Kapitel 21 Mehrgleichungs- Modelle: Schätzverfahren.

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1 Kapitel 21 Mehrgleichungs- Modelle: Schätzverfahren

2 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 2 Multivariate Regression Allgemeinste Form: SUR-Modell y i = X i i + u i, i = 1, …, m mit n-Vektoren y i und u i, (n x k i )-Matrix X i ; der m-Vektor u t = (u t1,…, u tm ) hat die Kovarianzmatrix Gleichungsweises Schätzen: b i = (X iX i ) -1 X i y i berücksichtigt nicht die kontemporäre Korrelation der Störgrößen

3 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 3 Multivariate Regression, Forts. In Matrixnotation mit mn-Vektoren und ũ etc. lautet das SUR-Modell oder mit

4 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 4 GLS-Schätzer für aus SUR-Modell Standardfehler erhält man aus Effizienzgewinn der GLS-Schätzung umso größer, je stärker die Störgrößen korrelieren je weniger die Regressoren korrelieren GLS-Schätzer stimmt mit b i überein, wenn X i = X für alle i u ti mit übrigen u tj, j i, unkorreliert ist

5 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 5 FGLS-Schätzer Zwei-stufiges Verfahren: 1.Schätzung der Einzelgleichungen, dann Schätzen von aus den Residuen der Einzelgleichungen 2.GLS-Schätzung unter Verwendung der geschätzten Matrix In EViews: Modellierung als System

6 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 6 Investitionsmodell Grunfeld & Griliches (1958) I = 1 + 2 F + 3 C + u mit I: Investitionen (gross investment) F: Marktwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode C: Anlagenwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode Daten für fünf Unternehmen, 1935-1954 General Motors: I = -149.78 + 0.119*F + 0.371*C, R 2 = 0.92, s e = 91.78 Chrysler: I = -6.19 + 0.078*F + 0.316*C, R 2 = 0.91, s e = 13.28 General Electric: I = -9.96 + 0.027*F + 0.512*C, R 2 = 0.71, s e = 27.88

7 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 7 Investitionsmodell, Forts. General Motors: I FGLS = -133.57 + 0.115*F + 0.376*C, R 2 = 0.92, s e = 91.86 I OLS = -149.78 + 0.119*F + 0.371*C, R 2 = 0.92, s e = 91.78 Chrysler: I FGLS = -3.27 + 0.073*F + 0.320*C, R 2 = 0.91, s e = 13.31 I OLS = -6.19 + 0.078*F + 0.316*C, R 2 = 0.91, s e = 13.28 General Electric: I FGLS = -11.96 + 0.028*F + 0.152*C, R 2 = 0.71, s e = 27.89 I OLS = -9.96 + 0.027*F + 0.152*C, R 2 = 0.71, s e = 27.88

8 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 8 Bestimmtheitsmaß Definition mit : Residuen aus FGLS-Schätzung S yy : Matrix der Stichproben-Kovarianzen Alternatives Bestimmtheitsmaß:

9 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 9 Investitionsmodell, Forts. Berechnen des Bestimmtheitsmaßes 1.Generieren der Gruppe Gr1 der Residuen aus Sys_3: Sys_3.makeresids liste_residuen 2.Berechnen der Kovarianzmatrix der Residuen aus Sys_3: matrix sig_tilde = @cov(@convert(Gr1)) 3.Analog Berechnen der Kovarianzmatrix Sig_hat der Residuen der Einzelgleichungen und der abhängigen Variablen (S yy )

10 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 10 Simultane Mehrgleichungs- Modelle: Schätzverfahren 1.Einzelgleichungs-Schätzverfahren oder Methoden bei beschränkter Information (limited information methods) Indirekte Kleinste-Quadrate-Schätzung (ILS) Zweistufige Kleinste-Quadrate-Schätzung (2SLS) ML-Schätzung bei beschränkter Information (LIML) 2.Simultane Schätzverfahren (System-Schätzmethoden) Dreistufige Kleinste-Quadrate-Schätzung (3SLS) ML-Schätzung bei voller Information (FIML)

11 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 11 Marktmodell Gesucht ist ein Schätzer für 2 aus Q = 2 P + 3 Y + u 1 (Nachfragefunktion) Q = 2 P + u 2 (Angebotsfunktion) wobei die Störgrößen kontemporär korreliert sind 1.OLS-Schätzung von 2 aus Angebotsfunktion: b 2 = (pp) -1 pq mit n-Vektoren p und q; b 2 ist verzerrt! 2.IV-Schätzer mit Hilfsvariabler Y: = (yp) -1 yq; konsistent 3.ILS-Schätzer: = p 2 /p 1 = (yp) -1 yq mit OLS-Schätzern p 1 und p 2 von 1 und 2 aus der reduzierten Form P = 1 Y + v 1 Q = 2 Y + v 2

12 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 12 Marktmodell, Forts. 4.2SLS-Schätzung: 1. Stufe: OLS-Anpassung der Hilfsvariablen = [(yy) -1 yp] y 2. Stufe: OLS-Schätzung von 2 aus Q = 2 + 2 :

13 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 13 OLS-Schätzung OLS-Schätzer der Strukturparameter eines Mehrgleichungs-Modells: im Allgemeinen weder erwartungstreu noch konsistent OLS-Schätzer sind oft eine brauchbare Alternative: Sie sind effizient, d.h. haben minimale Varianz; sie können daher – trotz der fehlenden Erwartungstreue – günstig sein Sie sind tendenziell robuster gegen nicht erfüllte Voraussetzungen als andere Verfahren OLS-Schätzer spielen eine wichtige Rolle in allen Verfahren zum Schätzen der Parameter von simultanen Mehrgleichungs- Modellen Rekursive Mehrgleichungs-Modelle: OLS-Schätzer sind asymptotisch unverzerrt, sie können auch bei endlichem n weitgehend unverzerrt sein

14 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 14 Indirekte Kleinste-Quadrate- Schätzung Erfolgt In zwei Schritten: OLS-Schätzung der Koeffizienten der reduzierten Form Berechnung der Koeffizienten der Strukturform aus den Schätzern der Koeffizienten der reduzierten Form Voraussetzung: Die Gleichung, deren Koeffizienten geschätzt werden, muss identifizierbar sein

15 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 15 2SLS-Schätzung Die Koeffizienten der i-ten Gleichung y i = X i i + u i = Y i i + Z i i + u i sollen geschätzt werden; Y i : (n x (m i -1))-Matrix der endogenen Variablen, Z i : (n x K i )-Matrix der vorherbestimmten Variablen 2SLS-Schätzung erfolgt in zwei Schritten: 1.Berechnen der Hilfsvariabeln Ŷ i mit Hilfe der OLS-Schätzung der Regressionskoeffizienten der reduzierten Form Y i = Z ( ') i + V i 2.Berechnen der Schätzer durch OLS-Anpassung von y i = i + u i mit = (Ŷ i Z i )

16 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 16 Markt für Schweinefleisch Q = 1 + 2 P + 3 Y + u 1 (Nachfragefunktion) Q = 1 + 2 P + 3 Z + u 2 (Angebotsfunktion) Endogen: Q, P ; exogen: Y, Z 2SLS-Schätzung: 1.Stufe: = 11.2 + 0.008Y + 0.728Z [t(Y)=1.41, t(Z)=11.19; R 2 =0.89] = 16.1 + 0.046Y – 0.236Z [t(Y)=6.50, t(Z)=2.96; R 2 =0.73] 2.Stufe: = 60.9 – 3.088P + 0.149Y [t(P)=11.2, t(Y)=11.7; R 2 =0.89] = 8.32 + 0.177P + 0.770Z [t(P)=1.41, t(Z)=11.8; R 2 =0.89]

17 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 17 Markt für Schweinefleisch, Forts. Vergleich von OLS-, ILS-, und 2SLS-Schätzung NachfrageAngebot PYPZ OLS-1.410.08-0.030.77 ILS-3.090.150.180.77 2SLS-3.090.150.180.74

18 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 18 2SLS-Schätzer: Eigenschaften Voraussetzung dafür, dass i-te Gleichung schätzbar ist: Identifizierbarkeit der i-ten Gleichung Abzählbedingung: Anzahl der aus der Gleichung ausgeschlossenen, vorherbestimmten Variablen (K-K i ) ist mindestens so groß wie die um Eins verminderte Zahl der endogenen Variablen (m i -1) Also: die Anzahl der als Instrumente in Frage kommenden, vorherbestimmten Variablen muss mindestens so groß sein wie die Anzahl der endogenen Variablen, die durch Hilfsvariable zu ersetzen sind Eigenschaften: 2SLS-Schätzer sind 1.konsistent 2.asymptotisch normalverteilt

19 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 19 LIML-Schätzung ML-Schätzung bei beschränkter Information (limited information ML oder LIML-Schätzung) Die ältere, aufwendigere LIML-Schätzung ist durch die 2SLS-Schätzung weitgehend verdrängt Ähnliche Eigenschaften: Beide Schätzer sind konsistent und asymptotisch effizient Die Schätzer der Koeffizienten einer Gleichung stimmen überein, wenn die Gleichung exakt identifiziert ist

20 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 20 Schätzer bei voller Information Die 2SLS-Schätzung ignoriert die kontemporäre Korrelation der Störgrößen Schätzmethoden bei voller Information (full information methods): Das Berücksichtigen der kontemporären Korrelation macht die Schätzung der Koeffizienten einer Gleichung effizienter, da sie Information verwendet, die in allen anderen Gleichungen zu den Parametern dieser Gleichung enthalten ist 3SLS-Schätzung: Erweiterung des 2SLS-Schätzers im Sinn der FGLS- Schätzung; vergleiche die SUR-Schätzer

21 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 21 3SLS-Schätzung Die m Gleichungen des Modells werden geschrieben als oder mit

22 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 22 3SLS-Schätzung 3SLS-Schätzung erfolgt in drei Schritten: Berechnen für jede Gleichung 1.Hilfsvariable 2.2SLS-Schätzer und 3.2SLS-Residuen Berechnen von mit Ermitteln der 3SLS-Schätzer als FGLS-Schätzer für

23 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 23 3SLS-Schätzer: Eigenschaften Voraussetzung: Identifizierbarkeit aller Gleichungen Eigenschaften: 3SLS-Schätzer sind 1.konsistent 2.asymptotisch normalverteilt 3SLS-Schätzer stimmen mit 2SLS-Schätzer überein, wenn Alle Gleichungen exakt identifizierbar sind diagonal ist, die Störgrößen als kontemporär unkorreliert sind

24 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 24 Markt für Schweinefleisch, Forts. Vergleich von 2SLS- und 3SLS-Schätzung 3SLS-Schätzer stimmen gut mit 2SLS-Schätzern überein: beide sind konsistente Schätzer Die größeren t-Statistiken weisen auf höhere Effizienz der 3SLS- Schätzer hin NachfrageAngebot PYPZ 2SLS-3.090.150.180.74 t-Stat3.493.671.2210.16 3SLS-3.090.150.180.74 t-Stat3.793.981.3211.02

25 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 25 Weitere Schätzer bei voller Information Iterative 3SLS-Schätzung Iteratives Berechnen der Hilfsvariablen und Residuen (1.Stufe) FIML-Schätzung (full information ML): unterstellt normalverteilte Störgrößen, ermittelt Schätzer der Strukturparameter durch Maximieren der Likelihood-Funktion in Bezug auf Elemente von A und FIML-Schätzer sind konsistent asymptotisch normalverteilt asymptotisch äquivalent den 3SLS-Schätzern In EViews: 3SLS- und FIML-Schätzer