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Optische Bistabilität Andrea Sengebusch – Alexander Hause 07.06.2005.

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Präsentation zum Thema: "Optische Bistabilität Andrea Sengebusch – Alexander Hause 07.06.2005."—  Präsentation transkript:

1 Optische Bistabilität Andrea Sengebusch – Alexander Hause

2 Inhalt - Einführung - Theoretische Grundlagen - Herleitung der transversalen Feldgleichung aus den Maxwell-Gleichungen - Resonator - dispersive Bistabilität - absorptive Bistabilität - mit Resonator - ohne Resonator - Potentialtopf-Beschreibung - Bonifacio-Lugiato-Modell - Critical Slowing Down - Zusammenfassung - Literaturangaben Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

3 Einführung -Bistabiliät beschreibt ein System, das für ein definiertes Eingangssignal zwei mögliche Ausgangszustände einnehmen kann -Diese sind abhängig von der Vorgeschichte des Systems -Bistabilitäten treten auf unter zwei Voraussetzungen auf: Nichtlineares Medium Feedback Output Input 1 2 Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

4 Einführung -Bei OB wird Licht durch ein nichtlineares optisches Medium geleitet -Die Ausgangsintensität in Abhängigkeit der Eingangsintensität folgt einer Hysterese, die zwei stabile Zustände aufweist -Diese Zustände können je nach Verlauf des Eingangssignals eingestellt werden -Dies eröffnet die Möglichkeit, diese Systeme als optische Speicher bzw. Schalter o.ä. zu benutzen Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

5 Theoretische Grundlagen Herleitung der transversalen Feldgleichung aus den Maxwell-Gleichungen Maxwell-Gleichungen Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

6 Aufspaltung in longitudinalen und transversalen Anteil Ansatz der ebenen WelleAusbreitung in z-Richtung Theoretische Grundlagen Herleitung der transversalen Feldgleichung aus den Maxwell-Gleichungen Wellen-Gleichung Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

7 Einsetzen des Ansatzes und Durchführung der ausführbaren Ableitungen führt zu transversaler und longitudinaler Feldgleichung Kopplung der Gleichungen durch den grad div-Term: Theoretische Grundlagen Herleitung der transversalen Feldgleichung aus den Maxwell-Gleichungen Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

8 gekoppelte Feldgleichungen: Longitudinaler Anteil Transversaler Anteil Theoretische Grundlagen Herleitung der transversalen Feldgleichung aus den Maxwell-Gleichungen Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

9 Näherung: - in erster Näherung ist der longitudinale Anteil der Felder zu vernachlässigen grad div = 0 Kopplung entfällt = Hintergrund-DK Theoretische Grundlagen Herleitung der transversalen Feldgleichung aus den Maxwell-Gleichungen Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

10 Resultierende Feldgleichung: Linearisierung bzgl. ergibt: Theoretische Grundlagen Herleitung der transversalen Feldgleichung aus den Maxwell-Gleichungen Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Dispersionsrelation:

11 Einführung von Absorption und Brechungsindex: Absorption relative Brechungsindexänderung Materialgrößen: Theoretische Grundlagen Herleitung der transversalen Feldgleichung aus den Maxwell-Gleichungen Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

12 Transversale Feldgleichung: Theoretische Grundlagen Herleitung der transversalen Feldgleichung aus den Maxwell-Gleichungen Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

13 Der Resonator stellt die Rückkopplung dar. Aufspaltung in vorwärts und rückwärts laufende Welle: Theoretische Grundlagen Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

14 Randbedingungen für den Resonator: = Phasenverschiebung nach einem Umlauf = effektiver Absorptionskoeffizient sind aus der Feldgleichung zu bestimmen Theoretische Grundlagen Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

15 Transmission: - Felder - Intensitäten Theoretische Grundlagen Resonator mit Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

16 Zerlegen der Feldgleichung Einsetzen und Aufspaltung in Real- und Imaginärteil Theoretische Grundlagen Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

17 Theoretische Grundlagen Resonator Dies führt zu: DGL für Amplitude und Phase: Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

18 Lösung der DGL mit adiabatischer Elimination der Dynamik (Zeitableitungen = 0) d.h. Umlaufzeit im Resonator << Relaxationszeit der angeregten Zustände (bad cavity limit) Theoretische Grundlagen Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

19 Einsetzen der Felder für z = L liefert die Konstanten der Transmission Absorption und Brechungsindexänderung sind i.a. abhängig von der Ladungsträgerdichte N (HL: e-h-pair). Eine starke Diffusion verhindert eine räumliche N-Abhängigkeit und somit Eine z-Abhängigkeit von und Theoretische Grundlagen Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

20 Neben dem bisher betrachteten kann es auch zu intensitätsunabhängigen Phasenverschiebungen, wie z.B. Phasensprüngen an den Grenzflächen, kommen = Transmission(Intensitäten) Theoretische Grundlagen Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

21 Mittlere Intensität mit ergibt sich eine zweite Bedingungsgleichung für den Resonator Transmission geht linear mit der mittleren Intensität, die Eingangsintensität bestimmt den Anstieg der Geraden. Theoretische Grundlagen Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

22 Intensitätsabhängigkeit des Brechungsindexes dominant (Airy-Funktionen) Ansatz: Absorption näherungsweise unabhängig von der Intensität Aufspaltung der Phase in einen von der Intensität abhängigen und unabhängigen Teil Dispersive Bistabilität Feedback: Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

23 Phase ~ mittlere Intensität Die Lösung lässt sich graphisch als Schnittpunkte der beiden Gleichungen für die Transmission bestimmen. Bereiche mit nur einem Schnittpunkt haben nur eine stabile Lösung, aber für Bereiche mit 2 oder 3 Schnittpunkten sind mehrere Zustände einnehmbar. Dispersive Bistabilität Feedback: Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

24 Dispersive Bistabilität Feedback: Resonator Die Eingangs-Ausgangs-Intensitäts-Kurve weist drei Äste auf, jedoch sind nur der obere (BC) und untere (DA) stabil. Der mittlere stellt zwar auch stationäre Zustände dar, befindet sich aber nur im labilen Gleichgewicht, kleinste Abweichungen führen dazu, dass der obere oder untere Zustand eingenommen wird. Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

25 Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Absorptive Bistabilität Feedback: Resonator Intensitätsabhängigkeit des Absorptionskoeffizienten dominant, System in Resonanz (keine Phasenverschiebung)

26 Abschwächung der Absorption mit: Das Material wird durchsichtiger mit Erhöhung der Eingangsintensität, da durch die Absorption viele Ladungsträger angeregt sind und für weitere Absorption nicht mehr zur Verfügung stehen Absorptive Bistabilität Feedback: Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben = Sättigungsintensität des Mediums

27 graphische Lösung Schnittpunktlösung analog zur dispersiven Bistabilität Absorptive Bistabilität Feedback: Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

28 Absorptive Bistabilität Feedback: Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

29 Absorptive Bistabilität ohne Resonator Bei Halbleitern, deren Absorption mit der eingestrahlten Intensität steigt, ist kein Resonator bzw. äußeres Feedback von Nöten. Es ist ein internes Feedback vorhanden. Das Medium wird nur einmal durchlaufen. Für die zunehmende Absorption in Abhängigkeit von der Ladungsträgerdichte wird folgendes einfaches Modell gewählt: Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

30 Absorptive Bistabilität ohne Resonator Absorption in Abhängigkeit von der Ladungsträgerdichte Die sprunghafte Änderung der Absorption folgt aus der Absenkung der Bandkante im HL. Auch für Energien kleiner als die Gap-Energie werden Ladungsträgerpaare erzeugt. Dadurch verringert sich die Bandlücke, bis die Photonenenergie gleich der Anregungsenergie der Excitonen ist. Es kommt zu einer starken Erhöhung der Ladungsträgerdichte und damit der Absorption. Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

31 Absorptive Bistabilität ohne Resonator Intensität und Ladungsträgerdichte sind gekoppelt über die Bilanzgleichung der Ladungsträgerdichte: Ansatz: stationär, räumlich homogen monochromatische Einstrahlung mit= Diffusionskoeffizient = Relaxationszeit Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

32 Absorptive Bistabilität ohne Resonator Dies führt zu: Graphische Darstellung Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

33 Absorptive Bistabilität ohne Resonator Invertierte Funktion N(I) Die Dichte N(I) springt mit der Intensität, da der Teil der Kurve mit negativem Anstieg nicht stabil ist. mit folgt für die Absorption, dass auch diese in Abh. von der Intensität ein Hystereseverhalten aufweist. Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

34 Aus der Feldgleichung kann die Intensität bestimmt werden: Es folgt die Intensitätsgleichung mit: Absorptive Bistabilität ohne Resonator Bestimmung des Transmissionsverhaltens Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

35 Allgemeine Lösung dieser partiellen DGL: Für die Ausbreitung im Vakuum gilt: Analog gilt für das Medium: Transmittierte Intensität: Absorptive Bistabilität ohne Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

36 Mittlere Intensität: Annahme: dünnes Plättchen d.h. Pulslänge l >> Plättchendicke L Absorptive Bistabilität ohne Resonator Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

37 Absorptive Bistabilität ohne Resonator Damit: Das Hystereseverhalten der Absorption überträgt sich auf. Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

38 Absorptive Bistabilität ohne Resonator Graphische Lösung Transmission weiterhin Im einfachsten Fall besteht eine lineare Abhängigkeit von und A ist dabei der absorbierte Anteil der Intensität. w ist dabei eine dimensionsbehaftete Proportionalitätskonstante Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

39 Absorptive Bistabilität ohne Resonator Graphische Lösung Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

40 Mit y als Input- und x als Output-Parameter kann ein bistabiles System durch eine eindimensionale DGL beschrieben werden. Wenn eine stetige Funktion für alle y ist, lässt sich das dynamische Verhalten des Systems durch die Bewegung eines Teilchens in einem Potential V veranschaulichen. Stabile Zustände des Systems werden durch die Extrema des Potentials bestimmt. Potentialtopf-Beschreibung Bonifacio-Lugiato-Modell Ein weiterer Zugang zur Bistabilität führt über die Potentialbeschreibung der Systemdynamik. Im Folgenden beschränken wir uns auf das Potential-Modell von Bonifacio und Lugiato. Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

41 Bonifacio/Lugiato: mean-field-Theorie für absorptive BS Typische Hysterese für C>4 Potentialtopf-Beschreibung Bonifacio-Lugiato-Modell Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben Output xInput y Output x

42 Potentialtopf-Beschreibung Bonifacio-Lugiato-Modell Output x Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

43 Potentialtopf-Beschreibung Critical Slowing Down (CSD) CSD ist wohlbekannt für Phasenübergänge und beschreibt die Übergangsgeschwindigkeit zwischen den stabilen Zuständen in Abhängigkeit von der Entfernung vom kritischen Punkt. = Response-Zeit, Zeit die benötigt wird um 1/e des Wertes des stabilen Zustandes zu erreichen Für Input-Werte nahe eines Umschaltpunktes, zeigt das Potential ein Plateau langsame Dynamik, System braucht viel Zeit um stabilen Zustand zu erreichen (Divergenz genau am kritischen Punkt) Mit wachsendem Input wird das Potential steiler und die Verzögerung wird kleiner. Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

44 Potentialtopf-Beschreibung Critical Slowing Down (CSD) Experimentelle Beobachtung Das CSD wurde u.a. Anfang der 80er Jahre von F.Mitschke et al. untersucht. Experimenteller Aufbau Als Mechanismus zur Erzeugung der Nichtlinearität wird transversales optisches Pumpen zwischen Zeeman-Niveaus eingesetzt. Das Experiment wurde durchgeführt mit einem Resonator, der mit Natrium-Atomen gefüllt war. Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

45 Potentialtopf-Beschreibung Critical Slowing Down (CSD) Experimentelle Beobachtung Sprungverzögerungen bis in den ms-Bereich waren messbar. Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben

46 Zusammenfassung Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben -Es gibt bei der OB zwei stabile Zustände in Abhängigkeit von der Eingangsintensität und der Vorgeschichte des Systems -die Ausgangsintensität folgt einer Hysterese -OB benötigt zwei Voraussetzungen: opt. nichtlineares Medium Feedback (intern oder Resonator) -Es existieren je nach Art der Nichtlinearität zwei Formen der OB: absorptive Bistabilität dispersive Bistabilität -Nutzungsmöglichkeiten: opt. Speicher, opt. Schalter

47 Literaturangaben - H.Haug, S.Koch, Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors, World Sientific (1990) - H.Gibbs, Optical Bistability: Controlling Light with Light, Academic Press (1985) - C.F.Klingshirn, Semiconductor optics, Springer (1995) - F.Mitschke, C.Boden, W.Lange and P.Mandel, exploring the dynamics of the unstable branch of bistable systems, optics communications vol.71 no. 6 (1989) Inhalt Einführung Grundlagen transversale Feldgleichung Resonator dispersive BS absorptive BS mit Resonator ohne Resonator Potentialtopf-Modell Bonifacio-Lugiato Critical Slowing Down Zusammenfassung Literaturangaben


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