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Risikoteilung in der Schadenversicherungsmathematik Frank Anna 21.12. 2011.

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Präsentation zum Thema: "Risikoteilung in der Schadenversicherungsmathematik Frank Anna 21.12. 2011."—  Präsentation transkript:

1 Risikoteilung in der Schadenversicherungsmathematik Frank Anna

2 Themenübersicht Gründe zur Risikoteilung Risikoteilung zwischen VU und VN – proportionale Risikoteilung – nichtproportionale Risikoteilung Risikoteilung zwischen Erst- und Rückversicherer Einfluss auf die Schadenvariablen

3 Warum Risikoteilung? Der Ausschluss von Kleinschäden Die Beeinflussung des moralischen Risikos Weitere Gründe

4 Der Ausschluss von Kleinschäden Im beiderseitigen Interesse Kleinschäden erhöhen Verwaltungskosten und Regulierungsaufwand Mehrkosten hat VN über Prämie auszugleichen

5 Die Beeinflussung des moralischen Risikos VN hat die Möglichkeit, den Schadenverlauf zu beeinflussen Motivation an Schadenverhütung durch finanzielle Selbstbeteiligung

6 Weitere Gründe Der Versicherungsnehmer hält sich für überdurchschnittliches Risiko Er ist an Reduktion der Kosten interessiert Er möchte nicht ganz auf Versicherungsschutz verzichten

7 Formen für Risikoteilung zwischen VN und VU Proportionale Risikoteilung Nichtproportionale Risikoteilung

8 Proportionale Risikoteilung X = cX + (1-c)X, 0

9 Proportionale Risikoteilung Prozenttarife in der Krankenversicherung Unterversicherung Mitversicherung

10 Nichtproportionale Risikoteilung X = min(X, a) + max(X-a, 0), a>0 a…Teilungsgrenze min(X, a)…Erstrisiko max(X-a, 0)…Zweitrisiko

11 Nichtproportionale Risikoteilung Abzugsfranchise Erstrisikodeckung Jahresfranchise Jahreslimits

12 Formen für Risikoteilung zwischen Erst- und Rückversicherer VU, das anderem VU Versicherungsschutz gewährt, nennt man Rückversicherer VU, das Originalpolizzen ausstellt, nennt man Erstversicherer Man unterscheidet wieder zwischen proportionaler und nichtproportionaler Rückversicherung

13 Formen der proportionalen RV Quoten-Rückversicherung Summenexzedenten-Rückversicherung

14 Formen der nichtproportionalen RV Einzelschadenexzedenten-Rückversicherung Kumulschadenexzedenten-Rückversicherung Jahresüberschaden-Rückversicherung oder Stop Loss

15 Kombination von RV-Formen RV-Formen werden oft kombiniert, um – Schutz gegen Frequenzrisiko – Schutz gegen Großschadenrisiko zu erreichen

16 Einfluss der Risikoteilung auf die Schadenvariablen Problem bei nichtprop. Risikoteilung: Wie wirkt sich Risikoteilung auf Prämie aus? (nichtprop. Risikoteilung nur als Aufteilung von Schäden definiert) bei proportionalen Risikoteilung hingegen handelt es sich um Aufteilung von Prämien und Schäden

17 Einfluss bei prop. Risikoteilung an der Schadenzahlverteilung ändert sich nichts Schadenhöhen werden proportional kleiner Beziehung der Dichten von cX ( ) und X ( ):

18 Momente bei prop. Risikoteilung

19 Variationskoeffizient und Schiefe mit Momenten leicht berechenbar: Variationskoeffizient: Schiefe: Sie verändern sich durch proportionale Risikoteilung nicht.

20 Einfluss bei nichtprop. Risikoteilung Einfluss auf die Schadenzahl Einfluss auf die Schadenhöhe Einfluss auf den Gesamtschaden

21 Einfluss auf die Schadenzahl Schaden X = min(X, a) + max(X-a, 0) Erstrisiko:= Zweitrisiko:= …Schadenzahl ohne Risikoteilung …Schadenzahl des Zweitrisikos und haben oft selbe Verteilungstypen

22 Einfluss auf die Schadenzahl Ist negativ-binomial verteilt, ist bei wachsender Schadengröße immer mehr poissonverteilt. Dies sieht man wegen: wird bei wachsendem a kleiner je seltener Zweitrisikoschäden, umso eher poissonverteilt

23 Einfluss auf die Schadenhöhe Schadenhöhe des Erstrisikos Verteilungsfunktion des Erstrisikos

24 Einfluss auf die Schadenhöhe Momente: Beziehung: Variationskoeffizient: Schiefe: Beziehungen:

25 Einfluss auf Schadenhöhe Schadenhöhe des Zweitrisikos Verteilungsfunktion

26 Einfluss auf den Gesamtschaden Ges.schaden = Ges.erstrisiko + Ges.zweitrisiko Erwartungswert und Varianz des Erstrisikos

27 Einfluss auf Gesamtschaden Erwartungswert und Varianz des Zweitrisikos Beziehung: wegen und folgt:

28 Einfluss auf Gesamtschaden Beziehung der Varianzen: Wegen und weil und, werden die Varianzen immer kleiner, d.h.: und.

29 Einfluss auf Gesamtschaden Für die Standardabweichung gilt: Diese Eigenschaft ist insbesondere im Vergleich zur proportionalen Risikoteilung, bei der gilt, interessant. bei nichtprop. Risikoteilung keinerlei Zusammenhänge

30 Einfluss auf Gesamtschaden Bei nichtproportionaler Teilung: Variationskoeffizienten des Erstrisikos Variationskoeffizienten des Zweitrisikos in folgender Beziehung:

31 Fazit proportionale Risikoteilung wenig Einfluss auf Schadenvariablen nichtproportionale Risikoteilung bedeutender Einfluss auf Schadenvariablen – verschiedene Manipulationen der Verteilungsfunktionen – erfordert teilweise numerische Integration

32 VIELEN DANK FÜR IHRE AUFMERKSAMKEIT!!!


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