1. Signalbeschreibung im Zeitbereich SiSy, Signal, 1-1 Inhaltsverzeichnis 1 Signalklassen * Kapitel 7.1.1 1.2 Symmetrie-Eigenschaften von Signalen * Kapitel 7.1.2 1.3 Verschiebung und Dehnung eines Zeitsignals * Kapitel 7.3.3 1.4 Elementarsignale * Kapitel 7.3.2 1.5 Harmonische Funktionen * Kapitel 3.1.1, 3.1.5.1 und 3.1.5.2 1.6 Mittelwerte Anhang A: Darstellung komplexer Zahlen * Kories, Schmidt-Walter, „Taschenbuch der Elektrotechnik“, Verlag Harri Deutsch, 9. Auflage, 2010.

1.1 Signalklassen Periodische Signale SiSy, Signal, 1-2 Periodische Signale wiederholen sich abschnittsweise, sind wichtige Hilfssignale für alle t gilt: x(t+T0) = x(t), wobei kleinstes T0 die Periode ist f0 = 1/T0 ist die Wiederhol- bzw. Grund-Frequenz x(t) x(t+nT0) = x(t) für alle t und Integer n t -2T0 -T0 T0 2T0 Nicht-periodische Signale sind nicht periodisch nach obiger Definition, z.B. A x(t) A·e-t/τ für t ≥ 0 0 sonst x(t) = A/e t τ

Normierte Signalleistung und Signalenergie 1.1 Signalklassen SiSy, Signal, 1-3 Normierte Signalleistung und Signalenergie Momentanleistung p(t) = u(t)·i(t) = R·i2(t) = u2(t) / R Normierung auf R = 1Ω und auf 1V (bei einem Spannungssignal) => x2(t) ist dimensionslos (mittlere) normierte Signalleistung Bezeichnung manchmal auch Pn (mittlere) normierte Signalenergie Bezeichnung manchmal auch En (Energie = Leistung · Zeit)

1.1 Signalklassen Leistungssignale SiSy, Signal, 1-4 Leistungssignale haben endliche normierte Signalleistung, d.h. 0 < P < ∞ bzw. unendliche normierte Signalenergie E = ∞ zeitlich unbegrenzte Signale ohne abklingende Amplitude periodischen Signale sind Leistungssignale (mittlere normierte) Leistung eines periodischen Signals Effektivwert bzw. RMS-Wert eines periodischen Signals (ist vom Scheitelwert Xp und von der Signalform (!) abhängig) Integral über 1 Periode T0 Root-Mean-Square

1.1 Signalklassen SiSy, Signal, 1-5 Beispiel: s(t) = A·sin(2πf0t-φ) ist ein Leistungssignal Flächen F gleich gross mittlere Leistung F P = = A2/2 E = ∞ F 2 T0 T0 Zeige dass das Signal x(t) = A·sin(2π·f0·t) die Leistung P = A2/2 hat und damit den Effektivwert Xrms = A/√2 Benutze trigonometrische Umformung: sin2(α) = 0.5 – 0.5·cos(2α) P = …

1.1 Signalklassen Energiesignale SiSy, Signal, 1-6 Energiesignale haben endliche normierte Signalenergie, d.h. 0 < E < ∞ bzw. verschwindende normierte Signalleistung P = 0 zeitlich begrenzte Signale (z.B. Einzelpuls) zeitlich unbegrenztes Signal mit abklingender Amplitude d.h. transiente Signale z.B. „Ausschwingvorgänge“ x(t) 1 t τ Beispiel eines Energiesignals: zeige dass x(t) Energie E = τ/2 hat e-t/ τ für t ≥ 0 0 für t < 0 E = … x(t) = 1 1/e = 0.37 t τ je grösser τ, desto langsamer ist der exponentielle Abfall der Amplitude bzw. desto grösser ist die Signal-Energie E

1.1 Signalklassen kausale Signale SiSy, Signal, 1-7 kausale Signale nehmen nur für t ≥ 0 von Null verschiedene Werte an spielen nur eine Rolle im Zusammenhang mit kausalen Systemen Kausalität Ein kausales System reagiert erst dann mit einem Ausgangssignal, wenn ein Eingangssignal anliegt. Die Stossantwort von kausalen Systemen verschwindet für t<0. Technisch realisierbare Systeme sind kausal ! Stossanregung kausale Stossantwort kausales System t t

1.1 Signalklassen Komplexe Signale SiSy, Signal, 1-8 Komplexe Signale reelle Signale haben reellwertige Amplituden komplexe Signale haben komplexwertige Amplituden d.h. x(t) = xreal(t) + j·ximag(t) praktische Signale sind reell, aber manchmal hat die komplexe Darstellung Vorteile Ix(t)I ist die Umhüllende bzw. Enveloppe Beispiel: x(t) = e-t · ej2πfot wobei t ≥ 0 und f0 = 1 Hz Ix(t)I Umhüllende reelles Signal Re{x(t)}

1.1 Signalklassen Deterministische Signale SiSy, Signal, 1-9 Deterministische Signale können exakt vorhergesagt und beschrieben werden tragen keine Information, sind aber wichtige Hilfssignale / V sin(2πf0t) Stochastische Signale bzw. Zufallssignale können nur mit stochastischen Kenngrössen wie z.B. Mittelwert und Varianz der Amplitude, Korrelation usw. beschrieben werden tragen Information oder stellen Rauschen dar Musterverlauf (immer wieder anderer Verlauf) / V

1.1 Signalklassen analoge Signale (zeit- und Amplituden- SiSy, Signal, 1-10 x(t) analoge Signale (zeit- und Amplituden- wertkontinuierlich) t Abtastung x(nTs) zeitdiskrete (wertkontinuierliche) Signale ADC t -Ts Ts = 1/fs fs : Abtastrate [Samples/s], Abtastfrequenz [Hz] Ts : Abtastperiode oder -intervall Quantisierung x[n] digitale Signale (zeit- und wertdiskret, Zahlenreihe) t Amplitude quantisiert

1.1 Signalklassen Ein Bild ist ein 2-dimensionales, digitales Signal SiSy, Signal, 1-11 Ein Bild ist ein 2-dimensionales, digitales Signal 2-dimensionale Funktion f(x,y) der Ortskoordinaten (x,y) z.B. quantisierte Intensität (Helligkeit) in Funktion des Orts 0 1 2 ... N-1 y 1 2 : M-1 x 1 Pixel (Bildelement) Matlab-Beispiel % Bild 16x16 Pixel, pixval=0: schwarz, pixval=64 weiss X=[0*ones(8,8) 16*ones(8,8); 32*ones(8,8) 64*ones(8,8)]; image(X) colormap(gray); 8x8 Pixel

1.2 Symmetrieeigenschaften SiSy, Signal, 1-12 x(t) Gerade bzw. symmetrische Funktion wenn für alle t gilt: x(-t) = x(t) Spiegelsymmetrie zur vertikalen Achse cos(.) ist eine gerade Funktion t x(t) Ungerade bzw. anti-symmetrische Funktion wenn für alle t gilt: x(-t) = -x(t) Punktsymmetrie zum Ursprung sin(.) ist eine ungerade Funktion t Achtung: die meisten Signale sind weder gerade noch ungerade sind aber theoretisch in geraden und ungeraden Anteil zerlegbar d.h. x(t) = xg(t) + xu(t)

1.3 Verschiebung und Dehnung SiSy, Signal, 1-13 Originalsignal x(t) x(t-2s) Zeitverschiebung um 2s nach rechts x(t+1s) Zeitverschiebung um 1s nach links 2·x(t) Skalierung (Verstärkung) mit 2 Quelle: Dr. S. Wyrsch

1.3 Verschiebung und Dehnung SiSy, Signal, 1-14 Originalsignal x(t) x(-t) (Zeit-) Spiegelung x(2t) (Zeit-) Stauchung mit Faktor 2 x(-(t-2s)) (Zeit-) Spiegelung und nachher (Zeit-) Verschiebung um 2s nach rechts x(t/3) (Zeit-) Dehnung mit Faktor 3

1.4 Elementarsignale SiSy, Signal, 1-15 Für die Systembeschreibung wird die Reaktion auf Testsignale ermittelt. Sprungfunktion, Schritt- oder Heaviside-Funktion (engl. unit step) u(t) wird oft als „Einschaltfunktion“ verwendet Matlab: heaviside() u(t) 1 für t > 0 1/2 für t = 0 0 für t < 0 1 u(t) = t t=t0 System R x(t) = u(t-t0) 1 x(t) C 1V y(t) y(t) t t0

1.4 Elementarsignale Rechteck-Funktion Matlab rectpuls() SiSy, Signal, 1-16 Rechteck-Funktion Matlab rectpuls() rect(t) 1 für ItI < 1/2 0 sonst 1 rect(t) = t - 1/2 1/2 Beispiel Rechteck-Puls der Breite τ Zusammenhang mit Sprungfunktion rτ(t) = rect(t/τ) 1 1 für ItI < τ/2 0 sonst rτ(t) = t - τ/2 τ/2 u(t+τ/2) 1 τ/2 rτ(t) = u(t+τ/2) - u(t-τ/2) t - τ/2 -u(t-τ/2)

1.4 Elementarsignale Dreieck-Puls Matlab tripuls() Gauss-Impuls SiSy, Signal, 1-17 Dreieck-Puls Matlab tripuls() 1 Λ(t) t -1 1 Gauss-Impuls Matlab gauspuls() 1 Γ(t) t Fläche = 1

der Wert für t=0 ist nicht definiert, aber 1.4 Elementarsignale SiSy, Signal, 1-18 Dirac-Stoss, Dirac-Impuls, Dirac-Deltafunktion δ(t) ist keine Funktion, sondern eine Distribution Näherung als sehr kurzer Rechteck-Impuls mit sehr hoher Amplitude Darstellung als Pfeil, allenfalls mit „Gewicht“ 2·r1/2(t) 2 δ(t) = lim n·r1/n(t) n→∞ Fläche = 1 r1(t) 1 1 t t -1/2 1/2 δ(t) = 0 für t ≠ 0 der Wert für t=0 ist nicht definiert, aber

LTI: linear, time-invariant 1.4 Elementarsignale SiSy, Signal, 1-19 Der Dirac-Impuls ist die zentrale Testfunktion für Systeme! Impulsantwort h(t) beschreibt ein LTI-System vollständig, siehe später Eigenschaften des Dirac-Impulses Sieb- bzw. Ausblendeigenschaft Abtastung Ableitung der Einheitsschrittfunktion x(t) = δ(t) y(t) = h(t) Stossantwort LTI- System t t LTI: linear, time-invariant δ(t-t0) x(t) t x(t)·δ(t-t0) = x(t0)·δ(t-t0) δ(t) = du(t) / dt

1.4 Elementarsignale Signum-Funktion Matlab: sign() Betragsfunktion SiSy, Signal, 1-20 keine Elementarsignale, aber wichtige Hilfsfunktionen Signum-Funktion Matlab: sign() Betragsfunktion Ix(t)I = x(t) / sgn(x(t)) Matlab: abs() sgn(t) 1 für t > 0 0 für t = 0 -1 für t < 0 1 sgn(t) = t -1 Beispiel: Ix(t)I = Icos(2π·f0·t)I wobei f0 = 1 kHz

1.5 Harmonische Funktionen SoE 2011 27.04.2017 1.5 Harmonische Funktionen SiSy, Signal, 1-21 spielen eine zentrale Rolle in der Fourier-Spektralanalyse sind Eigen- oder Resonanzfrequenz von linearen Systemen Lösungen der Schwingungsgleichung Beispiel Feder-Pendel ungedämpft (http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonischer_Oszillator) Kraft F = Masse m mal Beschleunigung d2x(t)/dt2 F = m · d2x(t)/dt2 = - k · x(t) m · d2x(t)/dt2 + k · x(t) = 0 Schwingungsgleichung: d2x(t)/dt2 + (ω0)2 · x(t) = 0 wobei (ω0)2 = k/m Eine mögliche Lösung: x(t) = A·sin(ω0·t+φ0) x(t) und 2. Ableitung sind bis auf einen Faktor identisch Demo: http://de.wikipedia.org/wiki/Schwingung ! Feder- konstante k Ruhelage m Projektleitung

1.5 Harmonische Funktionen SiSy, Signal, 1-22 Sinus- und Kosinus-Funktionen A Amplitude auch Scheitelwert oder Peak-Wert Xp genannt ω0 Kreisfrequenz in [rad/s], ω0 = 2π·f0 wobei f0 die Frequenz in Hz = 1/s bezeichnet und T0 = 1/f0 = 2π / ω0 die Periodendauer ist φ0 (Null-) Phase Zeit-Verschiebung / -Offset Δt0 = -φ0 / ω0 x(t) = A·sin(ω0t+φ0) A·sin(φ0) A T0 Momentanwert Δt0 x ^

1.5 Harmonische Funktionen SiSy, Signal, 1-23 Exponentialfunktion mit imaginärem Exponenten: x(t) = ejωot auch eine Lösung der (ungedämpften) Schwingungsgleichung x(t) = ejω0t = cos(ω0·t) + j·sin(ω0·t) Umhüllende (Enveloppe) Ix(t)I = 1

1.5 Harmonische Funktionen SiSy, Signal, 1-24 Exponentialfunktion mit komplexen Exponenten x(t) = A·est Lösung der (gedämpften) Schwingungsgleichung d2x(t)/dt2 + 2·ξ·ω0 · dx(t)/dt + (ω0)2 · x(t) = 0 wobei ξ: Dämpfungskonstante, ω0: Schwingkreisfrequenz Amplitude A = IAI·ejφ0, “Frequenz” s = σ + jω0 Realteil von s bestimmt die Form der Signal-Enveloppe Ix(t)I = IAI·eσt Imaginärteil von s, d.h. ω0 = 2π·f0, bestimmt die Frequenz x(t) = IAI·eσt · ejω0t+φ0 = IAI·eσt · [cos(ω0t+φ0) + j·sin(ω0t+φ0)] σ<0 gedämpfte Schwingung σ>0 angefachte Schwingung σ=0 harmonische Schwingung

1.5 Harmonische Funktionen SiSy, Signal, 1-25 Beispiel komplexe Schwingung (seltene Darstellung) Quelle: Dr. S. Wyrsch

1.5 Harmonische Funktionen SiSy, Signal, 1-26 Beispiel komplexe Schwingung (häufige Darstellung) Quelle: Dr. S. Wyrsch

1.5 Harmonische Funktionen SiSy, Signal, 1-27 sinc-Funktion ist eigentlich keine harmonische Funktion wichtige Funktion in der Fourier-Analyse Matlab: sinc() 1/(π·f0·t) Nullstellen bei Vielfachen von T0 T0 = 1/f0

1.6 Mittelwertbegriffe SiSy, Signal, 1-28 Linearer Mittelwert (Gleichanteil) bzw. "DC-Wert" eines Signals eines periodischen Signals Quadratischer Mittelwert (mittlere normierte Leistung Pn) eines Leistungs-Signals = X Integral über 1 Periode T0

1.6 Mittelwertbegriffe Beispiele DC-Signal DC-Wert Leistung SiSy, Signal, 1-29 Beispiele DC-Signal DC-Wert Leistung x(t) = A X0 = A X2 = A2 Sinus-Signal x(t) = A·sin(2π·f0·t+φ) X0 = 0 X2 = A2/2 Sinus-Betrag-Signal x(t) = A·Isin(2π·f0·t)I X0 = (2/π)·A X2 = A2/2 X0 = 0.6366·A

1.6 Mittelwertbegriffe Effektivwert SiSy, Signal, 1-30 Effektivwert engl. Begriff "Root-Mean-Square-Value" beschreibt die Berechnung periodisches Signal = √P = XRMS Beispiele Sinus-Signal x(t) = A·sin(2π·f0·t+φ) Xeff = Xrms = A/√2 Periodisches Rechtecksignal Xeff = Xrms = A

1.6 Mittelwertbegriffe Varianz SiSy, Signal, 1-31 Varianz mittlere quadratische Abweichung vom Mittel- bzw. DC-Wert periodisches Signal Standardabweichung σ = √Var(x) Nützliche Identität Matlab mean(), var(), std()

Anhang A: Darstellung komplexer Zahlen SiSy, Signal, 1-32 Kartesische Darstellung z = a + j∙b z* = a - j∙b konjugiert komplexe Zahl Real- und Imaginär-Teil von z a = Re{z} = (z + z*) / 2 b = Im{z} = (z - z*) / 2j Polardarstellung z = r·ejφ = a+j·b z = r·ejφ j·r r j·b Betrag r = IzI = √ a2+b2 φ r Phase φ = arctan (b/a) a a = r·cos(φ) b = r·sin(φ)

Anhang A: Darstellung komplexer Zahlen SiSy, Signal, 1-33 Polardarstellung, wenn r = 1 z = ejφ = a+j·b j z = ejφ j·b φ z = a + j·b wobei 1 a a = cos(φ) und b = sin(φ) Euler-Formeln ejφ = cos(φ) + j·sin(φ) cos(φ) = (ejφ + e-jφ) / 2 Beweis: Re{z} = (z + z*) / 2 wobei z = ejφ sin(φ) = (ejφ - e-jφ) / 2j Beweis: Im{z} = (z - z*) / 2j wobei z = ejφ

Anhang A: Darstellung komplexer Zahlen SiSy, Signal, 1-34 Produkt von komplexen Zahlen in Polarform z·z* = r·ejφ · r·e-jφ = r2 = IzI2 z1·z2 = r1·ejφ1 · r2·ejφ2 = r·ejφ r = r1·r2 φ = φ1 + φ2 z1/z2 = r1·ejφ1 / (r2·ejφ2) = r·ejφ r = r1 / r2 φ = φ1 - φ2 Beispiel z1 = 1+j = √2·ejπ/4 z = z1·z2 = √2·ejπ/4 · √2·e-jπ/4 = 2 z2 = 1-j = √2·e-jπ/4 z = z1·z2 = (1+j)·(1-j) = 12-j2 = 2 z1 z = z1/z2 = √2·ejπ/4 / (√2·e-jπ/4) = ejπ/2 z = z1/z2 = (1+j)2 / [(1-j)(1+j)] = (1+j)2/2 = 2j/2 = j z2