Non-parametrische Testverfahren

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1 Non-parametrische Testverfahren
Gliederung Definition Der χ² Test Kolmogorov-Smirnov-Test Überblick weitere Verfahren: Der Fisher-Yates-Test Der McNemar-Test Cochran-Test (Q-Test) Der Mediantest Der U-Test (Mann-Whitney Test) Vorzeichentest und Vorzeichenrangtest Der Friedman-Test Binominal-Test 11_nonpara 1

2 Non-parametrische Testverfahren
Definition: Nonparametrische (verteilungsfreie) Testverfahren setzen nicht eine bestimmte Verteilungsformen des erfassten Merkmals (z.B. Normalverteilung) voraus. Nonparametrische Verfahren werden eingesetzt… für die Analyse von Ordinal- oder Nominalskalierten Variablen Wenn die Normalverteilungsannahme verletzt ist. Parametrische Verfahren dürfen nur verwendet werden, wenn die beteiligten Variablen die gefordert Verteilungsform ausweisen (z.B. Normalverteilung für den t-Test). Sie haben in der Regel eine höher statistische Power. 11_nonpara 2

3 Leiden Männer und Frauen gleich häufig an einer bestimmten Erkrankung?
Der χ² -Test Der χ²-Test („Chi-Quadrat-Test“) dient dem Vergleich von beobachteten und erwarteten Häufigkeiten. Er kann eingesetzt werden, wenn 1 oder 2 nominalskalierte unabhängige Variablen vorliegen. Beispiele: Leiden Männer und Frauen gleich häufig an einer bestimmten Erkrankung? Leisten hoch-ängstlich und gering-ängstliche Personen gleich häufig Hilfe in einer Notsituation? 11_nonpara 3

4 Voraussetzung für den χ² -Test (Faustregeln)
Der χ² -Test Voraussetzung für den χ² -Test (Faustregeln) Weniger als 1/5 aller Zellen hat ein erwartete Häufigkeit kleiner als 5. Keine Zelle weist eine erwartete Häufigkeit kleiner als 1 auf. Wenn diese Voraussetzungen nicht erfüllt sind, sollte alternativ der Fisher-Yates-Test verwendet werden. 11_nonpara 4

5 Statistische Hypothesen
Der χ² -Test χ² -Test – Beispiel 1 Es soll geprüft werden, ob die Verteilung von Männern und Frauen in einer Gruppe signifikant von einer Gleichverteilung abweicht. N = 76 (Frauen: 56; Männer: 20) Statistische Hypothesen H0: π(Frau) = π(Mann) H1: π(Frau) ≠ π(Mann) 11_nonpara 5

6 Zunächst werden die nach der H0 zu erwarteten Häufigkeiten berechnet:
Der χ² -Test Schritt 1: Zunächst werden die nach der H0 zu erwarteten Häufigkeiten berechnet: Beobachtet: NF = 56; NM=20 Erwartet: ??? Gesamtzahl: 76 Bei einer Gleichverteilung wären also 38 Männer und 38 Frauen zu erwarten. 11_nonpara 6

7 Nun wird der (empirische) χ²-Wert berechnet:
Der χ² -Test Schritt 2: Nun wird der (empirische) χ²-Wert berechnet: mit: k: Anzahl der Stufen der beiden Variablen fb,i: Beobachtete Häufigkeit in der Zelle (i) fe,i: Erwartete Häufigkeit in der Zelle (i) 11_nonpara 7

8 Der χ² -Test Geschlecht Frau Mann Beobachtet 56 20 76 Erwartet 38 58
78 11_nonpara 8

9 Für α=.05 ergibt sich bei df=1:
Der χ² -Test Schritt 3: Vergleich des empirischen χ²-Werts mit dem kritischen χ²-Wert. Der kritische χ²-Wert wird in Abhängigkeit von den Freiheits-graden und dem gewählten α-Niveau aus einer Tabelle zur χ²-Verteilung abgelesen (Leonhart, S.448f). Für α=.05 ergibt sich bei df=1: Die H0 muss verworfen werden; folglich kann ein Unterschied nachgewiesen werden. 11_nonpara 9

10 Statistische Hypothesen
Der χ² -Test Geschlecht Angst Frau Mann gering 25 14 39 hoch 33 6 58 20 78 χ² -Test – Beispiel 2 Frage: Ist die (relative) Häufigkeit hoher bzw. geringer Ängstlichkeit bei Männern und Frauen gleich? Statistische Hypothesen H0: π(Angst | Frau) = π(Angst | Mann) H1: π(Angst | Frau) ≠ π(Angst | Mann) 11_nonpara 10

11 Der χ² -Test Schritt 1: Zunächst werden aus den Randsummen die nach der H0 zu erwarteten Häufigkeiten geschätzt: Beobachtet: Erwartet: Geschlecht Angst Frau Mann gering 25 14 39 hoch 33 6 58 20 78 Geschlecht Angst Frau Mann gering 29 10 39 hoch 58 20 78 11_nonpara 11

12 Schritt 2: Nun wird der (empirische) χ²-Wert berechnet:
Der χ² -Test Schritt 2: Nun wird der (empirische) χ²-Wert berechnet: mit: k, l: Anzahl der Stufen der beiden Variablen fb(i,j): Beobachtete Häufigkeit in der Zelle (i,j) fe(i,j): Erwartete Häufigkeit in der Zelle (i,j) 11_nonpara 12

13 Beobachtet: Erwartet:
Der χ² -Test Beobachtet: Erwartet: Geschlecht Angst Frau Mann gering 25 14 39 hoch 33 6 58 20 78 Geschlecht Angst Frau Mann gering 29 10 39 hoch 58 20 78 11_nonpara 13

14 Für α=.05 ergibt sich bei df=1:
Der χ² -Test Schritt 3: Vergleich des empirischen χ²-Werts mit dem kritischen χ²-Wert. Der kritische χ²-Wert wird in Abhängigkeit von den Freiheits-graden und dem gewählten α-Niveau aus einer Tabelle zur χ²-Verteilung abgelesen (Leonhart, S.448f). Für α=.05 ergibt sich bei df=1: Die H0 muss verworfen werden; folglich kann ein Unterschied nachgewiesen werden. 11_nonpara 14

15 Der χ² -Test in SPSS 11_nonpara 15

16 Der χ² -Test in SPSS NPAR TEST /CHISQUARE=sex /EXPECTED=EQUAL
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17 SPSS-Ausgabe: Der χ² -Test in SPSS sex Beobachtetes N Erwartete Anzahl
Residuum 1 56 38,0 18,0 2 20 -18,0 Gesamt 76 Statistik für Test sex Chi-Quadrat 17,053a df 1 Asymptotische Signifikanz ,000 a. Bei 0 Zellen (.0%) werden weniger als 5 Häufigkeiten erwartet. Die kleinste erwartete Zellenhäufigkeit ist 38.0. 11_nonpara 17

18 Der Kolmogorov-Smirnov-Test
Der Kolmogorov-Smirnov-Test vergleicht eine empirische Verteilung mit einer vorgegebenen theoretischen Verteilung (z.B. Normalverteilung). Damit ist es möglich, die Voraussetzung parametrischer Testverfahren (z.B. für den t-Test) zu überprüfen. Statistische Hypothesen: H0: Die Variable ist normalverteilt H1: Die Variable ist nicht normalverteilt 11_nonpara 18

19 Der Kolmogorov-Smirnov-Test in SPSS
11_nonpara 19

20 Der Kolmogorov-Smirnov-Test in SPSS
NPAR TESTS /K-S(NORMAL)=freiburg psycho stat. 11_nonpara 20

21 Der Kolmogorov-Smirnov-Test in SPSS
Wenn p<.05 ist die Normalverteilungsannahme verletzt. Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest freiburg psycho stat N 98 Parameter der Normalverteilunga Mittelwert 20,8163 19,7908 16,5204 Standardabweichung 1,89055 3,04428 3,15650 Extremste Differenzen Absolut ,182 ,124 ,111 Positiv ,104 ,063 ,057 Negativ -,182 -,124 -,111 Kolmogorov-Smirnov-Z 1,797 1,225 1,098 Asymptotische Signifikanz (2-seitig) ,003 ,099 ,179 a. Die zu testende Verteilung ist eine Normalverteilung. 11_nonpara 21

22 Überblick weitere Verfahren:
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23 Der Fisher-Yates-Test
Der Fisher-Yates Test wird eingesetzt, um Kontingenztabellen auszuwerten, wenn die Voraussetzungen des χ²-Test verletzt sind (d.h. bei geringen erwarteten Häufigkeiten). Beispiel: Berechnung: Siehe Leonhart (2004), Seite 162f Raucher Nichtraucher Frauen 20 40 Männer 3 5 11_nonpara 23

24 Die erwarteten Häufigkeiten sollten nicht kleiner als 5 sein.
McNemar-Test Der McNemar-Test Der McNemar-Test wird für nominalskalierten Daten in zwei abhängigen Stichproben (z.B. Messwiederholung) verwendet . Die erwarteten Häufigkeiten sollten nicht kleiner als 5 sein. Beispiel: Veränderung des Rauchverhaltens von der Jugend bis ins Erwachsenenalter. Berechnung: Siehe Leonhart (2004), Seite 163f Erwachsene Jugend Nichtraucher Raucher Σ 33 3 36 18 21 39 51 24 75 11_nonpara 24

25 Cochran-Test (Q-Test)
Der Cochran-Test (Q-Test) Der Cochran-Test dient der Auswertung von nominalskalierten Daten in mehr als zwei abhängigen Stichproben. Beispiel: (NR=Nichtraucher; R=Raucher) Berechnung: Siehe Leonhart (2004), Seite 165f Alter (Jahre) Vp 12 16 20 24 28 1 NR R 2 3 4 5 11_nonpara 25

26 Berechnung: Siehe Leonhart (2004), Seite 162f
Mediantest Der Mediantest Der Der Mediantest dient dem Vergleich der zentralen Tendenz ordinalskalierter Variablen, wenn zwei unabhängige Stichproben vorliegen. Beispiel: Die Reaktionszeit bei einer Aufgabe soll zwischen Männern und Frauen verglichen werden (Da die Zeiten nicht normalverteilt sind, soll kein t-Test gerechnet werden) Berechnung: Siehe Leonhart (2004), Seite 162f 11_nonpara 26

27 U-Test (Mann-Whitney-Test)
Der U-Test (Mann-Whitney-Test) Der U-Test vergleicht die zentrale Tendenz eines ordinalskalierten Merkmals zwischen zwei unabhängigen Zufallsstichproben. Anmerkung: Der U-Test hat einer höhere Power als der Mediantest, jedoch ist er empfindlicher gegenüber Ausreißerwerten. Beispiel: Der Therapieerfolg (Rating 1 bis 5) soll zwischen einer Therapiegruppe und einer „Wartekontrollgruppe“ verglichen werden. Berechnung: Siehe Leonhart (2004), Seite 169f 11_nonpara 27

28 U-Test (Mann-Whitney-Test)
11_nonpara 28

29 U-Test (Mann-Whitney-Test)
NPAR TESTS /M-W= freiburg BY sex(1 2) . 11_nonpara 29

30 U-Test (Mann-Whitney-Test)
Weil p>.05 besteht also kein bedeutsamer Rangunterschied. Ränge Geschlecht N Mittlerer Rang Rangsumme freiburg männlich 21 41,57 873,00 weiblich 75 50,44 3783,00 Gesamt 96 Statistik für Testa freiburg Mann-Whitney-U 642,000 Wilcoxon-W 873,000 Z -1,312 Asymptotische Signifikanz (2-seitig) ,189 a. Gruppenvariable: Geschlecht 11_nonpara 30

31 H-Test (Kruskal & Wallis -Test)
Der H-Test (Kruskal & Wallis -Test) Der U-Test vergleicht die zentrale Tendenz eines ordinalskalierten Merkmals zwischen zwei unabhängigen Zufallsstichproben. Beispiel: Der Therapieerfolg soll zwischen drei Therapie-verfahren sowie einer „Wartekontrollgruppe“ verglichen werden. Berechnung: Siehe Leonhart (2004), Seite 175ff Therapie A Therapie B Therapie C Wartekontroll-gruppe Therapie-erfolg 4 3 2 1 11_nonpara 31

32 Vorzeichentest und Vorzeichenrangtest
Der Vorzeichentest und der Vorzeichenrangtest nach Wilcoxon vergleichen, wie sich die Merkmalsausprägung eines ordinalskalierten Merkmals zwischen zwei abhängigen Stichproben unterscheiden. Anmerkung: Der Vorzeichenrangtest nach Wilcoxon hat die höhere Power und ist daher generell zu bevorzugen. Beispiel: Es wird überprüft, ob sich die Arbeitsfähigkeit im Laufe einer Reha-Maßnahme verbessert hat. Dabei wird die Arbeitsfähigkeit als 5-stufiges Rating vor und nach der Maßnahme erfasst. Berechnung: Siehe Leonhart (2004), Seite 172ff 11_nonpara 32

33 Berechnung: Siehe Leonhart (2004), Seite 177f
Friedman-Test Der Friedman-Test Der Friedman-Test vergleicht die Merkmalsausprägung eines ordinalskalierten Merkmals zwischen mehr als zwei abhängigen Stichproben. Beispiel: Es wird überprüft, ob sich die Arbeitsfähigkeit im Laufe einer Reha-Maßnahme verbessert hat. Dabei wird die Arbeitsfähigkeit als 5-Stufiges Rating zu 3 Messzeitpunkten erfasst (prä-, post-, follow-up - Erhebung). Berechnung: Siehe Leonhart (2004), Seite 177f 11_nonpara 33

34 Nonparametrische Testverfahren können eingesetzt werden, wenn
Zusammenfassung Nonparametrische Testverfahren können eingesetzt werden, wenn die vorliegenden Daten kein Intervallskalenniveau aufweisen oder die Normalverteilungsannahme der parametrischen Tests verletzt ist. Der χ²-Test überprüft ob beobachtete und erwartete Häufigkeiten signifikant voneinander abweichen. Der Kolmogorov-Smirnov-Test prüft, ob eine empirische Verteilung mit einer theoretisch vorgegebenen Verteilungsform (Normalverteilung) übereinstimmt. Der U-Test vergleicht die mittleren Rangplätze zwischen 2 Gruppen. Weitere Testverfahren können je nach Skalenniveau, Abhängigkeit der Stichprobe und Anzahl der Gruppen ausgewählt werden 11_nonpara 34