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Diskrete Mathematik Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before.

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Präsentation zum Thema: "Diskrete Mathematik Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before."—  Präsentation transkript:

1 Diskrete Mathematik Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAAAAAAAAAAAAAA

2 Algebra Kapitel 3: Kapitel 3.1: Modulare Arithmetik

3 kongruent modulo m a b (mod m) gdw. m teilt a-b Schreibweise: a mod m := Zahl r Î {0,…,m-1} mit a r (mod m) Rest von a modulo m Beachte: a b (mod m) gdw. (a mod m) = (b mod m)

4 Multiplikation & Kürzen Für Zahlen a,b,c,d ÎZ, c ¹ 0, gilt: a c = b c gdw. a = b Bei der Modulo-Rechnung folgt aus a c b c (mod m) im Allgemeinen nicht, dass a c b c (mod m). Bsp: (mod 6), aber 1 4 (mod 6). Dies gilt nur, wenn ggT(c,m)=1 und m ³ 2.

5 Modulorechnung - Beispiele ISBN International Standard Book Number EAN European Article Number MDi Message-Digest Verfahren

6 ISBN 10 – stellige Nummer, bestehend aus einem Länder- bzw. Sprachgruppenkode, z.B. 0 für Verlage aus englischsprachigen Ländern und 3 für Verlage aus Deutschland, Österreich und der Schweiz, einer Verlagsnummer, einer laufenden Nummer innerhalb des Verlagprogramms, die von den Verlagen selbst vergeben werden kann, und einer Prüfziffer.

7 ISBN - Beispiel ISBN Prüfziffer Berechnung der Prüfziffer: mod 11

8 ISBN - Eigenschaften Die Prüfziffer erkennt Tippfehler Bsp: Schreibt man statt so stimmt die Prüfziffer nicht. Zahlensturz (Vertauschung zweier Ziffern) Bsp: Schreibt man statt so stimmt die Prüfziffer nicht.

9 EAN 13-stellige Nummer, bestehend aus der so genannten Basisnummer, die in der Schweiz von der Organisation GS1 Schweiz vergeben wird, eine vom Hersteller vergebene Artikelnummer und eine Prüfziffer.

10 EAN - Beispiel EAN Prüfziffer Berechnung der Prüfziffer: (von hinten lesen) mod 10

11 EAN - Eigenschaften Die Prüfziffer erkennt Tippfehler und manchmal einen Zahlensturz …

12 MDi Idee: Berechne einen Fingerabdruck einer Nachricht durch geschickte Kombination von Modulo-Berechnungen und Bitoperationen wie Shifts und ANDs und ORs ….

13 Kapitel 3.1.2: Euklidischer Algorithmus

14

15 Erweiterter Euklidischer Algorithmus

16 Lösen linearer Gleichungen

17 Chinesischer Restsatz

18 Der kleine Satz von Fermat

19 Kapitel 3.2: Gruppen

20 Beispiel Neutrales Element: c

21 Permutationen

22 Rechenregeln


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