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Copyright B. Buchberger 20031 Mathematik an Fachhochschulen: Inhaltliche und methodische Überlegungen Bruno Buchberger RISC, Uni Linz Bozen, 26. September.

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1 Copyright B. Buchberger Mathematik an Fachhochschulen: Inhaltliche und methodische Überlegungen Bruno Buchberger RISC, Uni Linz Bozen, 26. September 2003

2 Copyright B. Buchberger Copyright Bruno Buchberger 2003: Copying, storing in data bases etc. is granted under the following conditions: –the paper is kept unchanged including this copyright note –a message is sent to –If you use the material contained in this paper you should cite it appropriately.

3 Copyright B. Buchberger Inhalt Mathematik innerhalb der Wissenschaft Der Computer innerhalb der Mathematik Inhalte und Didaktik der FH-Mathematik –Typ F –Typ IT

4 Copyright B. Buchberger Die Mathematik innerhalb der Wissenschaften Realität mit Frage oder Problem Modell Antwort oder Lösung im Modell Antwort oder Lösung in Realität Beobachten, Modellieren Sinne, Sensorik Naturwissenschaften Handeln, Interpretieren Hände, Motorik Technische Wissenschaften Denken, Schließen Gehirn Mathematik Die drei Schritte sind verschieden, bilden aber ein Ganzes.

5 Copyright B. Buchberger Der Computer: Selbstanwendung der Wissenschaften Beobachten, Modellieren Sinne, Sensorik Naturwissenschaften Mikroskop, …, Tomograph, … Handeln, Interpretieren Hände, Motorik Technische Wissenschaften Laserschneider,..., Roboter,... Denken, Schließen Gehirn Mathematik...Computer

6 Copyright B. Buchberger Der Computer: Die Erfüllung der Mathematik GGT[18,12]=GGT[6,12] Für alle m,n: GGT[m,n]=GGT[m-n,n] ? Für alle m,n: GGT[m,n]=GGT[m-n,n] GGT[m,n]=max … GGT[m,n]= GGT[m-n,n] Die Erfindungsspirale der Mathematik GGT[ , ]..=...GGT[18,12]

7 Copyright B. Buchberger Einzelfakten GGT[18,12]=GGT[6,12] Allgemeine Vermutung Für alle m,n: GGT[m,n]=GGT[m-n,n] ? Theorem Für alle m,n: GGT[m,n]=GGT[m-n,n] Algorithmus GGT[m,n]=max … Algorithmus GGT[m,n]= GGT[m-n,n] Die Erfindungsspirale der Mathematik Einzelfakten GGT[ , ]..=...GGT[18,12] RECHNEN EINSEHEN BEWEISEN PROGRAMMIEREN

8 Copyright B. Buchberger Die inhaltliche und methodische Dimension der Mathematik... Philosophie Logik struktureller Aspekt algorithmischer Aspekt Anwendungsaspekt didaktischer Aspekt Software-Implementierung Natureware... M e n g l. Z a h l. th. A n a l y. F u n k. th. F k t. a n. l i n. A l. k o m. A l siehe z.B. AMS Dez.Klass.

9 Copyright B. Buchberger Ein Grundprinzip für den Entwurf eines FH-Mathematik-Lehrplans Die Auswahl in den folgenden Stufen organisieren: –Berufsbild –Bildungsziele –Stoff. In der methodischen Dimension so weit möglich Vollständigkeit anstreben! (In Abhängigkeit vom Studiengang.) In der inhaltlichen Dimension Mut zur Lücke haben! (In Abhängigkeit vom Studiengang.)

10 Copyright B. Buchberger Berufsbild der FH-Studiengänge F.Der Absolvent des FH-Studienganges F soll Problemlöser im Fachgebiet F sein. S.Sonderstellung: Fachgebiet ist IT (Software Engineering u.ä.) Bei F: IT ist ein Hilfsmittel. Bei S: IT ist das Hilfsmittel.

11 Copyright B. Buchberger Der Problemlöseprozess im Fach F Modellieren Anwenden Arbeiten im Modell

12 Copyright B. Buchberger Modellieren: –Problem Erarbeiten im Kontext des Kunden und des technischen Umfelds –Problem-Spezifikation

13 Copyright B. Buchberger Arbeiten im Modell: –System-Entwurf im Team –Zusammenbau aus vorhandenen und neu entwickelten Komponenten –vorhandene (und neue) Mathematik-Komponenten –vorhandene (und neue) Software-Komponenten Sonderstellung der IT-Studiengänge

14 Copyright B. Buchberger Anwenden: –Einbetten des entwickelten Systems in den betrieblichen Kontext des Kunden

15 Copyright B. Buchberger Es geht also um die Welle vom Kunden zum Kunden realisiert werden. Problem Lösung

16 Copyright B. Buchberger Bildungsziele für die FH-Mathematik Sprache der Mathematik: –Prädikatenlogik in den gängigen Ausprägungen –algorithmische Konstrukte als Teil der Prädikatenlogik –Notationen für mathematische Sprachkonstrukte in den mathematischen Software-Systemen. –Bei IT Studiengängen: sprachliche Seite verfeinern, Zusammenhang mit Programmiersprachen herstellen.

17 Copyright B. Buchberger Modellieren: Die wichtigsten Problemstellungen im Fachgebiet in mathematische Probleme übersetzen können. Wissen, wie man die entsprechenden bekannten mathematischen Verfahren in den mathematischen Software-Systemen benutzt. (Mathematisches Arbeiten im Team.) Bei IT-Studiengängen: Exemplarische Problemstellungen aus verschiedenen Bereichen.

18 Copyright B. Buchberger Schließen: –Bei Studiengängen F: Anschauliches Verständnis, wie, warum und wie gut Verfahren funktionieren, ist ausreichend. –Bei IT-Studiengängen: Einfache mathematische Überlegungen formal sauber durchführen können. Eigene Ideen für einfache mathematische Probleme entwickeln und mit dem Bekannten verbinden können.

19 Copyright B. Buchberger Interpretieren: Die Ergebnisse interpretieren und kritisch beurteilen können. ( neue Iteration des Zyklus.)

20 Copyright B. Buchberger Inhalte der FH-Mathematik Bei F. und S. sehr verschieden: –Bei F. sind die typischen realen Problemstellungen bekannt, bei S. nicht. –Von S. soll / kann man formale Aspekte betonen (denn Informatik ist vor allem eine Sprachdisziplin), bei F. eher nicht.

21 Copyright B. Buchberger Inhalte der Mathematik für FH, Typ F. Planung der Inhalte: –Von den wesentlichen (mathematisch angreifbaren) inhaltlichen Probleme des Fachs ausgehen. –Die für deren Lösung anwendbaren mathematischen Verfahren und Teilverfahren heraussuchen. (Siehe Helpvon Mathematica, Maple, etc. Warum?) –Überlegen, welche Grundbegriffe (Bereiche und Wissen man braucht, um die mathematischen Verfahren und dann die realen Probleme lösen zu können).

22 Copyright B. Buchberger Beispiel: BWL Studiengang Inhaltliche Probleme: Darstellen, Analysieren, Optimieren, Organisieren, Sichern,... Mathematische Verfahren: –Graphische Darstellungen –Statistische Kenngrößen –Elementare Mengenlehre, logische Verknüpfungen –Gleichungen, Ungleichungen, –Optimierungsverfahren –Codierung, Kryptographie –...?

23 Copyright B. Buchberger Problemtypen Datentypen Wissenstypen Methodentypen Algorithmentypen Gleichungen Ungleichungen Optimieren Interpolieren Approximieren.... Nat Zahlen... Mengen Tupeln.... Funktionen... Eliminieren, Simplifizieren, kritische Paare, Divide and Conquer,... Überblick verschaffen über mathematische Inhalte: an Achsen aufhängen!

24 Copyright B. Buchberger Diese Strukturierung muss man für die inhaltlichen Probleme und die dazu notwendigen mathematischen Verfahren des Fachs durchführen. Führt zu einer klaren Landschaft für die Inhalte der Mathematik für dieses Fach.

25 Copyright B. Buchberger Methodik der Mathematik für FH, Typ F. Die wesentlichen Probleme aus dem Fach, die mathematisch gelöst werden können, präsentieren. (Sie sind am Anfang der Ausbildung noch nicht lösbar.) An einem Beispiel die Lösung black-box als Motivation zeigen. Notwendige Daten- und Wissenstypen einführen. Den eigentlichen Teil nach Problemtypen und zugehörigen Methodentypen strukturieren. Korrektheit der Methoden erläutern, nicht beweisen.

26 Copyright B. Buchberger Methoden an Beispielen einüben, Aufrufen der Methoden lernen. Modellieren der realen Probleme auf (Kombination von) mathematischen Problemen üben und mathematische Probleme durch Aufruf der Routinen aus math Software-Systemen lösen. (Allenfalls Programmieren in diesen Systemen.) Interpretieren der Ergebnisse (allenfalls Iteration des Vorgangs), Dokumentieren, Präsentieren.

27 Copyright B. Buchberger Es geht also um die Welle vom Problem zum Problem Problem als Motiviation Problem als Erfüllung

28 Copyright B. Buchberger Inhalte der Mathematik für FH, Typ IT. Planung der Inhalte: –Zum Unterschied von Studiengängen F: Einsatz kann in allen Fachgebieten sein! –Auf die wesentlichen algorithmischen Verfahren der Mathematik ausrichten (Siehe Help von Mathematica, Maple, etc.) –Überlegen, welche Grundbegriffe (Bereiche und Wissen man braucht, um die mathematischen Verfahren anwenden zu können.

29 Copyright B. Buchberger Problemtypen Datentypen Wissenstypen Methodentypen Algorithmentypen Gleichungen Ungleichungen Optimieren Interpolieren Approximieren.... Nat Zahlen... Mengen Tupeln.... Funktionen... Eliminieren, Simplifizieren, kritische Paare, Divide and Conquer,... Überblick verschaffen über mathematische Inhalte: an Achsen aufhängen! Noch wichtiger als bei Typ F.

30 Copyright B. Buchberger Methodik der Mathematik für FH, Typ IT. Einige Probleme aus verschiedenen Fächern, die mathematisch gelöst werden können, präsentieren. (Sie sind am Anfang der Ausbildung noch nicht lösbar.) An einem Beispiel die Lösung black-box als Motivation zeigen. Notwendige Daten- und Wissenstypen einführen. Die Inhalte nach Problemtypen und zugehörigen Methodentypen strukturieren. Korrektheit der Methoden erläutern, nicht beweisen. Aber: an einigen Beispielen das formale Schließen bei Sätzen undAlgorithmen in großem Detail machen. (Theorema wäre hier ein schöner Rahmen.)

31 Copyright B. Buchberger Methoden an Beispielen einüben, Aufrufen der Methoden lernen. (White-Box / Black-Box Prinzip.) Modellieren von realen Probleme auf (Kombination von) mathematischen Problemen üben und mathematische Probleme durch Aufruf der Routinen aus math Software-Systemen lösen. (Programmieren in diesen Systemen lernen.) Interpretieren der Ergebnisse (allenfalls Iteration des Vorgangs), Dokumentieren, Präsentieren.


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