Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Stochastik mit dem GTR. Beschreibende Statistik (Kennzahlen von Datenmengen, Regression, Korrelation) Simulationen – Modellbildung Wahrscheinlichkeitsberechnungen.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Stochastik mit dem GTR. Beschreibende Statistik (Kennzahlen von Datenmengen, Regression, Korrelation) Simulationen – Modellbildung Wahrscheinlichkeitsberechnungen."—  Präsentation transkript:

1 Stochastik mit dem GTR

2 Beschreibende Statistik (Kennzahlen von Datenmengen, Regression, Korrelation) Simulationen – Modellbildung Wahrscheinlichkeitsberechnungen Verteilungen und deren Maßzahlen: Binomial- und Normalverteilung, Approximation Beurteilende Statistik: Testen von Hypothesen, Fehler 1. und 2. Art MARKOFF-Ketten Elemente der Stochastik

3 Mathematik-Menü

4 Menü zur Listenbearbeitung

5 Statistik-Menü

6 Befehle Bedingungen rand rand(3) rand(10)>0.5 randInt(1,6) randInt(1,6,300) randInt(1,6,300) = 1 Simulation mit Pseudozufallszahlen Vorstellungen von Zufall entwickeln

7 Einen 100fachen Münzwurf simulieren... Simulation mit Pseudozufallszahlen

8 ... und die Entwicklung der relativen Häufigkeiten darstellen... Simulation mit Pseudozufallszahlen

9 Das 300fache Würfeln simulieren... Simulation mit Pseudozufallszahlen

10 ... und die Entwicklung der relativen Häufigkeiten darstellen... Simulation mit Pseudozufallszahlen

11 die Bestimmung der absoluten Häufigkeiten automatisieren... Simulation mit Pseudozufallszahlen

12 Simulation zum 1/e - Gesetz 20faches Werfen eines Ikosaeders 2, 4, 6, 10, 12, 13, 14, 17 fehlen, also 8 von 20 (40%) P (bestimmte Augenzahl tritt nicht auf) 1/e 37% Simulation mit Pseudozufallszahlen

13 Simulation zum 1/e - Gesetz Zufallsregen auf 5x5 -Quadratgitter P (ein Feld bleibt leer) 1/e 37% Simulation mit Pseudozufallszahlen

14 Ziehen mit und ohne Zurücklegen Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind die erzeugten Lottozahlen brauchbar? Simulation mit Pseudozufallszahlen

15 Wahrscheinlichkeit für lauter verschiedene Glückszahlen Geburtstagsproblem (Lottoziehung mit Zurücklegen)

16 Wahrscheinlichkeit für lauter verschiedene Geburtstage Geburtstagsproblem

17 Faustregel: Hat der Zufallsversuch n mögliche Ergebnisse, dann benötigt man ca. 1,2* n Versuchsdurchführungen, damit die Wahrscheinlichkeit für mind. zwei gleiche Ergebnisse über 50% ist. Modellierung von Zufallsversuchen vom Typ Geburtstagsproblem

18 Menü der Wahrscheinlichkeitsverteilungen

19 Wahrscheinlichkeit für einen Lottogewinn Hypergeometrische Verteilung

20 Am ersten Schultag werden 206 neue Schülerinnen und Schüler eingeschult. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass hierunter (k)ein Geburtstagskind ist (oder vielleicht sogar mehr als eins)? Binomialverteilung

21 Binomialverteilung - Histogramme

22 Bedienungsfehler Binomialverteilung

23 Große Stichprobenumfänge Binomialverteilung

24 Simulation einer Binomialverteilung Binomialverteilung - Simulation

25 Erwartungswert einer Binomialverteilung Binomialverteilung - Erwartungswert

26 Kumulierte Binomialverteilung

27 Viele Menschen leiden unter Bluthochdruck. Die Heilungswahrscheinlichkeit eines bestimmten Medikaments beträgt p = 0,8. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden von 72 Patienten - weniger als 50 geheilt? - mehr als 60 geheilt? Kumulierte Binomialverteilung

28 Graphen der Größe des Displays anpassen Binomialverteilung – Streuung um den Erwartungswert

29 Graphen der Größe des Displays anpassen Binomialverteilung – Streuung um den Erwartungswert

30 Graphen der Größe des Displays anpassen Wir beobachten: Mit wachsendem Stichprobenumfang n nimmt die Breite der Glocken mit dem Faktor n zu und die Höhe mit dem Faktor 1/ n ab. Binomialverteilung – Streuung um den Erwartungswert nBreiteHöhe 50200, , , , ,040

31 Man kann zeigen: Bei festem n ist die Breite der Glocken proportional zu p(1-p). Bei BERNOULLI-Versuchen konzentrieren sich die Ergebnisse auf eine Umgebung um den Erwartungswert = n p mit einem Radius von ungefähr 3 n p (1-p). n p (1-p) ist gleich der Varianz der Zufallsgröße. Binomialverteilung

32 Varianz – Nachweis der Formel n p (1-p) n = 50 ; p = 0,4 n = 100 ; p = 0,2 n = 200 ; p = 0,3 Binomialverteilung - Varianz

33 n = 200 ; p = 0,3 Binomialverteilung - Normalverteilung

34 P(1 -Umgebung) 0.68 P(2 -Umgebung) Binomialverteilung – sigma-Regeln

35 Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten von Umgebungen von Binomialverteilung – sigma-Regeln

36 P(1 -Umgebung) 0.68 P(2 -Umgebung) Binomialverteilung – sigma-Regeln

37 Binomialverteilung – Approximation durch GAUSSsche Dichtefunktion

38

39

40 Bei dominanter Vererbung haben in der zweiten Tochtergeneration 75% der Nachkommen die erste Ausprägung und 25% die andere. Ist bei einem vorliegenden Kreuzungsversuch mit n = 120 die MENDELsche Regel anwendbar? 95%-Umgebung um den Erwartungswert: = 120 0,75 = 90 ; = (120 0,75 0,25) = 4,74 Entscheidungsregel: Verwirf die Hypothese p = 0,75, falls X 99 Binomialtest Entscheidungsregel

41 Bei dominanter Vererbung haben in der zweiten Tochtergeneration 75% der Nachkommen die erste Ausprägung und 25% die andere. Ist bei einem vorliegenden Kreuzungsversuch mit n = 120 die MENDELsche Regel anwendbar? Binomialtest Entscheidungsregel

42 95%-Umgebung um den Erwartungswert: = 120 0,75 = 90 ; = (120 0,75 0,25) = 4,74 Entscheidungsregel: Verwirf die Hypothese p = 0,75, falls X 99 Binomialtest Entscheidungsregel

43 Angenommen, die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeit ist tatsächlich p = 0,7. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird nicht erkannt, dass hier nicht die MENDELsche Regel zugrunde liegt? P (Fehler 2. Art) = 0,759 Binomialtest Fehler 2. Art

44 Binomialtest Operationscharakteristik

45 In einer Stichprobe unter 1000 Frauen im Alter zwischen 18 und 20 Jahren fand man die o. a. Verteilung für die Körpergröße. Normalverteilung Bestimmung von Mittelwert und Stichprobenstreuung

46 Lässt sich die empirische Verteilung durch eine Normalverteilung beschreiben? Normalverteilung Approximation durch Normalverteilung

47 Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Körpergröße mindestens 1,60 m und höchstens 1,70 m? gesuchte Wahrscheinlichkeit: 56, 3 % Normalverteilung Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

48 Von 100 neugeborenen Mädchen wurde das Körpergewicht bestimmt. Weisen die Daten darauf hin, dass das Körpergewicht von Neugeborenen normalverteilt ist? Normalverteilung Überprüfung auf Normalverteilung

49 ohne / mit Diagnose Normalverteilung Überprüfung auf Normalverteilung

50 Ausgehend von den Wählerwanderungen zwischen vorletzter und letzter Bundestagswahl gaben wir eine Prognose für den 18. September 2005 ab... SPD / Grüne ? CDU/CSU/FDP? Sonstige Parteien ? Die ultimative Wahlprognose

51 Wählerwanderungen SPD / Grüne CDU/CSU / FDP andereNichtw. / Erstw. gesamt SPD / Grüne 72,7%7,0%19,0%19,3% 34,7% CDU/CSU / FDP 12,0%76,5%13,8%17,9% 33,8% andere 2,3%1,3%37,4%3,2% 5,2% Nichtw. / gest. 12,9%15,2%29,8%59,6% 26,3% gesamt100%

52 33,66% / 73,16% = 46,0% 35,45% / 73,16% = 48,5% Übergangsmatrix StartvektorProdukt Übergangsmatrix

53 Ausgehend von den Wählerwanderungen zwischen vorletzter und letzter Bundestagswahl ergab sich folgende Prognose: SPD / Grüne 46,0% CDU/CSU/FDP48,5% Sonstige Parteien 5,5% Die ultimative Wahlprognose

54 Niederlassung eines Autovermieters: A, B, C 80% der Fahrzeuge, die am Morgen in A stehen, stehen am Abend wieder in, je 10% sind von A nach B bzw. C gewechselt. Nach B kehren 60% der ausgeliehenen Fahrzeuge wieder zurück; je 20% wechseln nach A oder nach C. Von Niederlassung C aus wechseln erfahrungsgemäß 20% nach A und 10% nach B. Wie viele Fahrzeuge befinden sich an den drei Niederlassungen nach 1, 2,..., 10,...20 Tagen, wenn am Anfang je ein Drittel an jeder der drei Niederlassungen vorhanden war? Gibt es eine optimale Aufteilung der Fahrzeug-Bestände? Matrixpotenzen

55

56 Elemente der Mathematik – Gesamtband Mathematik mit neuen Technologien Schroedel Das Stochastik-Kapitel wurde von mir verfasst und enthält die im Vortrag beschriebenen Einsatzmöglichkeiten des GTR. Heinz Klaus Strick Rückmeldungen erwünscht: Literaturhinweis


Herunterladen ppt "Stochastik mit dem GTR. Beschreibende Statistik (Kennzahlen von Datenmengen, Regression, Korrelation) Simulationen – Modellbildung Wahrscheinlichkeitsberechnungen."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen