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Non-parametrische Testverfahren 11_nonpara1 Gliederung Definition Der χ² Test Kolmogorov-Smirnov-Test Überblick weitere Verfahren: – Der Fisher-Yates-Test.

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1 Non-parametrische Testverfahren 11_nonpara1 Gliederung Definition Der χ² Test Kolmogorov-Smirnov-Test Überblick weitere Verfahren: – Der Fisher-Yates-Test – Der McNemar-Test – Cochran-Test (Q-Test) – Der Mediantest – Der U-Test (Mann-Whitney Test) – Vorzeichentest und Vorzeichenrangtest – Der Friedman-Test – Binominal-Test

2 Non-parametrische Testverfahren 11_nonpara2 Definition: Nonparametrische (verteilungsfreie) Testverfahren setzen nicht eine bestimmte Verteilungsformen des erfassten Merkmals (z.B. Normalverteilung) voraus. Nonparametrische Verfahren werden eingesetzt… für die Analyse von Ordinal- oder Nominalskalierten Variablen Wenn die Normalverteilungsannahme verletzt ist. Parametrische Verfahren dürfen nur verwendet werden, wenn die beteiligten Variablen die gefordert Verteilungsform ausweisen (z.B. Normalverteilung für den t-Test). Sie haben in der Regel eine höher statistische Power.

3 Der χ² -Test 11_nonpara3 Der χ²-Test (Chi-Quadrat-Test) dient dem Vergleich von beobachteten und erwarteten Häufigkeiten. Er kann eingesetzt werden, wenn 1 oder 2 nominalskalierte unabhängige Variablen vorliegen. Beispiele: Leiden Männer und Frauen gleich häufig an einer bestimmten Erkrankung? Leisten hoch-ängstlich und gering-ängstliche Personen gleich häufig Hilfe in einer Notsituation?

4 Der χ² -Test 11_nonpara4 Voraussetzung für den χ² -Test (Faustregeln) (1)Weniger als 1/5 aller Zellen hat ein erwartete Häufigkeit kleiner als 5. (2)Keine Zelle weist eine erwartete Häufigkeit kleiner als 1 auf. Wenn diese Voraussetzungen nicht erfüllt sind, sollte alternativ der Fisher-Yates-Test verwendet werden.

5 Der χ² -Test 11_nonpara5 χ² -Test – Beispiel 1 Es soll geprüft werden, ob die Verteilung von Männern und Frauen in einer Gruppe signifikant von einer Gleichverteilung abweicht. N = 76 (Frauen: 56; Männer: 20) Statistische Hypothesen – H 0 : π(Frau) = π(Mann) – H 1 : π(Frau) π(Mann)

6 Der χ² -Test 11_nonpara6 Schritt 1: Zunächst werden die nach der H 0 zu erwarteten Häufigkeiten berechnet: Beobachtet: N F = 56; N M =20 Erwartet: ??? – Gesamtzahl: 76 – Bei einer Gleichverteilung wären also 38 Männer und 38 Frauen zu erwarten.

7 Der χ² -Test 11_nonpara7 Schritt 2: Nun wird der (empirische) χ²-Wert berechnet: mit: k: Anzahl der Stufen der beiden Variablen f b,i :Beobachtete Häufigkeit in der Zelle (i) f e,i :Erwartete Häufigkeit in der Zelle (i)

8 Der χ² -Test 11_nonpara8 Geschlecht FrauMann Beobachtet Erwartet

9 Der χ² -Test 11_nonpara9 Schritt 3: Vergleich des empirischen χ²-Werts mit dem kritischen χ²-Wert. Der kritische χ²-Wert wird in Abhängigkeit von den Freiheits- graden und dem gewählten α-Niveau aus einer Tabelle zur χ²- Verteilung abgelesen (Leonhart, S.448f). Für α=.05 ergibt sich bei df=1: Die H 0 muss verworfen werden; folglich kann ein Unterschied nachgewiesen werden.

10 Der χ² -Test 11_nonpara10 χ² -Test – Beispiel 2 Frage: Ist die (relative) Häufigkeit hoher bzw. geringer Ängstlichkeit bei Männern und Frauen gleich? Statistische Hypothesen – H 0 : π(Angst | Frau) = π(Angst | Mann) – H 1 : π(Angst | Frau) π(Angst | Mann) Geschlecht AngstFrauMann gering hoch

11 Der χ² -Test 11_nonpara11 Schritt 1: Zunächst werden aus den Randsummen die nach der H 0 zu erwarteten Häufigkeiten geschätzt: Beobachtet: Erwartet: Geschlecht AngstFrauMann gering hoch Geschlecht AngstFrauMann gering hoch

12 Der χ² -Test 11_nonpara12 Schritt 2: Nun wird der (empirische) χ²-Wert berechnet: mit: k, l: Anzahl der Stufen der beiden Variablen f b(i,j) :Beobachtete Häufigkeit in der Zelle (i,j) f e(i,j) :Erwartete Häufigkeit in der Zelle (i,j)

13 Der χ² -Test 11_nonpara13 Beobachtet:Erwartet: Geschlecht AngstFrauMann gering hoch Geschlecht AngstFrauMann gering hoch

14 Der χ² -Test 11_nonpara14 Schritt 3: Vergleich des empirischen χ²-Werts mit dem kritischen χ²-Wert. Der kritische χ²-Wert wird in Abhängigkeit von den Freiheits- graden und dem gewählten α-Niveau aus einer Tabelle zur χ²- Verteilung abgelesen (Leonhart, S.448f). Für α=.05 ergibt sich bei df=1: Die H 0 muss verworfen werden; folglich kann ein Unterschied nachgewiesen werden.

15 Der χ² -Test in SPSS 11_nonpara15

16 Der χ² -Test in SPSS 11_nonpara16 NPAR TEST /CHISQUARE=sex /EXPECTED=EQUAL

17 SPSS-Ausgabe: sex Beobachtetes NErwartete AnzahlResiduum ,018, ,0-18,0 Gesamt 76 Der χ² -Test in SPSS 11_nonpara17 Statistik für Test sex Chi-Quadrat 17,053 a df 1 Asymptotische Signifikanz,000 a. Bei 0 Zellen (.0%) werden weniger als 5 Häufigkeiten erwartet. Die kleinste erwartete Zellenhäufigkeit ist 38.0.

18 Der Kolmogorov-Smirnov-Test Der Kolmogorov-Smirnov-Test vergleicht eine empirische Verteilung mit einer vorgegebenen theoretischen Verteilung (z.B. Normalverteilung). Damit ist es möglich, die Voraussetzung parametrischer Testverfahren (z.B. für den t-Test) zu überprüfen. Statistische Hypothesen: H 0 : Die Variable ist normalverteilt H 1 : Die Variable ist nicht normalverteilt Der Kolmogorov-Smirnov-Test 11_nonpara18

19 Der Kolmogorov-Smirnov-Test in SPSS 11_nonpara19

20 Der Kolmogorov-Smirnov-Test in SPSS 11_nonpara20 NPAR TESTS /K-S(NORMAL)=freiburg psycho stat.

21 Der Kolmogorov-Smirnov-Test in SPSS 11_nonpara21 Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest freiburgpsychostat N 98 Parameter der Normalverteilung a Mittelwert 20,816319,790816,5204 Standardabweichung 1,890553,044283,15650 Extremste DifferenzenAbsolut,182,124,111 Positiv,104,063,057 Negativ -,182-,124-,111 Kolmogorov-Smirnov-Z 1,7971,2251,098 Asymptotische Signifikanz (2-seitig),003,099,179 a. Die zu testende Verteilung ist eine Normalverteilung. Wenn p<.05 ist die Normalverteilungsannahme verletzt.

22 Überblick weitere Verfahren: 11_nonpara22

23 Der Fisher-Yates-Test Der Fisher-Yates Test wird eingesetzt, um Kontingenztabellen auszuwerten, wenn die Voraussetzungen des χ²-Test verletzt sind (d.h. bei geringen erwarteten Häufigkeiten). Beispiel: Berechnung: Siehe Leonhart (2004), Seite 162f 11_nonpara23 RaucherNichtraucher Frauen2040 Männer35

24 McNemar-Test Der McNemar-Test Der McNemar-Test wird für nominalskalierten Daten in zwei abhängigen Stichproben (z.B. Messwiederholung) verwendet. Die erwarteten Häufigkeiten sollten nicht kleiner als 5 sein. Beispiel: Veränderung des Rauchverhaltens von der Jugend bis ins Erwachsenenalter. Berechnung: Siehe Leonhart (2004), Seite 163f 11_nonpara24 Erwachsene JugendNichtraucherRaucherΣ Nichtraucher33336 Raucher Σ512475

25 Cochran-Test (Q-Test) Der Cochran-Test (Q-Test) Der Cochran-Test dient der Auswertung von nominalskalierten Daten in mehr als zwei abhängigen Stichproben. Beispiel: (NR=Nichtraucher; R=Raucher) Berechnung: Siehe Leonhart (2004), Seite 165f 11_nonpara25 Alter (Jahre) Vp NRRRR 2 RRRR 3RRRRR 4 5 RRR

26 Mediantest Der Mediantest Der Der Mediantest dient dem Vergleich der zentralen Tendenz ordinalskalierter Variablen, wenn zwei unabhängige Stichproben vorliegen. Beispiel: Die Reaktionszeit bei einer Aufgabe soll zwischen Männern und Frauen verglichen werden (Da die Zeiten nicht normalverteilt sind, soll kein t-Test gerechnet werden) Berechnung: Siehe Leonhart (2004), Seite 162f 11_nonpara26

27 U-Test (Mann-Whitney-Test) Der U-Test (Mann-Whitney-Test) Der U-Test vergleicht die zentrale Tendenz eines ordinalskalierten Merkmals zwischen zwei unabhängigen Zufallsstichproben. Anmerkung: Der U-Test hat einer höhere Power als der Mediantest, jedoch ist er empfindlicher gegenüber Ausreißerwerten. Beispiel: Der Therapieerfolg (Rating 1 bis 5) soll zwischen einer Therapiegruppe und einer Wartekontrollgruppe verglichen werden. Berechnung: Siehe Leonhart (2004), Seite 169f 11_nonpara27

28 U-Test (Mann-Whitney-Test) 11_nonpara28

29 U-Test (Mann-Whitney-Test) 11_nonpara29 NPAR TESTS /M-W= freiburg BY sex(1 2).

30 U-Test (Mann-Whitney-Test) 11_nonpara30 Ränge GeschlechtNMittlerer RangRangsumme freiburgmännlich 2141,57873,00 weiblich 7550,443783,00 Gesamt 96 Statistik für Test a freiburg Mann-Whitney-U 642,000 Wilcoxon-W 873,000 Z -1,312 Asymptotische Signifikanz (2-seitig),189 a. Gruppenvariable: Geschlecht Weil p>.05 besteht also kein bedeutsamer Rangunterschied.

31 H-Test (Kruskal & Wallis -Test) Der H-Test (Kruskal & Wallis -Test) Der U-Test vergleicht die zentrale Tendenz eines ordinalskalierten Merkmals zwischen zwei unabhängigen Zufallsstichproben. Beispiel: Der Therapieerfolg soll zwischen drei Therapie- verfahren sowie einer Wartekontrollgruppe verglichen werden. Berechnung: Siehe Leonhart (2004), Seite 175ff 11_nonpara31 Therapie ATherapie BTherapie C Wartekontroll- gruppe Therapie- erfolg

32 Vorzeichentest und Vorzeichenrangtest Der Vorzeichentest und der Vorzeichenrangtest nach Wilcoxon vergleichen, wie sich die Merkmalsausprägung eines ordinalskalierten Merkmals zwischen zwei abhängigen Stichproben unterscheiden. Anmerkung: Der Vorzeichenrangtest nach Wilcoxon hat die höhere Power und ist daher generell zu bevorzugen. Beispiel: Es wird überprüft, ob sich die Arbeitsfähigkeit im Laufe einer Reha-Maßnahme verbessert hat. Dabei wird die Arbeitsfähigkeit als 5-stufiges Rating vor und nach der Maßnahme erfasst. Berechnung: Siehe Leonhart (2004), Seite 172ff 11_nonpara32

33 Friedman-Test Der Friedman-Test Der Friedman-Test vergleicht die Merkmalsausprägung eines ordinalskalierten Merkmals zwischen mehr als zwei abhängigen Stichproben. Beispiel: Es wird überprüft, ob sich die Arbeitsfähigkeit im Laufe einer Reha-Maßnahme verbessert hat. Dabei wird die Arbeitsfähigkeit als 5-Stufiges Rating zu 3 Messzeitpunkten erfasst (prä-, post-, follow-up - Erhebung). Berechnung: Siehe Leonhart (2004), Seite 177f 11_nonpara33

34 Zusammenfassung Nonparametrische Testverfahren können eingesetzt werden, wenn a)die vorliegenden Daten kein Intervallskalenniveau aufweisen oder b)die Normalverteilungsannahme der parametrischen Tests verletzt ist. Der χ²-Test überprüft ob beobachtete und erwartete Häufigkeiten signifikant voneinander abweichen. Der Kolmogorov-Smirnov-Test prüft, ob eine empirische Verteilung mit einer theoretisch vorgegebenen Verteilungsform (Normalverteilung) übereinstimmt. Der U-Test vergleicht die mittleren Rangplätze zwischen 2 Gruppen. Weitere Testverfahren können je nach Skalenniveau, Abhängigkeit der Stichprobe und Anzahl der Gruppen ausgewählt werden 11_nonpara34


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