Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

FOURIER-Transformation ein hilfreiches Werkzeug in der digitalen Messtechnik Zeit- und Frequenzraum mathematische Grundlagen Anwendungsbeispiele Beitrag.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "FOURIER-Transformation ein hilfreiches Werkzeug in der digitalen Messtechnik Zeit- und Frequenzraum mathematische Grundlagen Anwendungsbeispiele Beitrag."—  Präsentation transkript:

1 FOURIER-Transformation ein hilfreiches Werkzeug in der digitalen Messtechnik Zeit- und Frequenzraum mathematische Grundlagen Anwendungsbeispiele Beitrag zur Lehrveranstaltung PCs zur Messwerterfassung und Messdatenverarbeitung 24. November 2000, J. Theiner

2 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 2 Einführung Einführung Charakterisierung periodischer Signale Periodisches Signal: Sinus/Cosinus-Funktion = harmonische Welle Periodendauer Amplitude BIAS

3 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 3 Periodenlänge IoIo UoUo IoIo

4 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 4 Einführung Einführung Darstellung von Wechselstromgrößen AC = a o.cos(.t + ) AC = a o. e i (.t + ) t t Realteil Imaginärteil

5 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 5 Einführung Einführung Wie kommt man vom Zeigerdiagramm zur Winkelfunktion?

6 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 6 Wechselströme Wechselströme Strom und Spannung im Wechselstromkreis AC- Schaltkreis A V t Periodenlänge Amplituden- verhältnis Periodenlänge

7 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 7 Wechselströme Wechselströme der Wechselstromwiderstand - die Impedanz In Wechselstromkreisen gilt für die Beziehung von Spannung U AC und Strom I AC das Ohmsche Gesetz, wobei der Widerstand durch eine frequenzabhängige Größe, die Impedanz Z AC, dargestellt wird. Die Impedanz Z bestimmt das Amplitudenverhältnis von Strom und Spannung in einem Messkreis. Die Impedanz Z bewirkt meist auch eine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung. In der Wechselstromtechnik wird der Leitwert Y, der Kehrwert der Impedanz, fast ebenso häufig verwendet, um die Eigenschaften von Systemen zu beschreiben.

8 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 8 Wechselströme Wechselströme komplexe Darstellung von AC-Größen Durch die Darstellung von periodische Signalen U AC und I AC im Frequenzraum können viele Beziehungen vereinfacht modelliert werden. Besonders lassen sich die Impedanz und der Leitwert eines Messkreises durch komplexe Frequenzfunktionen Z( ) oder Y( ) beschreiben. In dieser Darstellung zeigt der Realteil den physikalisch messbaren Anteil des Signals zu jeder Zeit t, der Imaginärteil (Blindanteil) hat physikalisch keine Bedeutung.

9 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 9 Frequenzdarstellung Frequenzdarstellung Zeit Frequenz Periodische Signale können innerhalb ihrer Periodendauer t einen beliebigen Verlauf x(t) haben. Es muss aber immer gelten x(t) = x(t + i. t). Grundsätzlich lässt sich diese Betrachtung auch auf ein unendlich langes Zeitintervall t erweitern. Frequenzspektrum Jede periodische Funktion lässt sich auch durch ein Frequenzspektrum gleichwertig und vollständig darstellen. Theoretisch lässt sich ein Frequenzspektrum durch einen Funktionensatz f i (t) (i=0..n, n ) erhalten, die dem Sturm-Liouville-Theorem genügen. SinusCosinus Aufgrund der besonderen mathematisch-physikalischen Bedeutung betrachten wir immer die Spektren der harmonischen Funktionen Sinus und Cosinus, die gemeinsam einen vollständigen, orthogonalen Funktionensatz bilden:

10 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 10 Frequenzdarstellung Frequenzdarstellung x(t) y(f) - die Fourier-Transformation In einer endlichen Periode t, in der n Messwerte in Intervallen aufgezeichnet sind, kann dieses Signal durch eine Fourier-Reihe der folgenden Form exakt dargestellt werden. a i und b i sind die sogenannten Fourier-Koeffizienten, die sich als Frequenz- spektrum interpretieren lassen. Betrachtet man eine einzelne Wechselstromgröße, so ist die Phasenlage im Frequenzraum meist unbedeutend. Betrachtet man das Verhältnis zweier oder mehrerer AC-Größen, so bekommt die relative Phasenlage Bedeutung.

11 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 11 Frequenzdarstellung Frequenzdarstellung x(t) y(f) - die Fourier-Transformation Zeit Frequenz Signalverlauf Signalspektrum FT oder FFT

12 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 12 Frequenzdarstellung Frequenzdarstellung Darstellung von Impedanzspektren Da Impedanzen als komplexe Funktionen zwei Funktionswerte für jede Frequenz haben, kann der Funktionsverlauf nicht vollständig in einem x/y-Diagramm erfasst werden. Spektrale Darstellungen werden im allgemeinen über einer logarithmischen Frequenzachse aufgetragen. Die Darstellung von zwei Amplitudenspektren, die den Real- und den Imaginärteil der Impedanz abbilden, wird eher selten genutzt. Große Bedeutung hat die Darstellung im sogenannten BODE-Diagramm, einer Kombination des Spektrums der Magnitude und des Phasenwinkels über einer logarithmischen Frequenzachse. Am häufigsten wird das NYQUIST-Diagramm (Ortskurve) gezeigt. Dabei ist die Spur der Impedanzfunktion in der komplexen Zahlenebene abgebildet, die meist durch Frequenzangaben zu einzelnen Messpunkten ergänzt wird. Für spezielle Auswertungen sind noch andere graphische Darstellungen gebräuchlich.

13 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 13 Impedanzverhalten Impedanzverhalten einfache elektronische Bauelemente Ohmscher Widerstand: ein Widerstand R hat nur einen Realteil und führt zu keiner Phasenverschiebung. Kondensator: Eine Kapazität C hat als Impedanz keinen Realteil. Für die Kombination von Impedanzen und Leitwerten gelten dieselben Gesetze wie für Widerstände im Gleichstromkreis. Mehrere Baugruppen mit Einzelimpedanzen Z i in Serienschaltung summieren sich zu einer Gesamtimpedanz Z. Mehrere Elemente mit Leitwerten Y i in Parallelschaltung summieren sich zu einem Gesamtadmittanz Y.

14 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 14 Impedanzverhalten Impedanzverhalten... und daraus aufgebauter Schaltgruppen Serienschaltung von R und C Bei niedrigen Frequenzen geht der Betrag der Impedanz gegen unendlich. Für hohe Frequenzen geht der Beitrag der Kapazität gegen Null. Die Impedanz nähert sich dem Verhalten eines Ohmschen Widerstandes. Diese Schaltung eignet sich als Ersatzschaltbild für die Anordnung bei einer Leitfähigkeitsmessung. R stellt dabei den Elektrolytwiderstand dar. Die dabei eingesetzten Frequenzen sind so zu wählen, dass der Betrag 1/.C gegenüber der Messgröße R vernachlässigbar ist typische Messfrequenzen: 1 bis 10 kHz Realteil von Z -Imaginärteil von Z

15 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 15 Impedanzverhalten Impedanzverhalten... und daraus aufgebauter Schaltgruppen Parallelschaltung von R und C Das Frequenzverhalten der Parallelschaltung ist deutlich komplizierter.

16 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 16

17 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 17 UoUo IoIo UBUB IBIB

18 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 18 Messtechnik direkte Aufzeichnung von U vs. t und I vs. t oder Auswertung der L ISSAJOU -Darstellungen vor allem für niedrige Frequenzen bis zu einigen Hz, mit Oszilloskop oder schneller Messwerterfassung auch für höhere Frequenzen möglich Widerstandsmessbrücken Phasensensitive Detektoren (Lockin-Amplifier) Digitale Messanlagen auf Basis von F OURIER -Transformations-Methoden Zweielektrodentechnik wird gern verwendet, um Beiträge und Störungen durch elektronische Schaltung zu vermeiden. Dreielektrodentechnik mit schnellen und phasentreuen Potentiostaten

19 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 19 Messtechnischer Ansatz Sollsignal U soll oder I soll Sollsignal U soll oder I soll Systemantwort I AC oder U AC Systemantwort I AC oder U AC Messzelle/ Potentiostat Messzelle/ Potentiostat Ermittlung der Impedanz oder des Leitwertes Ermittlung der Impedanz oder des Leitwertes analoge Schaltungdigitale Verarbeitung

20 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 20 Störfrequenz ca. 1/10 der Signalfrequenz und 1/5 der Amplitude (ein ähnliches Bild ergibt sich auch für eine DC-Drift)

21 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 21 Störfrequenz ca. 10-fache Signalfrequenz und 1/10 der Amplitude

22 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 22 Störsignale in Form von weißem Rauschen ca. 2 % der Spannungsamplitude, ca. 20 % der Stromamplitude

23 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 23 doppelt logarithmisches FFT-Spektren des Stromsignales mit niedriger Störfrequenz, höherer Störfrequenz und weißem Rauschen

24 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 24 komplexe Funktionensätze Eine Beziehung zwischen komplexen Funktionen A und B kann durch eine sogenannte Transferfunktio H AB beschrieben werden. Die Transferfunktion ist mathematisch identisch mit der Impedanz oder dem Leitwert. Die Ergebnisse der F OURIER -Transformation können daher direkt in Form der Transferfunktion zur Darstellung der Impedanz herangezogen werden.

25 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 25 Häufige Darstellungen in der Messtechnik In der Akustik und Wechselstrommesstechnik sind logarithmische Darstellungen weit verbreitet. Für die Frequenzachse wird der Begriff Oktave für die Verdoppelung der Frequenz verwendet (wie auch im Sprachgebrauch der Musik). Die Amplitudenachse (Magnitude, Real- oder Imaginärteil oder einer AC-Größe) wird eine Angabe in dB (Dezibel) verwendet. Dezibel skaliert das Verhältnis einer Leistung in Relation zu einem Bezugszustand. O HM ´sches Gesetz:

26 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 26 Messung ganzer Spektren Mit Hilfe der F OURIER -Transformation (im Allgemeinen FFT) können ganze Impedanzspektren innerhalb eines Messzyklus erfasst werden. Voraussetzung ist ein Funktionsgeneratorsignal, das im untersuchten Frequenzbereich für jeden Messpunkt eine definierte Signalamplitude liefert (Breitbandsignal). Es ist zu beachten, dass die FFT-Messpunkte in einer linearen Skala als Vielfache der niedrigsten erfassten Frequenz f 0 erhalten werden. Da die Impedanzspektren im Allgemeinen über einer logarithmischen Frequenzachse ausgewertet werden, ergibt sich eine sehr ungleiche Verteilung der Messpunkte Beispiel: Messung von N=1.024 Punkten in 400 msec f 0 =2,5 Hz und f max =N/2*f 0 = Hz wegen eines analogen Tiefpassfilters (Anti Aliasing Filter) am Messeingang kann das Spektrum nur über 400 Frequenzpunkte ausgewertet werden: erste Dekade bis 10 Hz: 4 Messwerte zweite Dekade bis 100 Hz: 36 Messwerte dritte Dekade bis 1000 Hz: 360 Messwerte

27 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 27 Messung ganzer Spektren Um ein FFT-Messgerät anzusteuern, ist eine Funktion sinnvoll, bei der das Sinus- Signal für jeden registrierten Frequenzpunkt mit der gewünschten Amplitude generiert. Eine solche Funktion kann nur digital generiert werden, steht aber fallweise auf ein Messgerät abgestimmt zur Verfügung. Bei quasi-zufälliger Gleichverteilung der Signalamplituden im Frequenzspektrum spricht man von weißem Rauschen (white noise, random noise). Ein solches Signal lässt sich rein rechnerisch erzeugen, indem die Signalamplituden zu jedem diskreten Zeitpunkt durch einen Zufallszahlengenerator im gewünschten Amplitudenintervall erzeugt werden. Auch analoge Rauschgeneratoren sind nach Stand der Technik verfügbar. Auch ein Gerätebrumm hat oft die Charakteristik eines Rauschens, doch werden dabei durch spezifische Trägheiten des Gerätes Färbungen, das heißt starke Frequenzabhängigkeiten der Amplitude erzeugt.

28 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 28 Signalspektren Aus der Spektroskopie kennen wir die Beziehung zwischen Frequenz und Energie, die allgemein gültig ist. Neben monochromatischen sind weiße Signale von Bedeutung, die aus vielen Einzelfrequenzen etwa gleicher Amplitude zusammengesetzt sind. Aus der Akustik kommt in die Wechselstrommesstechnik die Bezeichnung einer rosa (pink) Frequenzverteilung bei Breitbandsignalen. Die dabei gewählte Amplitudenverteilung im Frequenzspektrum gewährleistet, dass bei jeder Frequenz die gleiche Leistungsdichte angeboten wird. Die Signalamplitude nimmt dabei um 3 dB pro Oktave ab.

29 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 29 FFT-Spektrum von white noise Amplitudenverlauf von pink noise mit -3 dB pro Oktave

30 J. TheinerFOURIER-Transformation und Spektren 30 Andere Breitbandfunktionen Eine gängige Methode, eine definierte Frequenzverteilung mit Hilfe eines Sinus- Generators zu erzeugen, ist eine Frequenzmodulation. Eine rosa (pink) Amplitudenverteilung ist auch hier möglich und kann gut demonstriert werden:


Herunterladen ppt "FOURIER-Transformation ein hilfreiches Werkzeug in der digitalen Messtechnik Zeit- und Frequenzraum mathematische Grundlagen Anwendungsbeispiele Beitrag."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen