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Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Planar Mechanical Systems In dieser Vorlesung werden planare mechanische (translatorische sowie rotatorische) Systeme.

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1 Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Planar Mechanical Systems In dieser Vorlesung werden planare mechanische (translatorische sowie rotatorische) Systeme behandelt. Die Ähnlichkeiten zwischen der mathematischen Beschreibungen solcher Systeme und derjenigen elektrischer Schaltkreise werden aufzeigen. Insbesondere wird gezeigt, dass die symbolischen Formel- manipulationsalgorithmen (Sortieralgorithmen), welche in der vorgängigen Vorlesung vorgestellt wurden, ohne jegliche Modifikation übernommen werden können.

2 Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Inhaltsverzeichnis Lineare Komponenten der Verschiebung Lineare Komponenten der Rotation Das DAlembert Prinzip Beispiel eines translatorischen Systems Horizontales Sortieren

3 Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Lineare Komponenten der Verschiebung Massen Reibungen Federn m·a = (f i ) i dv dt = a dx dt = v B f v 1 f v 2 f = B·(v 1 – v 2 ) B f x 1 f x 2 k f = k·(x 1 – x 2 ) m f 1 f 2 f 3

4 Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Lineare Komponenten der Rotation Trägheiten Reibungen Federn J· = ( i ) i d dt = d = J 1 2 B = B·( 1 – 2 ) k = k·( 1 – 2 )

5 Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Gelenke ohne Freiheitsgrad Knoten (Translation) Knoten (Rotation) x a = x b = x c f a + f b + f c = 0 v a = v b = v c a a = a b = a c a = b = c a + b + c = 0 a = b = c x a x b f a f b x c f c a b a b c c

6 Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Gelenke mit einem Freiheitsgrad Prismatisch Zylindrisch Schere x 1 x 2 x 1 x 2 y 1 = y 2 1 = x 1 = x 2 y 1 = y

7 Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Prinzip von DAlembert Durch das Einführen einer Trägheitskraft: kann das zweite Newtonsche Gesetz: umgewandelt werden in ein Gesetz der Form: f m = - m·a m·a = (f i ) i (f i ) = 0 i

8 Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Vorzeichenregeln d(m·v) dt f m = + f k = + k·(x – x Nachbar ) f B = + B·(v – v Nachbar ) x m f m f k f B x m f m f k f B d(m·v) dt f m = - f k = - k·(x – x Nachbar ) f B = - B·(v – v Nachbar )

9 Anfang Präsentation 20. Oktober, Beispiel (translatorisch) Das System wird zwischen den einzelnen Massen auf- geschnitten, und es werden Schnittkräfte eingeführt. Das DAlembertsche Prinzip kann nun für jeden Körper einzeln formuliert werden.

10 Anfang Präsentation 20. Oktober, Beispiel fortgesetzt F(t) = F I3 + F Ba + F Bb F Ba = F I2 + F Bc + F B2 + F k2 F Bb + F B2 = F I1 + F Bd + F k1 F I1 = m 1 · dv 1 dt dx 1 dt = v 1 F I2 = m 2 · dv 2 dt dx 2 dt = v 2 F I3 = m 3 · dv 3 dt dx 3 dt = v 3 F Ba = B 1 · (v 3 – v 2 ) F Bb = B 1 · (v 3 – v 1 ) F Bc = B 1 · v 2 F Bd = B 1 · v 1 F B2 = B 2 · (v 2 – v 1 ) F k1 = k 1 · x 1 F k2 = k 2 · x 2

11 Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Horizontales Sortieren I F(t) = F I3 + F Ba + F Bb F Ba = F I2 + F Bc + F B2 + F k2 F Bb + F B2 = F I1 + F Bd + F k1 F I1 = m 1 · dv 1 dt dx 1 dt = v 1 F I2 = m 2 · dv 2 dt dx 2 dt = v 2 F I3 = m 3 · dv 3 dt dx 3 dt = v 3 F Ba = B 1 · (v 3 – v 2 ) F Bb = B 1 · (v 3 – v 1 ) F Bc = B 1 · v 2 F Bd = B 1 · v 1 F B2 = B 2 · (v 2 – v 1 ) F k1 = k 1 · x 1 F k2 = k 2 · x 2 F(t) = F I3 + F Ba + F Bb F Ba = F I2 + F Bc + F B2 + F k2 F Bb + F B2 = F I1 + F Bd + F k1 F I1 = m 1 · dv 1 dt dx 1 dt = v 1 F I2 = m 2 · dv 2 dt dx 2 dt = v 2 F I3 = m 3 · dv 3 dt dx 3 dt = v 3 F Ba = B 1 · (v 3 – v 2 ) F Bb = B 1 · (v 3 – v 1 ) F Bc = B 1 · v 2 F Bd = B 1 · v 1 F B2 = B 2 · (v 2 – v 1 ) F k1 = k 1 · x 1 F k2 = k 2 · x 2

12 Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Horizontales Sortieren II F(t) = F I3 + F Ba + F Bb F Ba = F I2 + F Bc + F B2 + F k2 F Bb + F B2 = F I1 + F Bd + F k1 F I1 = m 1 · dv 1 dt dx 1 dt = v 1 F I2 = m 2 · dv 2 dt dx 2 dt = v 2 F I3 = m 3 · dv 3 dt dx 3 dt = v 3 F Ba = B 1 · (v 3 – v 2 ) F Bb = B 1 · (v 3 – v 1 ) F Bc = B 1 · v 2 F Bd = B 1 · v 1 F B2 = B 2 · (v 2 – v 1 ) F k1 = k 1 · x 1 F k2 = k 2 · x 2 F(t) = F I3 + F Ba + F Bb F Ba = F I2 + F Bc + F B2 + F k2 F Bb + F B2 = F I1 + F Bd + F k1 F I1 = m 1 · dv 1 dt dx 1 dt = v 1 F I2 = m 2 · dv 2 dt dx 2 dt = v 2 F I3 = m 3 · dv 3 dt dx 3 dt = v 3 F Ba = B 1 · (v 3 – v 2 ) F Bb = B 1 · (v 3 – v 1 ) F Bc = B 1 · v 2 F Bd = B 1 · v 1 F B2 = B 2 · (v 2 – v 1 ) F k1 = k 1 · x 1 F k2 = k 2 · x 2

13 Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Horizontales Sortieren III F(t) = F I3 + F Ba + F Bb F Ba = F I2 + F Bc + F B2 + F k2 F Bb + F B2 = F I1 + F Bd + F k1 F I1 = m 1 · dv 1 dt dx 1 dt = v 1 F I2 = m 2 · dv 2 dt dx 2 dt = v 2 F I3 = m 3 · dv 3 dt dx 3 dt = v 3 F Ba = B 1 · (v 3 – v 2 ) F Bb = B 1 · (v 3 – v 1 ) F Bc = B 1 · v 2 F Bd = B 1 · v 1 F B2 = B 2 · (v 2 – v 1 ) F k1 = k 1 · x 1 F k2 = k 2 · x 2 F(t) = F I3 + F Ba + F Bb F Ba = F I2 + F Bc + F B2 + F k2 F Bb + F B2 = F I1 + F Bd + F k1 F I1 = m 1 · dv 1 dt dx 1 dt = v 1 F I2 = m 2 · dv 2 dt dx 2 dt = v 2 F I3 = m 3 · dv 3 dt dx 3 dt = v 3 F Ba = B 1 · (v 3 – v 2 ) F Bb = B 1 · (v 3 – v 1 ) F Bc = B 1 · v 2 F Bd = B 1 · v 1 F B2 = B 2 · (v 2 – v 1 ) F k1 = k 1 · x 1 F k2 = k 2 · x 2

14 Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Horizontales Sortieren IV F(t) = F I3 + F Ba + F Bb F Ba = F I2 + F Bc + F B2 + F k2 F Bb + F B2 = F I1 + F Bd + F k1 F I1 = m 1 · dv 1 dt dx 1 dt = v 1 F I2 = m 2 · dv 2 dt dx 2 dt = v 2 F I3 = m 3 · dv 3 dt dx 3 dt = v 3 F Ba = B 1 · (v 3 – v 2 ) F Bb = B 1 · (v 3 – v 1 ) F Bc = B 1 · v 2 F Bd = B 1 · v 1 F B2 = B 2 · (v 2 – v 1 ) F k1 = k 1 · x 1 F k2 = k 2 · x 2 F I3 = F(t) - F Ba - F Bb F I2 = F Ba - F Bc - F B2 - F k2 F I1 = F Bb + F B2 - F Bd - F k1 = F I1 / m 1 dv 1 dt dx 1 dt = v 1 F Ba = B 1 · (v 3 – v 2 ) F Bb = B 1 · (v 3 – v 1 ) F Bc = B 1 · v 2 F Bd = B 1 · v 1 F B2 = B 2 · (v 2 – v 1 ) F k1 = k 1 · x 1 F k2 = k 2 · x 2 = F I2 / m 2 dv 2 dt dx 2 dt = v 2 = F I3 / m 3 dv 3 dt dx 3 dt = v 3

15 Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Sortieralgorithmus Der Sortieralgorithmus funktioniert genau gleich wie bei den elektrischen Netzwerken. Er ist völlig unabhängig vom Anwendungs- gebiet.

16 Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Referenzen Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 4.Continuous System ModelingChapter 4


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