Einführung in die betriebliche Finanzierung II GK II Corporate Finance, GK II Internationale Finanzierung WS 09/10 o.Univ.-Prof. Dr. Stefan Bogner Priv.

Einführung in die betriebliche Finanzierung II GK II Corporate Finance, GK II Internationale Finanzierung WS 09/10 o.Univ.-Prof. Dr. Stefan Bogner Priv. Doz. Dr. Thomas Nagel Univ.-Ass. Dr. Margarethe Rammerstorfer Priv. Doz. Dr. Markus Schwaiger Institute for Corporate Finance (Department of Finance and Accounting) Der Erwerb dieser Folien kann nicht den Besuch der Lehrveranstaltung/das Studium der angegebenen Literatur ersetzen!

SBWL-Corporate Finance
Empfohlene Kursreihenfolge: 1. Semester-SBWL: Grundkurs I und II 2. Semester-SBWL: I, II, III und IV 3. Semester-SBWL: Vertiefungskurse V und VI

Grundkurs I+II - Allg. Informationen
Inhaltliche Voraussetzungen Beherrschen des Stoffes aus Finanzierung I (bzw. Investition & Finanzierung I) und Finanzierung II Erwerb eines Zeugnisses - Anforderungen 75% der Note (= maximal 120 Punkte) ergeben sich aus den erreichten Punkten bei den beiden Klausuren. In den beiden Klausuren müssen insgesamt mindestens 60 Punkte (= 50% der Gesamtpunkte) erreicht werden. 25% der Note werden durch das Vorbereiten der in den Beispielskripten der GKs I und II enthaltenen Übungsbeispiele erworben (Bekanntgabe durch Ankreuzen vor der jeweiligen Einheit). Für jedes angekreuzte Beispiel gibt es 1 Punkt, d.h. maximal 40 Punkte sind möglich (GKs I und II gemeinsam), davon müssen mindestens 20 erreicht werden. Unter jenen Studierenden, die ein Beispiel angekreuzt haben, wird jeweils zufällig eine/r aufgefordert, dieses Beispiel zu präsentieren. Stellt der LV-Leiter fest, dass der/die Studierende das Beispiel nicht hinreichend bearbeitet hat, hat dies beim ersten Mal den Verlust von 20% aller in den GKs I und II erworbenen Punkte zur Folge, beim zweiten Mal eine negative Beurteilung beider Grundkurse. Im Krankheitsfall müssen die durchgerechneten Beispiele vor der jeweiligen Präsentationseinheit vorab per (oder persönlich) an den LV-Leiter übermittelt werden, um Punkte zu erhalten.

Klausuren Termine: Grundkurs I: , 13:00 – 14:00 Uhr Audi Max Grundkurs II: , 11:00 – 12:00 Uhr Ersatzklausur Grundkurs I: , 10:00 – 11:00 Uhr Ersatzklausur Grundkurs II: , 11:30 – 12:30 Uhr Erlaubte Hilfsmittel: auf der Website in der Positivliste aufgezählte Taschenrechner!

Mathematik-Repetitorium: und , 17:00 – 19:00 Uhr, S1 (H46) GK I-Klausur-Repetitorium: , 15:30 – 17:30, H.3.31 , 15:30 – 17:00, H.2.24 GK II-Klausur-Repetitorium: , 11:00 – 13:00, H.4.40 , 13:00 – 15:00, S1 (H46) Tutor-Sprechstunde: jeweils montags und mittwochs von 14:00 – 15:00 Uhr im Meeting-Raum 1 (H46) ab

Grundkurs II Kernliteratur: Vertiefungsliteratur:
Kruschwitz, Lutz: Finanzierung und Investition, 3. Aufl., Oldenbourg, München / Wien 2002. Franke, Günter/ Hax, Herbert : Finanzwirtschaft des Unternehmens und Kapitalmarkt, 4. Aufl., Springer-Verlag Berlin et. al. 1999 Vertiefungsliteratur: Swoboda, Peter: Betriebliche Finanzierung, 3. Aufl., Physica Verlag Heidelberg 1994. Steiner, Peter/ Uhlir, Helmut: Wertpapieranalyse 4. Aufl., Physica Verlag Heidelberg 2000. Hull: Optionen, Futures und andere Derivate 6. Aufl., Pearson Verlag München 2006

Grundkurs II - Übersicht
5. Der Marktwert als Beurteilungsmaßstab 6. Capital Asset Pricing Modell (CAPM) 7. Optionspreistheorie 8. Theorie der Zinsstruktur

5. Der Marktwert als Beurteilungsmaßstab - Übersicht
A. Die Bedeutung des Kapitalmarkts B. Marktwert und Nutzenmaximierung C. Arbitragefreie Märkte D. Wertadditivität E. Theorem von der Irrelevanz der Finanzierung

5. Der Marktwert als Beurteilungsmaßstab
A. Die Bedeutung des Kapitalmarkts Zusammenhänge zwischen Gütermarkt, Geld- und Kapitalmarkt: Ausgleich Geldangebot und -nachfrage => Rendite über Inflationsrate Geld- und Kapitalmarkt: Fülle von Anlagemöglichkeiten (z.B. Finanzierungstitel auf Sekundärmarkt) Nur Titelemittenten, deren Projekte attraktivste Verzinsung versprechen, erhalten Geld von Investoren: Geld wird den „produktivsten“ Verwendungen zugeführt Kapitalmarkt verhindert unrentable Investitionen Unternehmen auf Gütermärkten erfolgreich => Vermutung der Investoren: Auch zukünftig interessante Anlage

A. Die Bedeutung des Kapitalmarkts Bedingungen für funktionierenden Allokationsmechanismus des Kapitalmarkts: Preisbildung nicht verzerrt Mindestmaß an Information über Unternehmenserfolg auf Gütermärkten Kapitalmarkt erlaubt Risiken aus Realinvestitionen zu hedgen: Bedeutung: Risiken durch negativ korrelierte Risiken zu neutralisieren Solche Finanztransaktionen haben versicherungsähnliche Wirkungen Wichtigste Beispiele: Terminkontrakte und Optionen

A. Die Bedeutung des Kapitalmarkts Hauptarbeitsgebiet der Kapitalmarktforschung: Preisbildung auf Kapitalmarkt. Für Unternehmen wichtig, da Preisbildung Konditionen für Geldbeschaffung bestimmt. Für Investor wichtig, da am Kapitalmarkt erzielbare Rendite davon abhängt.

B. Marktwert und Nutzenmaximierung Investitionsentscheidungen unter Risiko: Vergleichende Beurteilung unsicherer zukünftiger Zahlungsströme Alternative zu subjektiven Risikopräferenzen: Marktwerte Optimales Investitionsprogramm = marktwertmaximale Lösung Beispiel:

B. Marktwert und Nutzenmaximierung Indifferenzkurven zur Beurteilung unsicherer Zahlungen Investitionsprogramm B präferiert, da Nutzen ↑ als bei IP A x2 x1 A B

B. Marktwert und Nutzenmaximierung Annahme: Markt für zustandsabhängige Zahlungsansprüche existiert Der Preis eines beliebigen Zahlungsanspruches in Höhe von einer Geldeinheit im Zustand Zs sei mit s bezeichnet. Marktpreise der beiden Investitionsprogramme: A: 0,3  ,6  400 = 270 B: 0,3  ,6  200 = 225 Investitionsprogramm A wird präferiert Widerspruch zwischen Marktwertmaximierung und Maximierung der individuellen Präferenzen?

B. Marktwert und Nutzenmaximierung Indifferenzkurven und Marktgeraden zur Beurteilung unsicherer Zahlungen Investitionsprogramm A präferiert; A besitzt gleichen Marktwert wie A´; Nutzen von IP A´ ↑ IP B A´> B nach Nutzenkalkül und Marktwertorientierung x2 A A´ B x1

C. Arbitragefreie Märkte Das Prinzip der Arbitragefreiheit Vollkommener Kapitalmarkt: Keine Informations- und Transaktionskosten Keine Steuern Alle Wertpapiere beliebig teilbar Auf Kapitalmärkten nur Zahlungsströme beurteilt Einfachster Fall einer Arbitrage: Arbitrageur kauft Gut von Geschäftspartner und verkauft es gleichzeitig zu höherem Preis an anderen Geschäftspartner Differenz zwischen Ein- und Verkaufspreis: Arbitragegewinn Jeder Arbitragegewinn bedingt gleich hohen Verlust anderer

C. Arbitragefreie Märkte Das Prinzip der Arbitragefreiheit Vollkommener Kapitalmarkt Jeder Akteur über alles informiert! Niemand akzeptiert freiwillig Arbitrageverlust => weder Arbitrageverluste noch -gewinne möglich Konsequenz: „Gesetz des Einheitspreises“ Gleichgewicht nur dann, wenn Arbitragefreiheit besteht Kurzzeitig auftretende Arbitragemöglichkeiten durch Ausnutzung sofort beseitigt => Rückkehr zum Gleichgewicht

C. Arbitragefreie Märkte Arbitragegelegenheit bei Sicherheit Folgende Warenkörbe werden auf Obstmarkt angeboten: Folgende Arbitrage („free lunch“) möglich: Kauf von zwei Körben von Händler 3 und Verkauf von je einem Korb zu Konditionen von Händler 1 bzw. Händler 2 Kauf und Verkauf von 10 Äpfel und Birnen => Ausgaben: 16; Erlöse: 17 Arbitragegewinn: 1 Portefeuille besteht aus: +2 Einheiten (long) Körbe vom Händler 3 und Einheiten (short) Körbe der Händler 1 und 2.

C. Arbitragefreie Märkte Arbitragegelegenheit bei Sicherheit Obstmarkt arbitragefrei, wenn Preis von Händler 3 8,50 Jeder andere Preis bietet Arbitragegelegenheit. Bei Sicherheit sind auf Kapitalmärkten (beurteilt werden nur Zahlungsströme) Arbitragemöglichkeiten nur bei mehrperiodigen Finanzierungstitel bzw. Investitionsprojekten realistisch. Beispiel: Folgende sichere Anleihen werden auf Kapitalmarkt gehandelt:

C. Arbitragefreie Märkte Das Prinzip der Arbitragefreiheit Prinzip der Arbitragefreiheit auch bei Bewertung stochastischer Zahlungsströmen anwendbar Beispiel:

C. Arbitragefreie Märkte Das Prinzip der Arbitragefreiheit Folgende Arbitrage ist nun möglich: Verkauf Wertpapier 1 zu t = 0 (Kreditaufnahme: 0,90); Rückzahlung zu t = 1 von 1 (=>Wertpapier 1 „short“) Gleichzeitig Kauf der Wertpapiere 2 und 3 (Kosten 0,60 + 0,28 = 0,88); sicherer Rückfluss von 1 (=>Wertpapier 2 und 3 „long“) t=0: Portefeuille wirft Einzahlungsüberschuss von 0,02 ab; t=1: In beiden Zuständen entsprechen die Ein- den Auszahlungen Gleichgewicht: Wertpapier 1 kostet gleichviel wie die Wertpapiere 2 und 3 zusammen. => Portefeuilles und Wertpapiere, die in Zukunft denselben (stochastischen) Zahlungsstrom abwerfen, müssen gleich viel kosten.

C. Arbitragefreie Märkte Das Prinzip der Arbitragefreiheit (formuliert für einen zukünftigen Zeitpunkt.) Kapitalmarkt aus m Wertpapieren (i = 1, ..., m) Endliche Zahl S von Zuständen (s = 1, ..., S) (zwei Zeitpunkte t = 0; t = 1) xis: Einzahlungsüberschuss eines Stückes des i-ten Wertpapiers im Zustand s; pi: Heutiger Preis des Wertpapiers Auf einem vollkommenen Kapitalmarkt gilt das Prinzip der Arbitragefreiheit dann und nur dann, wenn nichtnegative Preise ps für zustandsabhängige Ansprüche existieren, so dass für jedes Wertpapier gilt (Farkas-Lemma): Wenn mehr Zustände als Wertpapiere (S>m): Preise für zustandsbedingte Ansprüche nicht eindeutig => Markt ist unvollständig

C. Arbitragefreie Märkte Das Prinzip der Arbitragefreiheit Dieses Bewertungsprinzip gilt nicht nur für jedes Wertpapier, sondern auch für jedes Portefeuille. So gilt für den Preis pf eines aus den Wertpapieren i und h bestehenden Portefeuilles f: Arbitragefreier Markt => Wertadditivität (siehe später)

C. Arbitragefreie Märkte Das Prinzip der Arbitragefreiheit Deterministische Welt: ps ist Abzinsungsfaktor für den Zeitpunkt s. Kapitalmarkt ist arbitragefrei, wenn für alle Wertpapiere dieselben Abzinsungsfaktoren gelten. Stochastischen Welt: Gemäß Lemma werden Wertpapierpreise ebenfalls durch Addition der zustandsbedingten Einzahlungsüberschüsse, multipliziert mit den Preisen ps, ermittelt. Unter diesen Prämissen entspricht Aktienkurs dem Kapitalwert der zukünftigen Ausschüttungen.

C. Arbitragefreie Märkte Das Prinzip der Arbitragefreiheit Diese Betrachtungsweise ist Grundlage der gesamten Kapitalmarktforschung. Verschiedene Modelle unterscheiden sich lediglich in der Erklärung der Preise ps. Stärke des Prinzips der Arbitragefreiheit: Keine Annahmen über Risikoeinstellung der Investoren notwendig => Bewertung nach Farkas-Lemma = präferenzfrei Arbitragefreiheit bei vollkommenen Kapitalmarkt => Wertadditivität => Irrelevanz der Finanzierungspolitik Terminkontrakte und Optionen lassen sich nach dem Prinzip der Arbitragefreiheit bewerten (siehe später).

D. Wertadditivität Addition zweier Positionen zu einer dritten => Marktwert dieser dritten Position = Summe der Marktwerte der beiden ersten Positionen Steht X für den Vektor, der die Einzahlungen in allen Zuständen beschreibt mit X = (x1, x2, ..., xs ..., xS) und steht V(X) für die Bewertungsfunktion, so ist Wertadditivität gegeben, wenn folgende Voraussetzung gilt:

D. Wertadditivität Ergebnis ist unabhängig davon, ob X1 und X2, die Zahlungsströme der beiden Projekte (Unternehmen), positiv oder negativ miteinander korreliert sind => Risikomischungseffekten haben keinen Einfluss. Synergieeffekte haben ebenfalls keinen Einfluss auf die Wertadditivität. Von Risikomischungseffekten sind Synergieeffekte zu unterscheiden: Positiver Synergieeffekt: Zahlungsstrom des durch Fusion entstehenden Unternehmens (X3) ist günstiger als Summe der Zahlungsströme der in die Fusion eingehenden Unternehmen (z.B. durch Economies of Scale)

D. Wertadditivität Konsequenzen für Investitionsentscheidungen: XU: Zahlungsstrom, den das Unternehmen ohne das zusätzliche Investitionsprogramm erzielen kann Xp: Zusätzliche Zahlungsströme durch das Investitionsprogramm Bei Wertadditivität gilt dann: V(XU) gegeben => Marktwert der Unternehmung wird erhöht, wenn V(XP) positiv Besteht Investitionsprogramm aus mehrere Projekten mit Zahlungsstromvektoren Xi mit gilt unter Wertadditivität auch

D. Wertadditivität Konsequenzen für Investitionsentscheidungen: Daraus folgen 2 Entscheidungsregeln: Investitionsprojekte unabhängig voneinander durchführbar => jedes Projekt mit positivem Marktwert des Zahlungsstroms ist anzunehmen Bei Projekten, die sich gegenseitig ausschließen, ist dasjenige mit dem höchsten Marktwert auszuwählen (soweit dieser positiv ist). Die Zerlegung einer Programmentscheidung in Einzelentscheidungen über Projekte ist eine wesentliche Vereinfachung, wenn zwischen den Zahlungsströmen der Projekte stochastische Abhängigkeiten bestehen!

D. Wertadditivität Implikationen für die Finanzierung: Irrelevanz der Finanzierung: Marktwert der Unternehmung unabhängig von Aufteilung der Zahlungsströme aus dem Investitionsprogramm auf die Finanziers Separation von Investition und Finanzierung: Finanzierungsentscheidung ändert Marktwert der Unternehmung nicht => Investitionsprogramm, das den Marktwert des Unternehmens maximiert, bei jeder Finanzierungsweise dasselbe

E. Verallgemeinertes Theorem von der Irrelevanz der Finanzierung: Wird Investitionsprogramm eines Unternehmens so festgelegt, dass der Marktwert maximiert wird, dann beeinflusst eine Änderung seiner Finanzierungsweise bei vollkommenen Kapitalmarkt weder sein Investitionsprogramm noch seinen Marktwert noch den finanziellen Nutzen eines Kapitalgebers. Ein Kapitalmarkt ist vollkommen, wenn gilt: keine Informationskosten, Transaktionskosten und differenzierenden Steuern; alle Wertpapiere sind beliebig teilbar; gleicher Marktzugang für alle

6. Capital Asset Pricing Modell (CAPM) - Übersicht
A. Grundlagen des CAPM B. Beispiel C. Bewertung riskanter Zahlung mit Hilfe des CAPM D. Die Anwendbarkeit des CAPM in der Praxis

6. Capital Asset Pricing Modell (CAPM)
A. Grundlagen des CAPM Grundlage des CAPM: Ergebnisse der Portefeuilleoptimierung Risikolose Veranlagung möglich: Jeder einzelne hält Kombination aus sicherer Anlage und einem Portefeuille aus riskanten Wertpapieren P* Wenn alle Anleger gleiche Erwartungen (Vorstellungen über erwartete Renditen, Varianzen und Kovarianzen) haben => kommen alle zum gleichen Ergebnis hinsichtlich P*, der Zusammensetzung des Portefeuilles aus riskanten Wertpapieren. Anlageentscheidung unterscheidet sich nur durch Aufteilung in risikolose Wertpapiere : Portefeuille aus riskanten Wertpapieren P*

A. Grundlagen des CAPM Wenn alle zwar in unterschiedlichem Umfang, aber in gleicher Weise zusammengesetzt, das Portefeuille P* halten wollen, muß im Marktgleichgewicht die Zusammensetzung des Portefeuilles P* mit der des Marktportefeuilles PM übereinstimmen. P* = PM : notwendige Bedingung, damit Markt geräumt wird Einige Symbole: r Zinssatz für sichere Anlage M Erwartungswert der Rendite des Marktportefeuilles M Standardabweichung der Rendite des Marktportefeuilles wM Anlageanteil im Marktportefeuille (1 - wM) .... Anlageanteil im sicheren Wertpapier

A. Grundlagen des CAPM Rendite m und Standardabweichung s eines Portefeuilles aus risikoloser Anlage und Marktportefeuille: Grafische Darstellung aller effizienten (, )-Kombinationen  Kapitalmarktlinie 

A. Grundlagen des CAPM Einige Symbole: i Erwartungswert der Rendite des i-ten Wertpapiers CiM ... Kovarianz zwischen den Renditen des i-ten Wertpapiers und des Marktportefeuilles ... Beta des Wertpapiers i (=Maßstab für das systematisches Risiko) ... Risikoprämie des Wertpapiers i ... Risikoprämie des Marktportefeuilles

A. Grundlagen des CAPM Im Gleichgewicht ist Marktportefeuille mit der Zusammensetzung (w1M, ..., wmM) ein effizientes Portefeuille und erfüllt folglich: Multipliziert man jede dieser Gleichung mit wiM und summiert sie dann auf, erhält man:

A. Grundlagen des CAPM Wegen kann zu vereinfacht werden und man erhält

A. Grundlagen des CAPM Wertpapiermarktlinie, graph. Darstellung μi M μM μM-r r βM=1 βi 1

B. Beispiel Für das bekannte Beispiel (vgl. Kapitel 4) sind die Anteile des i-ten Wertpapiers im Marktportefeuille, die erwartete Rendite und die Varianz des Marktportefeuilles sowie die Beta-Werte und Risikoprämien des i-ten Wertpapiers anzugeben.

B. Beispiel

B. Beispiel Darstellung im (mi, bi)-Diagramm mi bi

C. Bewertung riskanter Zahlung mit Hilfe des CAPM Formel der Wertpapiermarktlinie ermöglicht Ableitung einer Bewertungsfunktion für einen einperiodigen Betrachtungs-zeitraum an dessen Ende riskante Zahlungen stehen. Zu diesem Zweck muß der Zusammenhang zwischen dem Betrag der riskanten Zahlungen und der Rendite der riskanten Zahlungen gefunden werden. Einige Symbole:

C. Bewertung riskanter Zahlung mit Hilfe des CAPM

C. Bewertung riskanter Zahlung mit Hilfe des CAPM Durch Division der Risikoprämie des Marktportefeuilles durch die Varianz seiner Rendite, erhält man den Marktpreis des Risikos, g: Gemäß der Wertpapiermarktlinie muß aber gelten woraus folgt.

C. Bewertung riskanter Zahlung mit Hilfe des CAPM Aus der Definition der Kovarianzen läßt sich ableiten. Unter Verwendung der Wertpapiermarktlinie erhält man dann Damit hat man die dem CAPM entsprechende Bewertungsfunktion in zwei Varianten:

C. Bewertung riskanter Zahlung mit Hilfe des CAPM Zwei Wege um den Marktwert der riskanten Zahlungen zu bestimmen: Diskontierung des Erwartungswerts der Zahlung mit einem Satz der um den Risikozuschlag gCim über dem Zinssatz r liegt Reduzierung des Erwartungswerts der Zahlung um die Risikoprämie gCxiM und Diskontierung mit dem risikolosen Zinssatz r Negative Kovarianzen: Statt Risikozuschlag erfolgt Risikoabschlag beim Zins und statt xi zu reduzieren wird xi erhöht. Erkenntnis aus dem CAPM: Höhe des Risikozuschlags von der Kovarianz zwischen dem Projekt und dem Marktportefeuille abhängig

C. Bewertung riskanter Zahlung mit Hilfe des CAPM Projekt erhöht Marktwert des Unternehmens, wenn Marktwert der riskanten zukünftigen Zahlungen größer ist als die zu t = 0 erforderlichen Investitionsausgaben Notwendige Daten zur Beurteilung eines Investitionsprojektes: Erwartungswert xi der damit verbundenen Zahlungen Kovarianz CxiM

D. Die Anwendbarkeit des CAPM in der Praxis Voraussetzung zur Anwendung des CAPM ist: Bewertungsfunktion ändert sich nicht durch das zusätzliche Investitionsprojekt. (Bei kleinem Anteil der Wertpapiere am Marktportefeuille ist Änderung von g über mM und m2 durch xi und CiM vernachlässigbar.) Bewertungsfunktion gilt für einperiodige Investitionen; CAPM aber auf mehrere Perioden erweiterbar Marktteilnehmer entscheiden nach dem (m, )-Prinzip. Homogene Erwartungen aller Kapitalanleger => alle Kapitalanleger halten das identische Teilportefeuille aus unsicheren Wertpapieren (Widerspricht offensichtlich den realen Tatsachen)

D. Die Anwendbarkeit des CAPM in der Praxis Implikationen des CAPM Alle Investoren betreiben perfekte Diversifikation. Je höher das Marktrisiko (Beta, systematische Risiko) eines Finanztitels ist, um so größer sollte die Rendite sein. Risiko, das nicht Marktrisiko darstellt (unsystematisches, diversifizierbares Risiko), bringt keinen zusätzlichen Ertrag.

D. Die Anwendbarkeit des CAPM in der Praxis Diversifikationsverhalten der Investoren In der Praxis hält nicht jeder Investor ein perfekt diversifiziertes Portefeuille. Ist das CAPM daher widerlegt? Demonstration des Diversifikationseffekts durch das Beispiel der naiven Diversifikation: Die Renditen aller riskanten Finanztitel besitzen die gleiche Varianz s2*. Die Kovarianzen zwischen den Renditen der riskanten Finanztitel C* sind alle gleich. Die Investoren betreiben eine einfache (=naive) Politik: Der Anteil wj am Portefeuille des j-ten Finanztitel (j = 1, ..., J) beträgt wj = 1/J.

D. Die Anwendbarkeit des CAPM in der Praxis Diversifikationsverhalten der Investoren Die Varianz des Portefeuilles beträgt dann: Durch Vereinfachen erhält man

D. Die Anwendbarkeit des CAPM in der Praxis Risikominderung durch Diversifikation Portefeuille aus wenigen Wertpapieren ermöglicht Beseitigung eines Großteils des unsystematischen Risikos. C* J s2* 1 10

D. Die Anwendbarkeit des CAPM in der Praxis Empirische Tests von Rendite-Risiko-Strukturen Ex-ante-Version des CAPM Ex-post-Version des CAPM beinhaltet folgende Annahmen: Die tatsächlich realisierten Renditen sollten den erwarteten Renditen entsprechen Der Kapitalmarkt ist stationär, d. h. die Verteilungsfunktion der Renditen ändert sich im Zeitablauf nicht Die Verteilungsfunktionen sind zeitlich voneinander unabhängig, d.h. es können keine Schlüsse aus vergangenen Kursdaten auf künftige Renditen gezogen werden.

D. Die Anwendbarkeit des CAPM in der Praxis Empirische Tests von Rendite-Risiko-Strukturen Die ex-post-Version des CAPM lautet dann rjt Rendite des j-ten Titels im Zeitintervall t - 1 bis t rft risikoloser Zinssatz im Zeitintervall t - 1 bis t rmt Rendite des Marktportefeuilles im Zeitintervall t - 1 bis t j C[rjt, rmt]/s2[rmt] jt nicht beobachtbarer Störterm mit E[jt] = 0. Linearität zwischen Rendite und Risiko nur noch im Durchschnitt und von Störterm überlagert

D. Die Anwendbarkeit des CAPM in der Praxis Empirische Tests von Rendite-Risiko-Strukturen Andere Schreibweise der ex-post-Version des CAPM: Falls das CAPM gültig ist, darf man folgende Testresultate erwarten: 0 sollte näherungsweise Null sein. 1 sollte der Differenz zwischen der erwarteten Marktrendite und dem erwarteten risikolosen Zinssatz E[rm- rf]. j sollte der einzige Faktor sein, der die Differenz rjt - rft und damit die zu erwartende Rendite des j-ten Titels erklärt. Die Beziehung sollte in Bezug auf Beta linear sein. Über einen langen Zeitraum sollte E[rm] > E[rf] sein.Wenn man in das Marktportefeuille investiert, müßte man mit einer positiven Prämie rechnen können.

D. Die Anwendbarkeit des CAPM in der Praxis Ergebnisse empirischer Tests von Rendite-Risiko-Strukturen (US-Märkte): 0 ist signifikant größer als Null 1 ist signifikant kleiner als es das CAPM voraussagt. Finanztitel mit kleinem Beta versprechen daher höhere Renditen als man das nach dem CAPM erwarten kann und Finanztitel mit großem Beta rentieren sich nicht so stark wie nach dem CAPM erwartet.

D. Die Anwendbarkeit des CAPM in der Praxis Ergebnisse empirischer Tests von Rendite-Risiko-Strukturen (US-Märkte): Beta ist nicht der einzige Risikofaktor, der die Rendite riskanter Finanztitel erklärt (Beta dominiert aber die anderen Faktoren). Anpassungstests ergeben, dass zwischen den Renditen und Beta ein annähernd linearer Zusammenhang besteht. 1 ist regelmäßig positiv. Zumindest auf lange Sicht gilt E[rm] > E[rf].

D. Die Anwendbarkeit des CAPM in der Praxis Ergebnisse empirischer Tests von Rendite-Risiko-Strukturen (US-Märkte): Weitere Faktoren, die die Rendite riskanter Finanztitel beeinflussen: Aktien von Unternehmen mit kleinem KGV, von kleinen Unternehmen, von Unternehmen mit hoher Markt- zu Buchwertrelation und von Unternehmen mit hohen Dividenden erbrachten höhere Renditen als mit dem CAPM vereinbar ist. Darüberhinaus gibt es noch Saisoneffekte, die mit der Grundversion des CAPM nicht erklärbar sind.

E. Parameterschätzung im CAPM Risikoloser Zinssatz Eine Möglichkeit basiert auf der Verwendung von aktuell gehandelten Staatsanleihen, wobei die Laufzeit der verwendeten Anleihe dem „Bewertungshorizont“ entsprechen sollte. Eine andere Möglichkeit besteht in der Kalkulation eines langfristigen Durchschnittszinses aus den historischen Renditen von Staatsanleihen. Geometrisches Mittel (unterstellt Wiederveranlagung der realisierten Renditen und somit die Berücksichtigung von Zinseszinsen) / arithmetisches Mittel (Vernachlässigung von Zinseszinsen) Rendite des Marktportfolios Marktportfolio: Portfolio aller handelbarer, risikobehafteter Anlagen Approximation durch einen Marktindex, Wahl des Marktindex vom zu bewertenden Investitionsprojekt abhängig Ein mögliches Verfahren zur Schätzung der Marktrendite basiert auf dem Durchschnitt historischer Indexrenditen (arithmetisches / geometrisches Mittel)

E. Parameterschätzung im CAPM Beta historische Schätzung Aufgrund der höheren Schätzgenauigkeit wird oftmals das Industriebeta statt des Betas eines individuellen Unternehmens bestimmt Marktmodell von Sharpe (1964): Schätzung des Betas durch eine lineare Einfachregression (siehe nächste Folie) Die Marktrendite wird wieder über einen geeigneten Index approximiert: Problem: Betafaktoren schwanken im Zeitablauf  „Five- / Two-Year Rule of Thumb“ Empirische Zeitreihenuntersuchungen haben ergeben, dass das Beta der meisten Unternehmen um den Wert β=1 schwankt Bloomberg: „Adjusted Beta“= Raw Beta* *0.33

E. Parameterschätzung im CAPM Beta Beispiel: Betaschätzung durch lineare Einfachregression (Marktmodell) Bestimmung der Regressionsgleichung mit der Methode der Kleinsten Quadrate Wir wählen die Regressionsgerade so, dass die quadrierten Abstände der Beobachtungen von der Regressionsgerade minimiert werden Beta ist die Steigung der Regressionsgeraden Konkretes Beispiel: Ermittlung des Betas der Sony Corp. Unabhängige Variable: S&P 500 (approximatives Marktportfolio) Monatsrenditen von September 2001 bis September 2004 Abhängige Variable: Sony Corp. Monatsrenditen von Sept bis Sept. 2004

E. Parameterschätzung im CAPM Beta Konkretes Beispiel: Ermittlung des Betas der Sony Corp. Die Steigung der Regressionsgeraden entspricht dem geschätzten Beta für Sony: β=0,91.

7. Optionspreistheorie - Übersicht
A. Grundlagen der Optionsbewertung B. Bewertung von Optionen C. Zwei-Zeitpunkt-Zwei-Zustands-Modell D. Binomial-Modell E. Das Modell von Black / Scholes F. Amerikanische Optionen G. Weitere Optionsarten

7. Optionspreistheorie A. Grundlagen der Optionsbewertung
Europäische Kaufoption („Call“): Recht des Erwerbers, zu einem zukünftigen Zeitpunkt eine bestimmte Zahl von Basiswertpapieren (Underlying, zB Aktien) zu einem festgelegten Kurs (=Basiskurs) vom Optionsverkäufer (=Stillhalter) zu kaufen. Europäische Verkaufsoption („Put“): Recht des Erwerbers, an den Stillhalter in einem zukünftigen Zeitpunkt zu verkaufen. Amerikanische Option: Recht innerhalb eines bestimmten Zeitrahmens auszuüben Bewertung von Optionen: Konzept arbitragefreier Märkte Anwendung dieses Konzepts an Beispielen für Terminkontrakte. Terminkontrakt: Abschluss und Erfüllung des Kontraktes fallen zeitlich auseinander (i.d.R. um mehr als 2 Tage).

Beispiel: Terminkontrakte auf Aktie Der Kontrakt ist nach 3 Monaten zu erfüllen. Die Aktie kostet heute 100 Euro, am Geldmarkt wird für Dreimonatsgeld 6 % p.a. bei einfacher Verzinsung bezahlt. Wie hoch ist der Terminkurs heute? Man vergleicht zwei Geschäfte: Kaufe heute eine Aktie zum Terminkurs F0 und verkaufe sie nach 3 Monaten zum heute noch unbekannten Kassakurs Kaufe heute eine Aktie zum Kassakurs S0 = 100, finanziere diesen Kauf durch Kreditaufnahme zu 6 % und verkaufe die Aktie nach 3 Monaten zum dann gültigen Kassakurs .

Beispiel: Terminkontrakte auf Aktie Der Kredit ist nach 3 Monaten zu verzinsen und zu tilgen. Wie nachstehende Tabelle zeigt, gilt Arbitragefreiheit nur, wenn F0 = 101,5 gilt.

Beispiel: Terminkontrakte auf Anleihen Beim Kauf einer Anleihe sind im Gegensatz zur Aktie nicht nur der Börsenkurs, sondern auch die Stückzinsen zu zahlen. Die Anleihe wirft jeweils zum 1.3. eines Jahres 10 % Zinsen ab, Nennwert = 100. Kauft nun jemand diese Anleihe am 21.4., also 50 Tage nach Kupontermin, sind neben dem Börsenkurs anteilig für 50 Tage Stückzinsen zu zahlen: 1050/360 = 1,39. Am wird diese Anleihe auf Termin, 3 Monate, verkauft. Der Kassakurs beträgt 102. Der Geldmarktzinssatz für 3 Monate beträgt 6 % p.a.

Beispiel: Terminkontrakte auf Anleihen Man vergleicht wieder zwei Geschäfte: Kaufe heute eine Anleihe per Terminkurs F0 plus bis zum Termin aufgelaufene Stückzinsen (SZ3) und verkaufe sie nach 3 Monaten zum heute noch unbekannten Kassakurs zuzüglich der bis zum Termin aufgelaufenen SZ3. Kaufe heute eine Anleihe zum Kassakurs von S0 = 102 zuzüglich SZ0 von 1,39, finanziere diesen Kauf durch Kreditaufnahme zu 6 % und verkaufe die Anleihe nach 3 Monaten zum Kassakurs zuzüglich SZ3. Die folgende Tabelle zeigt die Zahlungsströme aus den beiden Geschäften:

Beispiel: Terminkontrakte auf Anleihen Arbitragefreiheit nur dann, wenn Wegen SZ3 = 10 × 140/360 = 3,89  Der Terminkurs liegt (zumindest näherungsweise) über (unter) dem Kassakurs, wenn der Geldmarktzinssatz über (unter) dem Zinssatz der Anleihe liegt.

Beispiel: Optionen auf Aktien Erwerb einer Kaufoption im Zeitpunkt t = 0 zum Preis von C0, eine bestimmte Aktie im Zeitpunkt t = 1 zum Basiskurs K von 250 zu kaufen. Folgender Zustandsbaum über den Kursverlauf der Aktie und der Option wird angenommen: Zustandsbäume Zeitpunkt 1 1 280 30 Aktienkurs Option 250 C0 230

7. Optionspreistheorie B. Die Bewertung von Optionen
Wie wird die Option auf einem vollkommenen, arbitragefreien Markt bewertet? Man vergleicht wieder zwei Geschäfte: Kauf einer Aktie zu t = 0 zum Kassakurs von S0 = 250. Zu t = 1 erhält man im guten Zustand 280 und im schlechten Zustand 230. Kauf einer sicheren Anlage zu t = 0, die zu t = 1 genau 230 abwirft, d.h. 230/(1+r). Kauf von sovielen Optionen, dass im guten Umweltzustand ein Gewinn von 50 erzielt wird, d.h. (5/3)30 = 50.

Bei Arbitragefreiheit muß das Portefeuille aus sicherer Anlage und Option zu t = 0 den gleichen Preis wie die Aktie haben, da sowohl das Portefeuille als auch die Aktie zu t = 1 in jedem Umweltzustand zu gleichen Einzahlungsüberschüssen führen. Es folgt daher: Bei einem risikolosen Zinssatz von 5 % für die betrachtete Periode ergibt sich ein Optionspreis von

Auszahlungsprofile zum Zeitpunkt der Ausübung Gewinn Gewinn Auszahlung Inhaber (long) Inhaber (long) 45° 45° Basis-kurs Basis-kurs 45° Aktienkurs bei Ausübung 45° Aktienkurs bei Ausübung Stillhalter (short) Stillhalter (short) a) Kaufoption a) Verkaufsoption Verlust Verlust

SHARPE hat das soeben erläuterte binomische Modell auf beliebig viele Zeitpunkte erweitert (siehe später). COX/ROSS/RUBINSTEIN haben gezeigt, wie man durch einen Grenzübergang vom Sharpe-Modell zum Black/Scholes-Modell (siehe später) kommt. Auf das Nachvollziehen des Grenzübergangs wird aus Gründen der Komplexität verzichtet.

Wir konzentrieren uns zunächst auf europäische Optionen auf Aktien. Grundsätzliche Annahme: Der Kurs des Underlying folgt einem Zufallsprozess. Die Literatur diskutiert drei Varianten : 1. Bernoulliprozess: Der Aktienkurs (zu Beginn der Optionsfrist S0) steigt während der Optionsfrist entweder mit der Wahrscheinlichkeit q auf S0u oder fällt mit der Wahrscheinlichkeit 1 - q auf S0d. S0u q S0 S0d 1 - q t = 0 t = 1

2. Binomialprozess: Man zerlegt die Optionsfrist in Subperioden und nimmt an, dass eine Serie von Bernoulliprozessen aufeinander folgt. Dabei sollen die Wahrscheinlichkeit für die Veränderung der Aktienkurse als auch die Veränderungsraten selbst im Zeitablauf unveränderlich sein. S0u3d0 S0u2d0 q S0u1d0 S0u2d1 S0 S0u1d1 1 - q S0u0d1 S0u1d2 S0u0d2 S0u0d3 t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

3. Black/ Scholes Modell: Der Aktienkurs folgt einem kontinuierlichen Zufallsprozess. Hier: Wiener-Prozess. Einen solchen Prozess muß man sich so vorstellen, dass die Zufallsvariable in der Zeit niemals zur Ruhe kommt. Der Aktienkurs ist in ständiger Bewegung; auch dann, wenn die Zeitintervalle verschwindend klein sind. Die Momentanrendite, die Rendite der Aktien im „sehr kurzen“ Zeitintervall, gehorcht dabei einer Normalverteilung.

7. Optionspreistheorie C. Zwei-Zeitpunkt-Zwei-Zustands-Modell Annahmen
Zwei Zeitpunkte t = 0 und t = 1 Zu t = 1 ist der Kurs einer Aktie, die heute mit S0 notiert, unsicher. Er beträgt entweder S0u oder S0d (andere Kursentwicklungen sind ausgeschlossen). Es herrschen homogene Erwartungen hinsichtlich der im Zeitpunkt t = 1 möglichen Aktienkurse (nicht unbedingt hinsichtlich der Eintrittswahrscheinlichkeiten der beiden Zustände). Der Kapitalmarkt kennt neben Aktien auch sichere Anleihen (heutiger Preis B0, risikolose Verzinsung rf) und europäische Optionen (heutiger Preis C0 für einen Call und P0 für einen Put, Basispreis K) auf Aktien.

7. Optionspreistheorie C. Zwei-Zeitpunkt-Zwei-Zustands-Modell Annahmen
Der Kapitalmarkt ist reibungslos. Keine Transaktionskosten, keine Steuern und keine Marktzutrittsbeschränkungen sowie Handelshemmnisse. Der Kapitalmarkt ist kompetitiv. Der Einzelne beeinflusst den Preis eines Finanztitels nicht. Es gibt keine Arbitragegelegenheiten.

7. Optionspreistheorie C. Zwei-Zeitpunkt-Zwei-Zustands-Modell
Eine präferenzfreie Bewertungsgleichung Die Cashflows einer Kaufoption belaufen sich auf (in t=1) Mit Hilfe der Preise für reine Wertpapiere u und d bestimmen wir die Bewertungsgleichung: (Ein reines Wertpapier zahlt in genau einem Zustand genau eine GE.) Die Preise für reine Wertpapiere bestimmen sich aus den Beziehungen

Eine präferenzfreie Bewertungsgleichung Definiert man die beiden Aktienrenditen ru und rd dergestalt, dass u = 1 + ru und d = 1 + rd, errechnet sich aus dem vorstehenden Gleichungssystem die Preise für reine Wertpapiere mit Definition von p  (rf - rd)/(ru - rd) und 1 - p  (ru - rf)/(ru - rd) führt zu

Pseudowahrscheinlichkeit Gilt rd < rf < ru muß p eine Zahl zwischen 0 und 1 sein p kann als Wahrscheinlichkeit interpretiert werden. Die Bedingung rd < rf < ru ist auch vernünftig, da sonst Arbitragegelegenheiten existieren würden: Gilt zB rf < rd < ru kann man sich zum risikolosen Zinssatz verschulden und in die Aktie investieren. Wäre andererseits rd < ru < rf kann man Arbitragegewinne erzielen, indem man Aktien leerverkauft und die Erlöse zum sicheren Zinssatz investiert. Im Gegensatz zur Eintrittswahrscheinlichkeit q wird die Zahl p nicht empirisch geschätzt, sondern aus den Aktienrenditen rd und ru sowie dem risikolosen Zinssatz rf errechnet.

Pseudowahrscheinlichkeit Bestimmung von p ohne Kenntnis der Präferenzstruktur der Markteilnehmer und Informationen über deren individuellen Wahrscheinlichkeitsvorstellungen. p wird als Pseudowahrscheinlichkeit bezeichnet. Die Pseudowahrscheinlichkeit entspricht nur dann der Eintrittswahrscheinlichkeit, wenn alle Anleger risikoneutral wären.

7. Optionspreistheorie D. Binomial-Modell Annahmen
Annahme einer Modellwelt mit mehreren Zeitpunkten t = 0 (heute) und t = 1, ..., n (später). Kapitalmarkt wie vorhin. Hinsichtlich aller Zeitpunkte t  1 herrscht Unsicherheit über den Kurs der Aktie. Die möglichen Kurse können aber genau angegeben werden, da der Aktienkurs einem binomialen Prozess mit konstanten Veränderungsfaktoren u = 1 + ru und d = 1 + rd folgt. Es herrschen homogene Zukunftserwartungen hinsichtlich der in den Zeitpunkten t = 1, ..., n möglichen Aktienkurse. Am Kapitalmarkt werden neben Aktien auch Anleihen und Optionen auf Aktien gehandelt. Die Anleihe verspricht eine gleichbleibende risikolose Verzinsung rf in jeder Periode t -1 bis t.

7. Optionspreistheorie D. Binomial-Modell Beispiel:
Heutige Kurs der Aktien: S0 = 200, u = 1,1 und d = 0,95. Der Basispreis der Kaufoption zu t = 2 beträgt K = 205. Der risikolose Zinssatz beträgt rf = 5 %. Entwicklung des Aktienkurses und des Wertes der Option: Cuu=max( ,0)=37 S0u2=242,0 S0ud=209,0 Cud=max( ,0)=4 S0u=220 Cu=? S0du=209,0 Cdu=max( ,0)=4 S0=200 C0=? S0d=190 Cd=? S0d2=180,5 Cdd=max(180,5-205,0)=0 t = 0 t = 1 t = 2 t = 0 t = 1 t = 2

Retrogrades Bewertungskonzept: 1. Schritt: Bestimmung der Werte Cu und Cd zu t = 1 2. Schritt Bestimmung des heutige Werts der Kaufoption C0:

Retrogrades Bewertungskonzept: Dabei muß aber bedacht werden, dass dieser Weg zunächst lediglich ein intuitives Vorgehen darstellt. Es ist grundsätzlich zu prüfen ob die damit gefundene Lösung auch arbitragefrei ist  z. B. mit der Hilfe der Bewertung über die Preise reiner Wertpapiere oder über ein äquivalentes Portefeuille.

7. Optionspreistheorie D. Binomial-Modell
Eine präferenzfreie Bewertung für n Perioden Aktienkurs nach n Periode bei k Aufwärtsbewegungen: Sk = S0ukdn-k Zustandsabhängige Werte des Call: = max(S0ukdn-k - K,0) Bewertungsgleichung im zweiperiodigen Modell: Bestimmung der Preise u und d notwendig (aus dem Zwei-Zeitpunkt-Zwei-Zustands-Modell bekannt):

Eine präferenzfreie Bewertung für n Perioden Analog bestimmen wir die Preise uu und ud: Vereinfachung der beiden Gleichungen zu

Eine präferenzfreie Bewertung für n Perioden Die beiden vorstehenden Gleichungen müssen für uu/u und ud/u zu den gleichen Ergebnissen führen wie die Gleichungen im Zwei-Zeitpunkt-Zwei-Zustand-Modell für u und d. Daher muss gelten: uu = uu und ud = ud Auch kann gezeigt werden: du = du und dd = dd Bewertungsgleichung im zweiperiodigen Modell lautet dann:

Eine präferenzfreie Bewertung für n Perioden Bei n-Perioden lautet die Bewertungsgleichung: Vereinfachung: Bestimmung jenes kritischen k (=Anzahl der Aufwärtsbewegungen), bei dem Kurs der Aktie gerade den Wert K erreicht oder erstmals darüber liegt. Dieses kritische k wird mit a bezeichnet. Da dieses a in der Regel nicht ganzzahlig ist, bedienen wir uns zur Bestimmung von a der Hilfsvariablen a´:

Eine präferenzfreie Bewertung für n Perioden a ist schließlich die kleinste ganze Zahl mit a  a´. Vereinfachte Bewertungsgleichung:

Eine präferenzfreie Bewertung für n Perioden Definition einer weiteren Hilfsgröße p´: Verwenden von Binomialwahrscheinlichkeiten:  elegantere Darstellung der Optionspreisformel:

7. Optionspreistheorie E. Das Modell von Black / Scholes
Europäische Kaufoption auf Aktien Kapitalmarkt ist vollkommen; einzelne Orders beeinflussen die Wertpapierkurse nicht keine Dividenden und keine Bezugsrechtsabschläge während der Laufzeit der Option konstanter Zinssatz für eine risikolose Geldanlage während der Laufzeit der Option neue Optionsverträge während der Laufzeit jederzeit zu vereinbaren  Inhaber kann jederzeit seine Position glattstellen alle Wertpapiere kontinuierlich handelbar

Wie im Binomial-Modell kann ein einperiodiges risikoloses Portefeuille aus Aktie und Kaufoption zusammengestellt werden. Im arbitragefreien Markt  Rendite dieses Portefeuilles entspricht dem risikolosen Zinssatz Aufgabe: Zusammenstellung eines risikolosen Portefeuilles aus Aktien und Kaufoptionen im Zeitablauf?

Hilfestellung: 3 Grenzen für den Wert einer Kaufoption 1. Grenze: Der Wert kann nicht negativ sein. Bei sehr niedrigem Aktienkurs strebt der Wert gegen Null, weil die Wahrscheinlichkeit einer gewinnbringenden Ausübung gegen Null strebt. 2. Grenze: Der Wert der Option kann nicht unter dem Aktienkurs, vermindert um den abgezinsten Basiskurs liegen. Der Wert der Option nähert sich dieser Untergrenze asymptotisch mit steigendem Aktienkurs  die Ausübungswahrscheinlichkeit strebt mit steigendem Aktienkurs gegen 1.

Für den Wert einer Kaufoption bestehen drei Grenzen (cont.): Nachstehende Arbitrageüberlegung unterstützt vorstehende Überlegung: 3. Grenze: Der Wert der Option kann nicht über dem Aktienkurs liegen.

Basis für die Ableitung der Grenzen ist die stochastische Dominanz 1. Ordnung. 1. Grenze: C > 0 2. Grenze: C ≥ S – K für amerikanische Optionen zusätzlich: C ≥ S – K 3. Grenze: C ≤ S

Der Wert einer Kaufoption in Abhängigkeit vom Aktienkurs Aktienkurs = 3. Grenze Ct Preis der Kaufoption im Zeitpunkt t Optionspreis Aktienkurs abgezinster Basiskurs = 2. Grenze S Ct+ Aktienkurs im Zeitpunkt t 45° 45° St+ St abgezinster Basiskurs

Zusammenstellung eines risikolosen Portefeuilles aus Aktien und Kaufoptionen im Zeitablauf: Der Investor kenne die in vorstehender Abbildung eingetragene Optionspreiskurve. Wir greifen im Zeitpunkt t einen beliebigen Aktienkurs St+ und den dazugehörigen Optionspreis Ct+ heraus. In diesem Punkt S beträgt der Anstieg der Optionspreiskurve zB 0.8. Wenn also der Aktienkurs während der nächsten infinitesimalen Zeitänderung dt um 1 steigt oder fällt  steigt bzw. fällt der Optionspreis um 0,8. Portefeuille aus einer Aktie (long) und (-1/0,8) Kaufoptionen (short) ist daher risikolos (bezogen auf den Zeitpunkt t + dt).

Für das Verständnis sind drei Punkte wichtig: Da nur infinitesimal kleine Zeitänderung und infinitesimal kleine Preisänderungen unterstellt werden  Optionspreiskurve kann im Punkt S durch eine Gerade ersetzt werden Da das Portefeuille risikolos ist  Marktwert des Portefeuilles im Zeitintervall dt wächst gemäß der risikolosen Verzinsung Im Zeitpunkt t + dt hat sich gegenüber dem Zeitpunkt t der Aktienkurs und damit auch der Anstieg der Optionspreiskurve verändert  das Portefeuille muss umstrukturiert werden

Für das Verständnis sind drei Punkte wichtig: Zusätzlicher Geldbedarf bzw. -freisetzung ist zu vermeiden  selbstfinanzierende Strategie der Portefeuillerevision = eine Strategie, bei der weder Geld benötigt noch freigesetzt wird. Beispiel: Ein Teil der Aktien wird verkauft  der Verkaufserlös dient zum Erwerb der Kaufoption Problem mit 2 Unbekannten (Anzahl der Aktien, Anzahl der Optionen) und 2 Bedingungen (geforderte Hedge-Ratio, selbstfinanzierende Strategie)

Aus den dargelegten Überlegungen leiten BLACK/ SCHOLES eine Formel für den Preis der Kaufoption ab: Dabei ist: St Aktienkurs im Zeitpunkt t. der auf den Zeitpunkt t abgezinste Basiskurs mit s die Standardabweichung der logarithmierten jährlichen stetigen Aktienrendite. N(x) der Wert der kumulativen standardisierten Normalverteilung an der Stelle x. r die risikofreie Momentanverzinsung.

7. Optionspreistheorie E. Das Modell von Black / Scholes Beispiel:
r ln(1,08)=0,0770 K 151,0262 T-t ,75 s ,2

Interpretation des Modells von Black/ Scholes Mit Ausnahme von  lassen sich alle Parameter leicht ermitteln. Die erwartete Momentanrendite der Aktie beeinflußt den Optionspreis nur indirekt über den Aktienpreis. Der Optionspreis steigt, wenn die Restlaufzeit, die Varianz und der risikolose Zinssatz zunehmen. Anhand des Preises einer Kaufoption, die im Zeitpunkt T zum Basiskurs K ausgeübt werden kann, läßt sich auch der Preis einer Verkaufsoption, die im Zeitpunkt T zum Basiskurs K ausgeübt werden kann, ermitteln.

Interpretation des Modells von Black/ Scholes Folgende Strategie wird überlegt: Zahlungsstruktur des gebildeten Portefeuilles = Zahlungsstruktur einer Kaufoption am Verfalltag  Wert dieses Portefeuilles = Wert der Kaufoption (zu jedem Zeitpunkt) Diese Gleichung wird Put-Call-Parität genannt.

7. Optionspreistheorie F. Amerikanische Optionen
Alle bisherigen Ableitungen gelten für europäische Optionen. Gehandelt werden allerdings überwiegend amerikanische Optionen. Für Kaufoptionen ist diese Unterscheidung aber irrelevant, sofern während der Optionslaufzeit keine Dividenden, Bezugsrechtsabschläge etc. anfallen. Vor Ende der Laufzeit ist es stets günstiger, die Option zu verkaufen als sie auszuüben. Die Kaufoption schützt den Inhaber im Vergleich zu Aktien vor Verlusten, die entstehen, wenn der Aktienkurs unter den Basiskurs fällt. Zudem entstünde bei vorzeitiger Ausübung ein Zinsverlust durch vorzeitige Zahlung des Basiskurses. Der Preis eines europäischen Calls entspricht daher unter der getroffenen Annahmen dem Preis eines amerikanischen Calls.

Bei einer Verkaufsoption fallen Preis von europäischer und amerikanischer Variante auseinander. Wenn der Aktienkurs vor Ende der Optionslaufzeit beinahe auf den Minimalwert 0 sinkt, kann sich ein Abwarten des Optionsinhabers nachteilig auswirken, weil er den Basiskurs erst später bekäme und daher einen Zinsverlust hinzunehmen hätte. Ist der Wert des Zinsverlustes höher als der Wert des mit der Option verbundenen Versicherungsschutzes, dann wird vorzeitig ausgeübt. Eine amerikanische Verkaufsoption ist daher wertvoller als eine europäische.

7. Optionspreistheorie F. Amerikanische Optionen Wertgrenzen:
Ct 1. Grenze: P ≤ K 2. Grenze amerikanischer Put: P ≥ K - S (Innerer Wert) (2. Grenze: P ≥ K S) 45° 45° 3. Grenze: P > 0 St

7. Optionspreistheorie F. Amerikanische Optionen 72 0 60 50 36 14 30
Europäischer Put: S= K= u=1,2 d=0, r=1,1 P = MAX(0, K-S) 72 0 60 30 18 32 p 1-p 2,12 3,95 15,45

7. Optionspreistheorie F. Amerikanische Optionen 72 0 60 36 14 30
72 0 60 36 14 30 18 32 Amerikanischer Put: 2,12 20 2,12 3,95 50 4,64 15,45 20

Europäischer Call mit Dividende D zum Zeitpunkt tD: Herleitung der 2. Grenze

Abhängig von der Höhe der Dividendenzahlung und dem risikolosen Zinssatz ist folgende Situation denkbar: D.h. unter bestimmten Voraussetzungen ist es sinnvoll den American Call vor Ende der Laufzeit einzulösen. Ct K St

7. Optionspreistheorie G. Weitere Optionsarten
Asiatische Optionen: Option mit Payoff, der in einem spezifizierten Zeitraum vom durchschnittlichen Preis des Basisobjektes abhängt. Barrier Optionen: Option, deren Payoff davon abhängt ob der Pfad des Basisobjektes ein vorher festgelegtes Niveau erreicht hat. Binäre Optionen: auch Digitaloption, ist eine Option mit nicht kontinuierlichem Payoff. Bermuda Optionen: Option, die an spezifizierten Terminen während ihrer Laufzeit ausgeübt werden kann. Realoptionen: Ist eine verschiebbare Investitionsentscheidung, die, sobald sie getroffen wird, irreversibel ist und deren Wert von der zukünftigen Entwicklung bestimmter Faktoren abhängig ist. „Realoptions capture the value of managerial flexibility to adapt decisions in response to unexpected market developments.“[Ulrich Hommel])

8. Theorie der Zinsstruktur - Übersicht
A. Grundüberlegungen B. Ableitung der Zeitstruktur der Zinssätze C. Mögliche Zeitstrukturen der Zinssätze D. Theorie der Zeitstruktur der Zinssätze

8. Theorie der Zinsstruktur
A. Grundüberlegungen Spot Rates (Kassazinssätze) 0rt sind die aktuellen Renditen von Veranlagungen mit Laufzeit t Die Spot Rates als Funktion ihrer Laufzeit bilden die Zinsstruktur (Spot Rate Curve, Term Structure, Zinskurve) Forward Rates (Terminzinssätze) t-1r1 sind jene Zinssätze, welche heute für eine Veranlagung von t-1 bis t vereinbart werden Forward Rates und Spot Rates stehen zueinander in folgendem Zusammenhang (Voraussetzung: Arbitragefreiheit): Beispiel für Forward Rate Vereinbarung: Heutiger Abschluss eines Kredits, der in 6 Monaten für ein Jahr laufen soll (0,5r1).

Bootstrap Methode „Bootstrapping“ = Ermittlung der Zinsstrukturkurve mit Hilfe der Kurse von Kuponanleihen Voraussetzung: zu jedem Kupontermin einer beliebigen Anleihe wird eine andere Anleihe fällig (= ideale Laufzeitstruktur) Vorgehensweise 1) Berechnung der Rendite der Anleihe mit der geringsten Restlaufzeit (ideal: ein Zero Bond) 2) Berechnung des Kurses der nächsten Anleihe (der Laufzeit nach gereiht), unter Verwendung des Ergebnisses in 1). 3) Wiederholung von Schritt 2 bis alle Laufzeiten abgedeckt sind.

Bootstrap Methode Interpolation (falls ideale Laufzeitstruktur nicht gegeben) Lineare Interpolation: Ermittlung der Renditen mittels der benachbarten Laufzeitklassen  ein linearer Verlauf der Zinsstrukturkurve wird unterstellt unterjährig meist stetige Verzinsung, dabei gilt: PV…Present Value K…Tilgungsbetrag 0rn…..Spot Rate n.....Laufzeit der Anleihe

B. Ableitung der Zeitstruktur der Zinssätze Betrachtet man mehrere Perioden spielt die Zeitstruktur (oder Fristigkeitsstruktur) der Zinssätze (kurz Zinsstruktur) eine entscheidende Rolle. Aus den Preisen für zustandsabhängigen Ansprüche kann zB die Zinsstruktur bestimmt werden. Beispiel: 21= 0,1825 22=0,2277 11= 0,4512 23=0,2536 12= 0,5012 24=0,2105 t = 0 t = 1 t = 2

B. Ableitung der Zeitstruktur der Zinssätze Beispiel: Ein sicherer Anspruch auf 1 Euro zu t = 1 kostet zu t = 0 0, ,5012 = 0,9524 Euro  das entspricht einem Zinssatz von 0r1 = 1/0, = 0,05 (der vorstehende Index kennzeichnet den Zeitpunkt, zu dem der Zinssatz vereinbart wird; der nachstehende Index für die Anlagedauer). Ein sicherer Anspruch auf 1 Euro zu t = 2 zahlbar ist kostet zu t = 0 0, , , ,2105 = 0,8743 Euro  daraus folgt ein Periodenzinssatz 0r2 = 0,0695 [aus 0,8743(1 + 0r2)2=1] Interpretation der Zinssätze: Rendite einer kuponlosen zweiperiodigen Anlage (= Zero-Bond), vereinbart zu t = 0  Kassazinssatz (=spot rate).

B. Ableitung der Zeitstruktur der Zinssätze Beispiel: Ähnlich kann man den Zinssatz für eine einperiodige Anlage im Zustand 11 ermitteln: Der Preis für einen sicheren Anspruch zu t = 2 zahlbar zu t = 1, wenn Zustand 11 eingetreten ist, muß (0, ,2277)/0,4512 = 0,9091 betragen  dies entspricht einem Zinssatz von 11r1 = 0,1 Im Zustand 12 gilt entsprechend der Zinssatz 12r1 = 0,08.

C. Mögliche Zeitstrukturen der Zinssätze Im Beispiel lassen sich folglich sämtliche Zinssätze ableiten. Ergebnis: steigende Zinsstruktur (steigende spot rates) (ein-periodige Anlage: Rendite von 5 %, zwei-periodige Anlage: 6,95 %). Neben normaler sind auch fallende und konstante Zinsstrukturen möglich. steigend Zinssatz (spot rate) flach fallend Fristigkeit

D. Theorie der Zeitstruktur der Zinssätze Überwiegend sind steigende Zinsstrukturen zu beobachten. Sie werden daher als normal bezeichnet. Von Zeit zu Zeit gibt es aber auch fallende Zinsstrukturen, sie werden als invers bezeichnet. Aber auch andere Zinsstrukturen mit zB einem Maximum bei mittleren Laufzeiten treten gelegentlich auf (gebuckelte Zinskurve). Welche Faktoren bestimmen die Zeitstruktur der Zinssätze? Zwei Beispiele aus zahlreichen Erklärungsansätzen: reine Erwartungstheorie Liquiditätspräferenztheorie

D. Theorie der Zeitstruktur der Zinssätze Erwartungstheorie Ein Investor kann Geld für t Perioden entweder zum Zinssatz 0rt einmalig anlegen oder revolvierend zu den Zinssätzen Diese zukünftigen Spot rates sind zu t = 0 nicht bekannt  der Investor kann aber die Erwartungswerte bestimmen: Sind die Investoren risikoneutral, muß bei Arbitragefreiheit das Endvermögen gleich groß sein:

D. Theorie der Zeitstruktur der Zinssätze Erwartungstheorie Steigende Zinsstruktur bedeutet schließlich:  Investoren rechnen mit einem jährlichen Anstieg der Zinssätze Fallenden Zinsstruktur  Investoren rechnen mit fallenden Zinssätzen Unter den getroffenen Annahmen entsprechen auch die Erwartungswerte der zukünftigen spot rates den forward rates:

D. Theorie der Zeitstruktur der Zinssätze Erwartungstheorie In unserem Beispiel liegt eine steigende Zinsstruktur vor. Dies ist im Einklang mit der reinen Erwartungstheorie  die Zinssätze in Periode 2 mit 8 % bzw. 10 % liegen über dem Zinssatz in Periode 1 mit 5 %. Bei risikoneutralen Investoren muß aber gemäß der letzten Gleichung die schärfere Bedingung gelten q steht für die Eintrittswahrscheinlichkeit des Zustands 11. Aus obiger Gleichung folgt q = 0,468. Das Beispiel stimmt daher mit der reinen Erwartungstheorie überein, wenn der Zustand 11 mit einer Wahrscheinlichkeit von 46,8 % eintritt.

D. Theorie der Zeitstruktur der Zinssätze Liquiditätspräferenztheorie Die Erwartungstheorie ignoriert Risikoaspekte. Die Liquiditätspräferenztheorie basiert auf der Annahme, dass Investoren eine langfristige Anlage als riskanter ansehen als eine kurzfristig revolvierende Anlage. Dies ist erklärbar für Kreditinstitute und andere marktwertorientierte Investoren, die eine kurzfristig revolvierende Anlage einer langfristigen vorziehen, weil der Marktwert der langfristigen stärker schwankt. Steigt das Zinsniveau, dann sinkt der Marktwert der langfristigen Anlage stärker als der der kurzfristigen und umgekehrt. Das Marktwertrisiko der langfristigen Anlage ist folglich größer.

D. Theorie der Zeitstruktur der Zinssätze Liquiditätspräferenztheorie Ein hohes Marktwertrisiko ist bei risikoaversen Investoren unerwünscht (Investor muss möglicherweise die Anlage vorzeitig auflösen oder Marktwertberichtigungen in der Bilanz durchführen). Marktwertorientierte Investoren werden daher einer langfristigen Anlage nur zustimmen, wenn sie eine Risikoprämie enthält. Die Liquiditätspräferenztheorie steht daher im Einklang mit der Beobachtung, daß die Zinsstruktur meistens steigt. Konträr läßt sich aber argumentieren, dass Investoren das Risiko aus kurzfristigen Anlagen vermeiden wollen (Anlage zur Finanzierung langfristig fixierter Auszahlungen)!

Einführung in die betriebliche Finanzierung II GK II Corporate Finance, GK II Internationale Finanzierung WS 09/10 o.Univ.-Prof. Dr. Stefan Bogner Priv.

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