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29.01.20081 Wiederholung Formale Potenzreihen Erzeugende Funktion A(x) := n ¸ 0 a n x n Arithmetik auf Potenzreihen Addition/Subtraktion Multiplikation/Inverse.

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Präsentation zum Thema: "29.01.20081 Wiederholung Formale Potenzreihen Erzeugende Funktion A(x) := n ¸ 0 a n x n Arithmetik auf Potenzreihen Addition/Subtraktion Multiplikation/Inverse."—  Präsentation transkript:

1 Wiederholung Formale Potenzreihen Erzeugende Funktion A(x) := n ¸ 0 a n x n Arithmetik auf Potenzreihen Addition/Subtraktion Multiplikation/Inverse Shifts, Ableiten, etc. Geschlossene Form für geometrische Reihe Polyas Geldwechsel-Problem Strategie zum Lösen von Rekursionsgleichungen TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: A A A A

2 Lösen von Rekursionen Rekursion: a n = a n für n ¸ 1 und a 0 =1. Koeffizientenvergleich: a n = n+1 für alle n ¸ 0.

3 Allgemeine Strategie 1. Aufstellen der erzeugenden Fkt. A(x)= n ¸ 0 a n x n 2. Einsetzen von Anfangswerten und Rekursionsgleichung. 3. Stelle alle a n durch A(x) dar. 4. Auflösen nach A(x) liefert geschlossene Form A(x)=f(x). 5. Formulierung von f(x) als formale Potenzreihe Hilfsmittel: Partialbruchzerlegung 6. Koeffizientenvergleich: Ablesen von geschlossener Form für a n

4 Ableiten von G(x) Geometrische Reihe G(x) = n ¸ 0 x n = Ableiten liefert Erneutes Ableiten: k-maliges Ableiten: D.h.

5 Partialbruchzerlegung Satz: Seien f,g 2 R [x] mit grad(g) < grad(f) f(x) = (1-a 1 x) k 1 ¢ … ¢ (1-a r x) k r. Dann gibt es g i (x) mit grad(g i )

6 Bsp. Partialbruchzerlegung g(x)=x, f(x) = (x^2-1). Liefert Ansatz

7 Darstellung von f(x) Sei f(x) = f 0 + f 1 x + f n x n Ziel: Schreibe f(x) = (1-a 1 x) k 1 *…*(1-a r x) k r Definieren reflektiertes Polynom f R (x) = f n + f n-1 x + … + f 0 x n Man beachte: f R (x) = x n * f R (1/x) Wichtiger Spezialfall: f R zerfalle in Linearfaktoren: f R (x) = (x-a 1 )*…*(x-a n ) ) f(x) = x n *f R (1/x) = x(1/x-a 1 )*…*x(1/x-a n ) = (1-a 1 x)*…*(1-a n x)

8 Partialbruchzerlegung g(x) = x, f(x) = 1-x-x 2 f R (x) = x 2 -x-1 hat die beiden Nullstellen D.h. f(x) = (1 - Á x)(1- Á x). Kettenbruchansatz:

9 Zurück zu den Rekursionsgleichungen Fibonacci-Zahlen: F n = F n-1 + F n-2, n ¸ 2, F 1 =1, F 0 =0 1. Erzeugende Funktion: 2. Rekursionsgleichung: 3. Darstellung der Summen durch F(x):

10 Geschlossene Form für F n 4. Auflösen nach F(x): 5. Ersetzen durch formale Potenzreihe 4. Koeffizientenvergleich F n =[x n ] F(x):

11 Anzahl Klammerungen Klammerung k der Länge m: k=k 1 …k m 2 { (, ) } m Klammerung legal: #öffnende Klammern in k 1 …k i ¸ #schließende Klammern in k 1 …k i Für k gilt: #öffnende Klammern = #schließende Klammern C n = # legale Klammerungen mit n öffnenden Klammern C 0 = 1: leeres Wort ² C 1 = 1: () C 2 = 2: ()(), (()) C 3 = 5 Anwendung (Vorlesung 22): #vollständig geklammerte Matrixprodukte mit n Matrizen = C n-1

12 Rekursive Definition von C n Lemma: Für alle n ¸ 1 gilt C n = k=1 n C k-1 C n-k A k := Menge der legalen Klammerungen mit Erste Klammer wird an Position 2k geschlossen ( ) A ist legale Klammerung mit k-1 öffnenden Klammern B ist legale Klammerung mit n-k öffnenden Klammern AB

13 Auflösen der Rekursionsgleichung

14 Geschlossene Form für C n


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