Andra Cara WS `09/10 Seminar: Aufgaben im Mathematikunterricht

1) Konvergente und divergente Aufgaben 2) Offene und geschlossene Aufgaben 3) Aufgaben öffnen – aber wie? Strategien am Beispiel: lineare Funktion, Zwischenbruch, Quadratzerlegung 4) Klassifikationsschema für Offenheit am Beispiel: Lineare Gleichungs- systeme

 Konvergente Aufgaben - haben nur 1 Lösung - es soll nur ein bekanntes Lösungs- verfahren verwendet werden Ziel: Einüben des Lösungsverfahrens; Prüfen von Routinetechniken für Lehrer: leicht zu korrigieren für Schüler: trainierbar

 Bsp. für konvergente Aufgaben: - Löse die quadratische Gleichung: x² + x – 12 = 0 - Bestimme die 1. Ableitung zu f(x) = x² - 3x Berechne: cos²(-0,123)

 Divergente Aufgaben - haben mehr als eine Lösung => Offenheit der Antworten - aktivieren das Wissen der Schüler und regen zu eigenen Gedanken an etwas höhere Anforderung, wenn richtig gestellt. Dies hängt aber ebenfalls damit zusammen, wie vertraut die Schüler mit der Übungsform sind.

 Bsp. für divergente Aufgaben: - Suche 5 möglichst verschiedenartige quadratische Gleichungen, die alle die Lösungsmenge {-4; 3} haben - Kann man ein gleichseitiges Dreieck durch eine Gerade in 2 gleichseitige Dreiecke zerlegen?

 Offene Aufgaben - Lösungsweg ist nicht vorgezeichnet - nicht unbedingt eindeutige Lösung lassen Raum für eigene Vorgehensweisen und Ideen regen zu grundlegenden Überlegungen oder sogar Diskussionen an bessere Auseinandersetzung mit dem Lernstoff

 Geschlossene Aufgaben - anzuwendendes Verfahren ist direkt ersichtlich - nur 1 mögliche Lösung Kein Freiraum für Schüler Verfahren werden lediglich auswendig gelernt; Alltagsbezug bleibt unklar Kein authentischer Umgang mit der Mathematik

Die wichtigsten Strategien: (1) Geringfügig ändern (2) Analogisieren (ersetzen/ändern von Bedingungen) (3) Verallgemeinern (weglassen) (4) Spezialisieren (hinzufügen) (5) Umkehren (Richtung wechseln)

Am Beispiel: Lineare Funktionen Zwischenbruch Quadratzerlegung

Start Situation, Information Weg Methode, Verfahren Ziel Ergebnis, Lösung Aufgabentyp XXXBeispielaufgabe XX-Geschlossene Aufgabe Authenti sche X-XBegründungs- aufgabe Aufgabe n X--Problem- aufgabe ---Offene Situation offene -XXUmkehraufgabe Aufg. --XProblemumkehr -X-Anwendungs- suche

Beispiel: Lineare Gleichungssysteme (LGS) a) Das LGS I: 3y = – 6x + 51 II: 3x = -y + 17 wird mit dem Einsetzungsverfahren berechnet:(…Rechnung vorgerechnet…) Die Lösung ist x = 0, y = 17.

a) Beispielaufgabe Das LGS I: 3y = – 6x + 51 II: 3x = -y + 17 wird mit dem Einsetzungsverfahren berechnet. Die Lösung ist x = 0, y = 17. Start, Weg, Ziel

b) Löse das LGS I: 3y = – 6x + 51 II: 3x = -y + 17 mit dem Einsetzungsverfahren.

b) Geschlossene Aufgabe Löse das LGS I: 3y = – 6x + 51 II: 3x = -y + 17 mit dem Einsetzungsverfahren. Start, Weg

c) Die Lösung des LGS I: 3y = – 6x + 51 II: 3x = -y + 17 ist: x = 0, y = 17. Mit welcher Methode lässt dies sich am besten berechnen und warum?

c) Begründungsaufgabe Die Lösung des LGS I: 3y = – 6x + 51 II: 3x = -y + 17 ist: x = 0, y = 17. Mit welcher Methode lässt dies sich am besten berechnen und warum? Start, Ziel

d) Gegeben ist folgendes LGS: I: 3y = – 6x + 51 II: 3x = -y + 17 Welches Lösungsverfahren ist sinnvoll? Was ist die Lösung ?

d) Problemaufgabe Gegeben ist folgendes LGS: I: 3y = – 6x + 51 II: 3x = -y + 17 Welches Lösungsverfahren ist sinnvoll? Was ist die Lösung ? Start

e) Denke dir ein Lineares Gleichungssystem deiner Wahl aus, löse es mit beliebigem Verfahren und gib deine Lösung an.

e) Offene Situation Denke dir ein Lineares Gleichungssystem deiner Wahl aus, löse es mit beliebigem Verfahren und gib deine Lösung an. weder Start, noch Weg oder Ziel

f) Denke dir ein lineares Gleichungssystem aus, das mit dem Einsetzungsverfahren die Lösung x = 0 und y = 17 ergibt.

f) Umkehraufgabe Denke dir ein lineares Gleichungssystem aus, das mit dem Einsetzungsverfahren die Lösung x = 0 und y = 17 ergibt. Weg, Ziel

g) Denke dir ein lineares Gleichungssystem aus, dessen Lösung x = 0, y = 17 ist. Das Lösungsverfahren ist dir überlassen.

g) Problemumkehr Denke dir ein lineares Gleichungssystem aus, dessen Lösung x = 0, y = 17 ist. Das Lösungsverfahren ist dir überlassen. Ziel

h) Wähle ein lineares Gleichungssystem aus und löse es mit dem Gleichsetzungs- verfahren.

h) Anwendungssuche Wähle ein lineares Gleichungssystem aus und löse es mit dem Gleichsetzungs- verfahren. Weg

 Zu welchem Aufgabentyp lässt sich diese Aufgabe nach dem Klassifikationsschema zuordnen?  Gibt es wirklich eine Herzfunktion? Wie lautet diese?/Wie kann man ein Herz darstellen?

 Nach dem Klassifikationsschema: offene Situation