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Mehrkriterielle Optimierung mit Metaheuristiken (Vorlesung) Prof. Dr. Günter Rudolph Fachbereich Informatik Lehrstuhl für Algorithm Engineering (LS XI)

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Präsentation zum Thema: "Mehrkriterielle Optimierung mit Metaheuristiken (Vorlesung) Prof. Dr. Günter Rudolph Fachbereich Informatik Lehrstuhl für Algorithm Engineering (LS XI)"—  Präsentation transkript:

1 Mehrkriterielle Optimierung mit Metaheuristiken (Vorlesung) Prof. Dr. Günter Rudolph Fachbereich Informatik Lehrstuhl für Algorithm Engineering (LS XI) Fachgebiet Computational Intelligence Sommersemester 2006

2 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 3: Analytische Lösung2 Kapitel 3: Analytische Lösung Definition 3.1: Sei M µ R n und > 0. U (x 0 ) = { x 2 R n : || x – x 0 || } heißt -Umgebung von x 0 2 M. x 2 M innerer Punkt von M, 9 > 0: U (x) µ M. Sonst: Randpunkt von M. Das Innere von M = Menge aller inneren Punkte. In Zeichen: int(M). Der Rand von M = Menge aller Randpunkte. In Zeichen: M. x x innerer Punkt Randpunkt

3 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 3: Analytische Lösung3 Kapitel 3: Analytische Lösung Definition 3.2: Seien A, B µ R n. A + B := { a + b : a 2 A Æ b 2 B } algebraische Summe A – B := { a – b : a 2 A Æ b 2 B } algebraische Differenz A := { a : a 2 A }skalares Vielfaches A + { 0 } = A A + B = B + A A – B = A + (-1) B (A + B) = A + B ( + ) A µ A + A 2A A + A (im Allgem.) Rechenregeln:

4 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 3: Analytische Lösung4 Kapitel 3: Analytische Lösung Definition 3.3: K µ R n heißt Kegel 8 x 2 K: 8 0: x 2 K. Kegel –K := { -x : x 2 K } heißt Diametralkegel von K. Kegel K heißt (a) konvex, falls 8 x 1, x 2 2 K: x 1 + x 2 2 K, (b) nichttrivial, falls 0 2 K und K { 0 } und K R n, (c) echt, falls 0 2 K und K Å (-K) = { 0 }. echt, konvex, nichttrivial K = { x 2 R 2 : x 2 0 } konvex, nichttrivial, nicht echt weil K Å (-K) = { x 2 R 2 : x 2 = 0 } { (0, 0) }

5 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 3: Analytische Lösung5 Kapitel 3: Analytische Lösung Definition 3.4: M µ R n heißt (a)konvex, falls 8 x, y 2 M: 8 2 (0,1): x + (1 - ) y 2 M, (b)K-konvex oder kegelkonvex mit Kegel K, falls M + K konvexe Menge für einen echten, nichttrivialen, konvexen Kegel K. konvex nicht konvex R+R+ 2 -konvex

6 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 3: Analytische Lösung6 Kapitel 3: Analytische Lösung Satz 3.1: (a)Die algebraische Summe konvexer Mengen ist konvex. (b)Das kartesische Produkt konvexer Mengen ist konvex. (c)Der Durchschnitt konvexer Mengen ist konvex. ad a) Menge A konvex Æ Kegel K konvex ) A + K konvex (und K-konvex) ad b) Menge A konvex ) A n konvex ad c) Seien x, c, d 2 R n { x 2 R n : cx 0 } und { x 2 R n : dx 0 } konvexe Hyperebenen { x 2 R n : cx 0 } Å { x 2 R n : dx 0 } konvex { x 2 R n : cx 0 Æ dx 0 } konvex

7 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 3: Analytische Lösung7 Kapitel 3: Analytische Lösung Definition 3.5: Seien x 1, x 2 2 X µ R n und 2 [0,1]. Funktion f: X Z µ R m heißt (a) konvex, falls f( x 1 + (1 - ) x 2 ) f(x 1 ) + (1 - ) f(x 2 ), (b) konkav, falls –f konvex ist, (c) linear oder affin, wenn f sowohl konvex als auch konkav. konvex konkav linear weder konvex noch konkav

8 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 3: Analytische Lösung8 Kapitel 3: Analytische Lösung Satz 3.2: Sei X µ R n konvex und f: X R m mit f(x) = Ax + b affine Abbildung. Dann Bild f(X) = { f(x) : x 2 X } von X konvex. Beweis: X konvex 8 2 [0,1]: 8 x 1, x 2 2 X: x 1 + (1- ) x 2 2 X und f( x 1 + (1- ) x 2 ) 2 f(X). Seien z 1, z 2 2 f(X) und x 1, x 2 2 X derart gewählt, dass z 1 = f(x 1 ), z 2 = f(x 2 ). Zu zeigen: z 1 + (1 - ) z 2 2 f(X). z 1 + (1 - ) z 2 = (Ax 1 + b) + (1- )(Ax 2 + b) = A( x 1 + (1- ) x 2 ) + b( + (1- )) = f( x 1 + (1- ) x 2 ) 2 f(X)

9 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 3: Analytische Lösung9 Kapitel 3: Analytische Lösung Gilt das vielleicht sogar für konvexe Funktionen über konvexen Mengen? Nein! Gegenbeispiel: f(x) = ( x, x 2 ) mit X = [ -1, 1 ] ½ R konvex 01 1 f1f1 f2f2 f(X) nicht konvex! Anmerkung: 9 weitere Klassen von Funktionen über konvexe Mengen, deren Bilder konvex sind. Hier nicht von Bedeutung, da nur Kegelkonvexität der Bilder entscheidend:

10 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 3: Analytische Lösung10 Kapitel 3: Analytische Lösung Satz 3.3: Sei X µ R n konvex und f: X R m konvex. Dann Bild f(X) kegelkonvex mit Kegel K = R + Beweis: Wenn ž 1, ž 2 2 Ž = f(X) + K, dann 9 v 1, v 2 2 K Æ x 1, x 2 2 X: ž 1 = z 1 + v 1 = f(x 1 ) + v 1 und ž 2 = z 2 + v 2 = f(x 2 ) + v 2. Wegen 1, 2 0 mit = 1 und der Konvexität von f(.) folgt 1 ž ž 2 = 1 f(x 1 ) + 2 f(x 2 ) + 1 v v 2 f( 1 x x 2 ) + 1 v v 2 Da K konvexer Kegel, ist v 1,2 := 1 v v 2 2 K und 9 v 3 2 K: v := v 1,2 + v 3 2 K. ) 1 ž ž 2 = f( 1 x x 2 ) + v 2 f(X) + K für geeignetes v bzw. v 3 m

11 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 3: Analytische Lösung11 Kapitel 3: Analytische Lösung Definition 3.6: Sei X µ R n und f: X R m, m 2. Mehrkriterielles Optimierungsproblem (f 1 (x), f 2 (x), …, f m (x)) min! bzgl. x 2 X Definition 3.7: Lösung x* 2 X heisst Pareto-optimal ex. kein x 2 X mit f(x) Á f(x*). Wenn x* Pareto-optimal, dann f(x*) effizient. Wenn f(x) ¹ f(y), dann: x dominiert y, f(x) dominiert f(y). Menge aller Pareto-optimalen Punkte = Paretomenge Menge aller effizienten Punkte = effiziente Menge oder Paretofront.

12 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 3: Analytische Lösung12 Kapitel 3: Analytische Lösung Satz 3.5: Sei F ½ R m. Es gilt F* µ F. Beweis: Annahme: z 2 F* jedoch z F. Deshalb: ) z 2 int(F) ) 9 > 0: U (z) ½ F. Wähle Richtung r 2 R m mit r 0 und Schrittweite s > 0 mit ||sr|| <. ) z 0 = z – sr 2 F liegt sogar 2 int(F) und z 0 ¹ z ) z F* WIDERSPRUCH zur Annahme! Satz 3.6: Sei F ½ R m. Dann F* = (F + R + )*. m

13 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 3: Analytische Lösung13 Kapitel 3: Analytische Lösung Definition 3.8: (Kuhn/Tucker 1951) Sei f: X R m differenzierbar. x* 2 X heisst eigentlich Pareto-optimal, x* ist Pareto-optimal und (a)es existiert kein h 2 R m mit wobei J(x*) = { j = 1,…,m : g j (x*) = 0 } die Menge der aktiven Indices.

14 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 3: Analytische Lösung14 Kapitel 3: Analytische Lösung notwendig: Determinante der Jacobi-Matrix muss Null sein! Beispiel: Jacobi-Matrix

15 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 3: Analytische Lösung15 Kapitel 3: Analytische Lösung optimale eigennützige Lösungen

16 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 3: Analytische Lösung16 Kapitel 3: Analytische Lösung Optima von f 1 c = 10, d = 0, k = 0, l = 0 Optima von f 2 ( 0, 0 ) ca. (+/ , +/ ) Noch ein Beispiel: Berechnung analytischer Lösung noch möglich aber Grenzen der analytischen Lösbarkeit erreicht!


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