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1 Anhang A: Binährzahlen A.1 Zahlen mit endlicher Genauigkeit A.2 Basiszahlensysteme A.3 Umwandlung von einer Basis in eine andere A.4 Negative Binärzahlen.

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1 1 Anhang A: Binährzahlen A.1 Zahlen mit endlicher Genauigkeit A.2 Basiszahlensysteme A.3 Umwandlung von einer Basis in eine andere A.4 Negative Binärzahlen In dieser Vorlesung nur angedeutet: A.5 Binärarithmetik 3. Oktober 2007 B.1 Grundlagen der Gleitkommaarithmetik B.2 IEEE-Standard 754 für Gleitkommaarithmetik Anhang B: Gleitkommazahlen

2 2 A.1 Zahlen mit endlicher Genauigkeit Computer benutzen andere Arithmetik als Menschen Die Physiker sagen: Es gibt 10 hoch 78 Elektronen im Universum… Die Chemiker sagen: … Die Philosophen sagen: … Die Mathematiker sagen: … Die Sportreporter sagen: … Die Computer sagen (mindestens die heutige hardware…): ich benötige Zahlen mit endlicher Genauigkeit (32 bit, 64 bit oder was auch immer) Beispiel: Menge der positiven drei Dezimalziffern Die Menge hat genau 100 Mitgliedern: 000, 001, …, 999 Bestimmte Zahlenarten können nicht ausgedrückt werden: Zahlen, die grösser sind als 999 Negative Zahlen … Die Arithmetik ist nicht geschlossen: = 1200 (zu gross) = -2 (negativ) … Auch die Algebra ist anders: a + (b - c) = (a + b) - c (mit a=700, b=400, c=300 ist a+b zu gross, nicht aber a+(b-c))

3 3 A.2 Basiszahlensysteme (1/3) Natürliche Basiszahl führ viele Menschen: 10 Natürliche Basiszahl führ heutige Computer: 2, 8, 16, …: ABCDEF …

4 4 A.2 Basiszahlensysteme (2/3)

5 5 A.2 Basiszahlensysteme (3/3)

6 6 A.3 Umwandlung von einer Basis in eine andere (1/2)

7 7 A.3 Umwandlung von einer Basis in eine andere (2/2)

8 8 A.4 Negative Binährzahlen (1/5) 1. Grössendarstellung mit Vorzeichen (Signed Magnitude) Das 1. Bit ist das Vorzeichen (0=positiv, 1=negativ) 2. Einerkomplement (ones complement) Das 1. Bit ist das Vorzeichen (0=positiv, 1=negativ) Alle 1 werden durch 0 ersetzt und alle 0 durch 1 » 3. Zweierkomplement (twos complement) Das 1. Bit ist das Vorzeichen (0=positiv, 1=negativ) Alle 1 werden durch 0 ersetzt und alle 0 durch 1 Anschliessend wird 1 zum Ergebniss addiert 4. 2 m-1 Ueberschuss (excess 2 m-1 ) Die Zahl wird als « sich selbst + 2 m-1 » gespeichert Bemerkungen (1) und (2) haben zwei Darstellungen für das 0 ! (3) und (4) haben nicht gleichviele positive wie negative Zahlen ! (3) und (4) sind identisch, bis zum Vorzeichenbit das umgedreht ist ! Bei allen Darstellungen ist das 1. Bit das Vorzeichen

9 9 A.4 Negative Binährzahlen (2/5) Grössendarstellung mit Vorzeichen Einerkomplement

10 10 A.4 Negative Binährzahlen (3/5) Zweierkomplement

11 11 A.4 Negative Binährzahlen (4/5) m-1 Ueberschuss

12 12 A.4 Negative Binährzahlen (5/5)

13 13 A.5 Binärarthmetik

14 14 A.5 Binärarthmetik

15 15 B.1 Grundlagen der Gleitkommaarithmetik (1/3)

16 16 B.2 IEEE-Standard 754 für Gleitkommaarithmetik (1/3) n = f * 10 e mit 0.1 |f| < 1


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