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Veröffentlicht von:Claramond Lastinger Geändert vor über 10 Jahren
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Risikoteilung in der Schadenversicherungsmathematik
Frank Anna
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Themenübersicht Gründe zur Risikoteilung
Risikoteilung zwischen VU und VN proportionale Risikoteilung nichtproportionale Risikoteilung Risikoteilung zwischen Erst- und Rückversicherer Einfluss auf die Schadenvariablen
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Warum Risikoteilung? Der Ausschluss von Kleinschäden
Die Beeinflussung des moralischen Risikos Weitere Gründe
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Der Ausschluss von Kleinschäden
Im beiderseitigen Interesse Kleinschäden erhöhen Verwaltungskosten und Regulierungsaufwand Mehrkosten hat VN über Prämie auszugleichen
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Die Beeinflussung des moralischen Risikos
VN hat die Möglichkeit, den Schadenverlauf zu beeinflussen Motivation an Schadenverhütung durch finanzielle Selbstbeteiligung
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Weitere Gründe Der Versicherungsnehmer hält sich für „überdurchschnittliches“ Risiko Er ist an Reduktion der Kosten interessiert Er möchte nicht ganz auf Versicherungsschutz verzichten
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Formen für Risikoteilung zwischen VN und VU
Proportionale Risikoteilung Nichtproportionale Risikoteilung
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Proportionale Risikoteilung
X = cX + (1-c)X , <c<1 X…Schadenvariable (Schadenhöhe pro Schadenfall oder Jahresgesamtschaden)
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Proportionale Risikoteilung
Prozenttarife in der Krankenversicherung Unterversicherung Mitversicherung
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Nichtproportionale Risikoteilung
X = min(X, a) + max(X-a, 0) , a>0 a…Teilungsgrenze min(X, a)…Erstrisiko max(X-a, 0)…Zweitrisiko
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Nichtproportionale Risikoteilung
Abzugsfranchise Erstrisikodeckung Jahresfranchise Jahreslimits
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Formen für Risikoteilung zwischen Erst- und Rückversicherer
VU, das anderem VU Versicherungsschutz gewährt, nennt man Rückversicherer VU, das Originalpolizzen ausstellt, nennt man Erstversicherer Man unterscheidet wieder zwischen proportionaler und nichtproportionaler Rückversicherung
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Formen der proportionalen RV
Quoten-Rückversicherung Summenexzedenten-Rückversicherung
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Formen der nichtproportionalen RV
Einzelschadenexzedenten-Rückversicherung Kumulschadenexzedenten-Rückversicherung Jahresüberschaden-Rückversicherung oder Stop Loss
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Kombination von RV-Formen
RV-Formen werden oft kombiniert, um Schutz gegen Frequenzrisiko Schutz gegen Großschadenrisiko zu erreichen
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Einfluss der Risikoteilung auf die Schadenvariablen
Problem bei nichtprop. Risikoteilung: Wie wirkt sich Risikoteilung auf Prämie aus? (nichtprop. Risikoteilung nur als Aufteilung von Schäden definiert) bei proportionalen Risikoteilung hingegen handelt es sich um Aufteilung von Prämien und Schäden
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Einfluss bei prop. Risikoteilung
an der Schadenzahlverteilung ändert sich nichts Schadenhöhen werden proportional kleiner Beziehung der Dichten von cX ( ) und X ( ):
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Momente bei prop. Risikoteilung
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Variationskoeffizient und Schiefe
mit Momenten leicht berechenbar: Variationskoeffizient: Schiefe: Sie verändern sich durch proportionale Risikoteilung nicht.
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Einfluss bei nichtprop. Risikoteilung
Einfluss auf die Schadenzahl Einfluss auf die Schadenhöhe Einfluss auf den Gesamtschaden
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Einfluss auf die Schadenzahl
Schaden X = min(X, a) + max(X-a, 0) Erstrisiko:= Zweitrisiko:= …Schadenzahl ohne Risikoteilung …Schadenzahl des Zweitrisikos und haben oft selbe Verteilungstypen
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Einfluss auf die Schadenzahl
Ist negativ-binomial verteilt, ist bei wachsender Schadengröße immer mehr poissonverteilt. Dies sieht man wegen: wird bei wachsendem a kleiner je seltener Zweitrisikoschäden, umso eher poissonverteilt
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Einfluss auf die Schadenhöhe
Schadenhöhe des Erstrisikos Verteilungsfunktion des Erstrisikos
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Einfluss auf die Schadenhöhe
Momente: Beziehung: Variationskoeffizient: Schiefe: Beziehungen:
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Einfluss auf Schadenhöhe
Schadenhöhe des Zweitrisikos Verteilungsfunktion
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Einfluss auf den Gesamtschaden
Ges.schaden = Ges.erstrisiko + Ges.zweitrisiko Erwartungswert und Varianz des Erstrisikos
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Einfluss auf Gesamtschaden
Erwartungswert und Varianz des Zweitrisikos Beziehung: wegen und folgt:
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Einfluss auf Gesamtschaden
Beziehung der Varianzen: Wegen und weil und , werden die Varianzen immer kleiner, d.h.: und
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Einfluss auf Gesamtschaden
Für die Standardabweichung gilt: Diese Eigenschaft ist insbesondere im Vergleich zur proportionalen Risikoteilung, bei der gilt, interessant. bei nichtprop. Risikoteilung keinerlei Zusammenhänge
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Einfluss auf Gesamtschaden
Bei nichtproportionaler Teilung: Variationskoeffizienten des Erstrisikos Variationskoeffizienten des Zweitrisikos in folgender Beziehung:
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Fazit proportionale Risikoteilung wenig Einfluss auf Schadenvariablen
nichtproportionale Risikoteilung bedeutender Einfluss auf Schadenvariablen verschiedene Manipulationen der Verteilungsfunktionen erfordert teilweise numerische Integration
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VIELEN DANK FÜR IHRE AUFMERKSAMKEIT!!!
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