Mathematikunterricht (Informatikunterricht) mit Computern METHODIK UND DIDAKTIK Karl Josef Fuchs, Universität Salzburg Johannes Kepler Universität Linz.

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1 Mathematikunterricht (Informatikunterricht) mit Computern METHODIK UND DIDAKTIK Karl Josef Fuchs, Universität Salzburg Johannes Kepler Universität Linz SS 2007

2 1.1 Spezifische Lernziele Experimentieren Anlehnung an E(naktiv),I(konisch),S(ymbolisch) Zusätzliche Akzentuierung der aktiven Rolle des Schülers (Prädikat: handelnd) - anschaulich – handeln (Visualisieren) - numerisch – handeln (Tabellen, Listen; Einsetzen von Funktionswerten)

3 1. Grundfragen 1.1 Spezifische Lernziele Argumentieren und Begründen symbolisch – handeln (z. B. Kurvendiskussion, Prototypen von Funktionen) Verschiedene Exaktheitsniveaus / Präformales Beweisen (z. B. Verketten von Funktionen, funktionierender Bisektionsalgorithmus - quasialgorithmischer Beweis für den Zwischenwertsatz)

4 1. Grundfragen 1.1 Spezifische Lernziele Einstellungen initiieren und verändern Motivation für mathematische – informatische Inhalte Selbstvertrauen zu eigener Leistung Bedingungen: Mehr Selbsttätigkeit der Schüler Veränderte Lehrerrolle starke Handlungsorientierung des Unterrichts

5 1. Grundfragen 1.1 Spezifische Lernziele Einstellungen initiieren und verändern Bedingungen: Soziale Parameter: Verstärkte Partner- und Gruppenarbeit in Projekten

6 1. Grundfragen 1.1 Spezifische Lernziele Modellbilden (Fundamentale Leitidee) Mathematik: Entwickeln – Beschreiben – Bewerten Informatik: Entwickeln – Implementieren - Bewerten

7 1. Grundfragen 1.1 Spezifische Lernziele Verschiebung von Gewichten Elemente der diskreten Mathematik (z.B. Grundlagen der Logik) Elemente der Stochastik (z.B. Regression) Diskussion von Programmierparadigmen (z. B. Funktional -> Verketten von Funktionen – Frage der Argumente)

8 1. Grundfragen 1.2 Forderungen an den Unterricht Unterricht als Prozess Mehrperspektivität (Verlagerung der Standpunkt, Gegenüberhalten verschiedener Repräsentationsformen) Unterricht durchsichtiger machen Orientierung an fundamentalen Ideen und Begriffen

9 1.2 Forderungen an den Unterricht Stärkere Berücksichtigung intra- und interindividueller Komponenten Veränderte stress- und angstbeladene Unterrichts- situationen (d. h. vor allem Veränderung der Prüfungssituation – Umfangreichere Beurteilungs- grundlagen) 1. Grundfragen

10 2.1Die optimal approximierende Gerade LI: Approximation, Prototypisches Verhalten von Funktionen (Bemerkung F. Schweiger) Aufgabe: Näherungsweises Beschreiben einer reellen Funktion f in der Umgebung eines Punktes P.

11 2. Unterichtsbeispiele (M) 1. Schritt: Definition der Funktion f 2. Schritt: Betrachten des Funktions- wertes an der Stelle x+u mit u = x-x 0 3. Schritt: Linearisierung (d.h. Abspalten der linearen Funktion und Festlegen auf eine Stelle x 0 =2: y = f(2)+m(x-2)) 4. Schritt: Erzeugung eines Büschels für die Betrachtung unter dem Funktionen- mikroskop (d.h. m = 2 x 0 ±ε)

12 2. Unterichtsbeispiele (M) 5. Schritt: Mikroskopische Betrachtung der Sachlage in P(x,x 0 )

13 2.2 Vermutungen über Differentiationsregeln anstellen LI: Approximation, Modellieren Problem: Lässt sich die Idee der Linearisierung (aus Aufgabe 2.1) weiterführen zu Vermutungen über Regeln? 2. Unterichtsbeispiele (M)

14 1. Schritt: Definition der beiden Tangentenfunktionen tf und tg 2. Schritt: Summe aus tf und tg mit u = x-x 0, a=f (x0), b=g(x0) m=f (x 0 ), n=g (x 0 ) 3. Schritt: (m+n) u Verm.: (f+g) =f+g 4. Schritt: Linearisierung - (a.n+b.m) u Vermutung: (f.g) = f. g+ g. f

15 2.3 Zur Beschreibung von Punktmengen – Einpassen einer Geraden (y = k x) LI: Approximation, Präformales Beweisen, Verschiedene Exaktheit, Modellieren Problem: Einpassen einer Geraden (y = k x) in eine Menge von m(=3) Punkten des 2. (Soll beim Schüler eine Motivationslage schaffen, die Arbeitsweise eines CAS zu hinterfragen) 2. Unterichtsbeispiele (M)

16 1. Schritt: Definition der Funktion f (mit P 1 (3,3), P 2 (4,4) und P 3 (5,3)) 2. Schritt: Vereinfachen führt zu einer quadratischen Funktionsausdruck in k

17 2. Unterichtsbeispiele (M) 3. Schritt: Extremwertaufgabe Notwendige und Hinreichende Bedingung für ein Minimum

18 2. Unterichtsbeispiele (M) 2.4 Entwickeln – Beschreiben – Bewerten LI: Approximation, Modellieren Aufgabe: Aus einem Testbericht wurde die folgende Tabelle für verschiedene PKWs entnommen: Entwickle ein Modell für die funktionale Abhängigkeit des Kraftstoffverbrauchs von der Geschwindigkeit.

19 2. Unterichtsbeispiele (M) 1. Schritt: Übertragen der Werte aus der Tabelle

20 2. Unterichtsbeispiele (M) 2. Schritt: Beschreibung 01 - Quadratische Regression (Einpassen einer quadratischen Funktion)

21 2. Unterichtsbeispiele (M) 3. Schritt: Beschreibung 01 - Quadratische Regression Grafische Darstellung

22 2. Unterichtsbeispiele (M) 4. Schritt: Beschreibung 02 - Einpassen einer Polynomfunktion vom Grad 4

23 2. Unterichtsbeispiele (M) 5. Schritt: Beschreibung 02 – Polynomfunktion vom Grad 4 Grafische Darstellung

24 2. Unterichtsbeispiele (M) 6. Schritt: Beschreibung 03 - Einpassen einer Polynomfunktion vom Grad 4 Ermittlung der Koeffizienten durch Lösen des angegebenen Gleichungssystems

25 2. Unterichtsbeispiele (M) 7. Schritt: Bewertung des Graphen führt zu Beschreibung 04 - Einpassen zweier quadratischer Funktionen

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27 3. Strukturmodell 3.1 Informatische Konzepte Programmierparadigmen (am Beispiel funktional) hier: Modularisierung / Modulprinzip 3.2 Pädagogische – Psychologische Konzepte (vgl. 1.1 /1.2)

28 3.1 Entwickeln – Implementieren – Bewerten LI: Modellieren durch Funktionen, Modularisieren Aufgabe: Implementierung eines logischen Systems (Konjunktion, Disjunktion, Negation) durch funktionale Kodierung

29 3. Unterichtsbeispiele (INF) 1. Schritt: Definieren der Funktionen des logischen Systems

30 3.2 Entwickeln – Implementieren – Bewerten LI: Funktion (Argumente, Verkettung), Algorithmisches Denken Aufgabe: Auf der Suche nach Gesetzmäßigkeiten (Äquivalenzen) illustriert am Beispiel De Morgan 3. Unterichtsbeispiele (INF)

31 1.Schritt: Verketten der zuvor definierten Funktionen 2.Schritt: Gegenüberstellung der Outputs (Tabellen)

32 3. Unterichtsbeispiele (INF) 3. Schritt: Verifizierung der Äquivalenz mittels 4 x 3 - Tabelle

33 3. Strukturmodell Abschließende (positive) Bemerkungen zu Informatische Konzepte – Modularisierung / Die Funktion als Baustein Schaffung eines Systems Konstruktives Exaktifizieren