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Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe © Markus Dobernig, Senand Ristic.

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Präsentation zum Thema: "Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe © Markus Dobernig, Senand Ristic."—  Präsentation transkript:

1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe © Markus Dobernig, Senand Ristic

2 Klassische Definition Pierre-Simon Laplace Anzahl d. günstigen Fälle Anzahl d. möglichen Fälle Beispiel: fairer Würfel wird geworfen: jede Zahl hat gleiche Chancen und wird daher bei jedem Versuch mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 gewürfelt. P (gerade Zahl) = 3 günstige [2, 4, 6] / 6 mögliche P (ungerade Zahl) = 3 günstige [1, 3, 5] / 6 mögliche P(E) =

3 Statistische Definition Jakob Bernoulli Gesetz der großen Zahl P (E) ~ lim h n (relative Häufigkeit) Das bedeutet: Wenn man einen Versuch (z.B.: Würfel) unendlich oft durchführt, so wird die relative Häufigkeit zur Wahrscheinlichkeit. Bsp.: Münze wird 1000 mal geworfen Kopf … 490 mal h K = 490/1000 = 0,49 Zahl … 510 mal h z = 510/1000 = 0,51 Wenn man unendlich oft würfelt, so wird man in 50% der Fälle Kopf und in 50% der Fälle Zahl werfen! ~ n AHA

4 Axiomatische Definition Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow 1. 0 P (E) 1, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist immer eine Zahl zwischen 0 und P (E) = 0… E ist nicht möglich P (E) = 1… E ist sicher 3. P (E 1 ˅ E 2 ) = P (E 1 ) + P (E 2 ) Additionssatz für unabhängige Ereignisse. Ich liebe die Mathematik

5 Wie kann man die Wahrscheinlichkeit veranschaulichen? Entscheidungsbaum Geordnete Darstellung Baumdiagramm Grafik – hierarchischer und – aufeinanderfolgender Entscheidungen Bsp.: 10 Kugeln – 3 rote und 7 grüne Kugeln es wird drei Mal gezogen ohne Zurücklegen

6 1. Ziehung 2. Ziehung 3. Ziehung Entscheidungsbaum für Ziehen ohne Zurücklegen

7 2 Fragestellungen: Bestimmte Reihenfolge Es gibt nur einen Ast Dieser zieht sich durch den Baum durch Berechnung: P(2r und 1g) =P(r) * P(r/r) * P(g/r ^ r) =(3/10)*(2/9)*(7/8) = 7/120 Unbestimmte Reihenfolge Es gibt verschiedene Äste Sie werden addiert Berechnung: P(2r und 1g) =P(r^r^g) + P(r^g^r) + P(g^r^r)= = (3/10)*(2/9)*(7/8) + + (3/10)*(7/9)*(2/8)+ + (7/10)*(3/9)*(2/8) = = 3*(7/120) = 7/40 Legende: r = Rote Kugel g = Grüne Kugel

8 Welche Regeln wurden beim Entscheidungsbaum angewendet? P(E 1 und E 2 ) = P(E 1 ^ E 2 ) =P(E 1 ) * P(E 2 / E 1 ) bei Abhängigkeit Es gilt auch: P(E oder nicht E) = 1 (Es ist sicher, dass A eintritt oder nicht) P(E) + P( nicht E) = 1 P(E) = 1- P( nicht E) Multiplikationssatz E ist das Gegenereignis von nicht E

9 Wie sieht der Entscheidungsbaum aus, wenn man die Kugeln wieder zurücklegt? Bsp.: 10 Kugeln – 3 rote und 7 grüne Kugeln es wird drei Mal gezogen mit Zurücklegen

10 Entscheidungsbaum für Ziehen mit Zurücklegen

11 2 Fragestellungen: Bestimmte Reihenfolge Es gibt nur einen Ast Dieser zieht sich durch den Baum durch Berechnung: P(2r und 1g)= = P(r)*P(r)*P(g) = = (3/10)²*(7/10) = 63/1000 Unbestimmte Reihenfolge Es gibt verschiedene Äste Sie werden addiert Berechnung: P(2r und 1g) =P(r^r^g) + P(r^g^r) + P(g^r^r)= 3*(3/10)²*(7/10) = 189/1000 Legende: r = Rote Kugel g = Grüne Kugel

12 Welche Regeln wurden beim Entscheidungsbaum angewendet? P(E 1 und E 2 ) = P(E 1 ^ E 2 ) =P(E 1 ) * P(E 2 ) bei Unabhängigkeit Multiplikationssatz

13 Und nun geht es weiter!


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