkapitalrendite Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt Formelsammlung Formale Darstellung der gewichteten Kapitalkosten (Weighted Average Cost of Capital): Formale Darstellung der erwarteten Marktrendite (Capital Asset Pricing Model): Parameter und Indizes: FK = Fremdkapital EK = Eigenkapital GK = Gesamtkapital rGK;FK;EK = Gesamtkapitalrendite, Fremdkapitalzins, Eigenkapitalrendite rf = risikofreier Zins rm = Rendite des Marktportfolios β = Korrelationskoeffizient zwischen Aktie und Marktportfolio (rf - rm) = Risikoprämie des Marktes Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt Formelsammlung Formale Darstellung des Realzinses: Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt Formelsammlung Formale Darstellung des Unternehmenswertes nach der DCF-Methode: Bei stetigem Wachstum des Unternehmens Parameter und Indizes: t = 0, 1, 2, …, H = Zeithorizont BW = Barwert FCF = Free Cash Flow r = Diskontrate, Diskontierungszins g = Wachstumsrate der FCF Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt Formelsammlung Formale Darstellung der erwarteten Rendite: E[rp] = Erwartete Portfoliorendite N = Zahl der Vermögenswerte im Portfolio xi = Anteil des Vermögenswertes I im Portfolio E[ri] = Erwartete Rendite des Vermögenswertes i Prof. Dr. Volker Tolkmitt

Prof. Dr. Volker Tolkmitt Formelsammlung Statische Rentabilitätsrechnung Durchschnittlicher Buchwert Prof. Dr. Volker Tolkmitt