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Planar Mechanical Systems
In dieser Vorlesung werden planare mechanische (translatorische sowie rotatorische) Systeme behandelt. Die Ähnlichkeiten zwischen der mathematischen Beschreibungen solcher Systeme und derjenigen elektrischer Schaltkreise werden aufzeigen. Insbesondere wird gezeigt, dass die symbolischen Formel- manipulationsalgorithmen (Sortieralgorithmen), welche in der vorgängigen Vorlesung vorgestellt wurden, ohne jegliche Modifikation übernommen werden können. 20. Oktober, 2004
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Inhaltsverzeichnis Lineare Komponenten der Verschiebung
Lineare Komponenten der Rotation Das D’Alembert Prinzip Beispiel eines translatorischen Systems Horizontales Sortieren 20. Oktober, 2004
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Lineare Komponenten der Verschiebung
f 1 2 3 m·a = S (fi ) i Massen Reibungen Federn dv dt = a dx dt = v B f v 1 2 f = B·(v1 – v2 ) B f x 1 2 k f = k·(x1 – x2 ) 20. Oktober, 2004
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Lineare Komponenten der Rotation
J·a = S (ti ) i d dt = a d = Trägheiten Reibungen Federn J 1 2 B = B·(1 – 2 ) k = k·( 1 – 2 ) 20. Oktober, 2004
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Gelenke ohne Freiheitsgrad
xa = x b = x c fa + f b + f c = 0 va = v b = v c aa = a b = a c x a b f c Knoten (Translation) Knoten (Rotation) a b c a = b = c a + b + c = 0 a = b = c aa = a b = a c 20. Oktober, 2004
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Gelenke mit einem Freiheitsgrad
x1 x2 y1 = y2 1 = 2 Prismatisch Zylindrisch Schere x 1 2 1 2 x1 = x2 y1 = y2 1 2 1 2 20. Oktober, 2004
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Prinzip von D’Alembert
Durch das Einführen einer Trägheitskraft: fm = - m·a kann das zweite Newton’sche Gesetz: m·a = S (fi ) i umgewandelt werden in ein Gesetz der Form: S (fi ) = 0 i 20. Oktober, 2004
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Vorzeichenregeln d(m·v) fm = + dt fk = + k·(x – xNachbar )
fB = + B·(v – vNachbar ) x d(m·v) dt fm = - fk = - k·(x – xNachbar ) fB = - B·(v – vNachbar ) f m m f k f B 20. Oktober, 2004
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1. Beispiel (translatorisch)
Das System wird zwischen den einzelnen Massen auf-geschnitten, und es werden Schnittkräfte eingeführt. Das D’Alembert’sche Prinzip kann nun für jeden Körper einzeln formuliert werden. 20. Oktober, 2004
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1. Beispiel fortgesetzt F(t) = FI3 + FBa + FBb
FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 20. Oktober, 2004
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Horizontales Sortieren I
F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 20. Oktober, 2004
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Horizontales Sortieren II
F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 20. Oktober, 2004
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Horizontales Sortieren III
F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 20. Oktober, 2004
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Horizontales Sortieren IV
FI3 = F(t) - FBa - FBb FI2 = FBa - FBc - FB2 - Fk2 FI1 = FBb + FB2 - FBd - Fk1 = FI1 / m1 dv1 dt dx1 = v1 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 = FI2 / m2 dv2 dx2 = v2 = FI3 / m3 dv3 dx3 = v3 F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 20. Oktober, 2004
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Sortieralgorithmus Der Sortieralgorithmus funktioniert genau gleich wie bei den elektrischen Netzwerken. Er ist völlig unabhängig vom Anwendungs-gebiet. 20. Oktober, 2004
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Referenzen Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 4. 20. Oktober, 2004
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